固体物理-5-110525

第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法： 解含外场的波动方程

2 2 2m U r V r E

在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理 条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等

§7.1 准经典运动一、波包与电子速度 在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包 一维情况： 设波包由以k0为中心，在 k的范围内的波函数组 成，并假设 k很小，可近似认为

uk x uk0 x

不随k而变

对于一确定的k ,含时的Bloch函数为

k x, t e

i kx t

uk x

k 1 E k

波包

x, t

k0 k 2 k0 k 2

e

i kx t

uk x dk

uk x uk0 x

uk0 x 令

k0 k 2 k0 k 2

e

i kx t

dk

k k0 i k0 x 0t

d k 0 dk k0 d 2k exp i x dk k t d 0 k 2

x, t uk0 x e

uk0 x e

i k0 x 0t

2sin

x d t dk k0 x d k t dk k 20

分析波包的运动，只需分析 2,即概率分布即可

x, t

2

sin k x d t 2 2 dk k0 2 uk0 x k k x d k0 t dk 2 sin k w 2 k 2 w2

2

令

d w x t dk k0

波函数主要集中在尺度为2 k

的范围内， 2 k0

波包中心为：w=0

2 k

w

即

1 dE d x t t dk k0 dk k0dx 1 dE v k0 dt dk k0

E k k

若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为

布里渊区的宽度：2 /a 条件： k很小2

2 k a

即

2 a k

uk0 x 以a为周期，并不会改变波包的形状三维情况：电子速度为

1 v k E

电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的方向，即沿等

在一般情况下，在 k 空间中，等能面并不是球面，因 此， v 的方向一般并不是 k 的方向 只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上， v 才与 k 的方向相同 ky v kkx

能面的法线方向 电子的运动方向决定于等能面的形状

电子运动速度的大小与 k 的关系以一维为例： 在能

带底和能带顶，E(k)取极值，

dE 0 dk

在能带底和能带顶，电子速度v=0

d 2E 0 在能带中 的某处， 2 dk 电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随

能量的增加而单调上升是完全不同的

二、电子的准动量(晶体动量)

在外场中，电子所受的力为 F ,在dt时间内，外场 对电子所做的功为 F vdt 1 功能原理： F vdt dE E d k v k E k d k 和 F 的分量相等 在平行于 v 的方向上， dt 当 F 与速度 v 垂直时，由冲量定理仍可以证明在垂直 d k 和外力 的分量也相等 于 v 的方向上， F dt

dk F v 0 dt

dk F dt这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具

有与经典力学中牛顿定律相似的形式

k Bloch电子 为

—— 电子的准动量 k

i k r r e uk r 的行为类似于波长

晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 k

2 k 的平面波，再由de Broglie关系得其 具有 k 的动量

三、电子的加速度和有效质量 晶体中电子准经典运动的基本关系式：

{1. 一维情况

1 v k E dk F dt

由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度

F dv d 1 dE 1 dk d 2 E a 2 2 d 2E dt dt dk dt dk 2

dk

引入电子的有效质量：

m*

2d 2E dk 2

dv F m* dt在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：

d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk 在能带顶：

m*>0

d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk

m*<0

2. 三维情况

dv d 1 1 d k E a k E k k dt dt dt

分量形式：

dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k

E k

1 3 2E 2 F 1 k k

=1, 2, 3

矩阵形式：

d v 1 牛顿定律： F dt m1 这里用一个二阶张量代替了 m

2E 2 k x vx 2 1 E v y 2 k k y x v z 2 E k z k x

2E k x k y 2E 2 k y 2E k z k y

2E k x k z 2 Fx E Fy k y k z F z 2 E k z2

倒有效质量张量：

2E 2 k x 2 1 1 E m * 2 k k y x 2 E k z k

x

2E k x k y 2E 2 k y 2E k z k y

2E k x k z 2E k y k z 2 E k z2

电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致 倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量 的主轴方向，可将其对角化

在主轴坐标系中：

2E 2 k x 1 1 m * 2 0 0

0 2E 2 k y 0

1 0 mx 0 0 2E 0 2 k z

0 1 m y 0

0 0 1 mz

dvx 1 Fx , dt mx

dv y

dvz 1 1 Fz Fy , dt mz dt my

例：求简单立方晶体s态电子的有效质量

E k s J 0 2 J 1 cos k x a cos k y a cos k z a 2a2 J1 cos k a0

2E k k

, 1, 2, 3

即kx , ky, kz为张量的主轴方向 2 2 1 mx 2 2 cos k x a E 2a J 1 2 k x

m y mz

2 2 E k 2 y

1 2 2 cos k y a 2a J1

2 2 E 2 kz

2 1 2 cos k z a 2a J 1

有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越 大，J1越小，则有效质量就越大 在能带底 点： k = (0, 0, 0):

2 m m mz m 2 0 x y 2a J1这时有效质量张量退化为一个标量

m x m 0 0

0 m x 0

0 2 0 2 0 2a J 1 mx

在能带顶R点： k , , a a a 2 m m mz m 2 0 x y 2a J1在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的， 退化为一标量，这是立方对称的结果 在X点： x 2

k , 0, 0 a

m 2 0, 2a J1

2 m mz 2 0 y 2a J1

有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准 经典运动的加速度与外力联系起来 有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下， 有效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量 有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近，有 效质量总是正的；而在能带顶附近， 有效质量总是负 的。这是因为在能带底和能带顶E(k)分别取极小值和极大 值，分别具有正的和负的二价微商

四、有效质量的物理解释

电子的真实动量： p mv一维情况下：

dv F合 F外+F 牛顿定律： m 晶 dtF外：外场对电子的作用力 F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力 周期场对电子的作用力(晶格力)比较复杂，并且 往往事先不能知道

dv F外 m m dt m 其中

dv F外 dt m ——

电子有效质量

F外 m m F外 F晶

有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量

有别于电子的惯性质量对于自由电子：F晶=0,所以，m*=m

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/scgj.html