专题3 函数的零点问题（精讲深剖）-2019年高考数学高频考点全突破

-----------精讲深剖 函数的零点、方程根的问题方法灵活，综合性强也是高考的热点，常常给人带来“不识庐山真面目”的困惑，而对其问题进行归纳分类剖析，此类问题即在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

?x2?2ax?a,1.【2018年天津高考理第14题】已知a?0,函数f(x)??2??x?2ax?2a,x?0,若关 x?0.于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________. 【答案】(4,8)

【点评】本题为分段函数零点问题，先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x?2ax?a?ax,

2?x2?,x?0?x2x2?x?1, 同理可得：a?,此时建立函数g(x)??2,将零点个数问然后分离变量得：a??x?1x?2?x,x?0??x?2题，转化为函数图像（借助对勾函数和图像平移）的交点问题解决。

同时绘制函数图像如图所示,考察临界条件,

结合a?0，y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

【点评】：先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x?2ax?a?ax,然后分离变量得：

2x2x2a??, 化为函数g(x)??，运用导数研究函数，将零点个数问题转化为函数图像的交点问题决。

x?1x?1

【点评】先由分段函数进行分类讨论，运用换元法化为二次函数图像问题解决。 解法四：由题；关于x的方程f(x)?ax恰有恰有2个互异的实数解,

?x2?ax?a,等价于g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,如图

x?0,有2个互异的实数解。 x?0.yaxO-2a

2??1?a?4a?0，解得；4?a?8 a?0时；则使g(x)有2个互异的实数解，需满足；?2?a?8a?0??22??1?a?4a?0或?，解得为?，综上4?a?8. 2?a?8a?0??2?x2?ax?a,【点评】构建函数整体解决，即化为g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,分类求解可得,所谓大道至简。

x?0,讨论二次函数的交点问题， x?0.

1.（人教A版必修1第88页例1）求函数f(x)?lnx?2x?6的零点的个数. 【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:

x 1 2 －3 4 5 6 7 8 9

f(x) －4 1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点． 因为函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．

【反思回顾】（1）知识反思：函数零点的定义、函数的性质及应用及数形结合思想；

（2）解题反思：本题为运用函数思想解决方程的求解问题，需要理解零点的概念（三种等价的解释）。 由函数思想丰富了求解方程的思路。感受函数思想的作用及数形结合的方法。

（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；

1.函数零点的定义

(1) 一般地，对于函数y?f?x?，我们把方程f?x??0的实数根x称为函数y?f?x?的零点； (2) 明确三个等价关系(三者相互转化)

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．

2.函数零点存在性定理：设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且f?a?f?b??0，那么在开区间?a,b?内至少有函数f?x?的一个零点，即至少有一点x0??a,b?，使得f?x0??0。 （1）f?x?在?a,b?上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提

（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设f?x?连续） ① 若f?a?f?b??0，则f?x?的零点不一定只有一个，可以有多个 ②若f?a?f?b??0，那么f?x?在?a,b?不一定有零点 ③ 若f?x?在?a,b?有零点，则f?a?f?b?不一定必须异号 3．断函数零点个数的常见方法

（1）直接法：解方程f?x??0，方程有几个解，函数f?x?就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

（3）图象法：画出函数f?x?的图象，函数f?x?的图象与x轴的交点个数即为函数f?x?的零点个数； 或将函数f?x?拆成两个常见函数g?x?和h?x?的差，从而f?x??0?g?x??h?x??0

?g?x??h?x?，则函数f?x?的零点个数即为函数y?g?x?与函数y?h?x?的图象的交点个数；

变式1. 函数零点的判断

例1：（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

A.y?cosx B.y?sinx C.y?lnx D.y?x?1【答案】A

2?x2?2,x?0（2）函数f?x???的零点个数是__________.

2x?6?lnx,x?0?【答案】2

2【解析】解法一：令x?2?0得，x??2，只有x??2符合题意；

令2x?6?lnx?0得，6?2x?lnx，在同一坐标系内，画出y?6?2x,y?lnx的图象， 观察知交点有1，所以零点个数是2.

解法二：当x≤0时,f(x)＝x－2,令x－2＝0,得x＝2(舍)或x＝－2, 即在区间(－∞,0]上,函数只有一个零点．当x>0时,f(x)＝2x－6＋lnx,

2

2

f′(x)＝2＋,由x＞0知f′(x)＞0,∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,

x而f(1)＝－4＜0,f(e)＝2e－5＞0,f(1)f(e)＜0,从而f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点． 综上可知,函数f(x)的零点个数是2.故填2.

（3）函数f?x??2x2?e在?2,2有 个零点．

x1

??【答案】2．

【点评】(1)函数的零点可转换为方程的根,若方程能够直接解出,则零点也就得到；

(2)连续函数在区间[a,b]上有f(a)·f(b)＜0时,函数在(a,b)内至少有一个零点,但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a,b)内零点的个数,还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断； (3)对于解析式较复杂的函数的零点,可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为f(x)＝g(x)的形式,通过考察两个函数图象的交点来求。

变式2. 由函数的零点(或方程的根)求参数

例2：（1）若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是________．

?1?【答案】(－∞,－1)∪?，＋∞?. ?5?

（2）已知函数f?x??x?|x|?3?a有4个零点，则实数a的取值范围是 ；

2【答案】(?3,?11) 4222【解析】由函数f(x)?x?x?3?a有4个零点?x?x?3?a?0有4个根，即x?x?3??a 有4个根。令g(x)?x?x?3，h(x)??a如下图。

2

由图知h(x)??a在

1111到3之间，所以实数a的取值范围是(?3,?) 4432（3）函数f?x??ax?3x?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0 ，则a的取值范围是 ；

【答案】???,?2?

?1?3【解析】ax?3x?1?0?a?????，

?x?x323令t?13，依题意可知a??t?3t只有一个零点t0且t0?0， x3即y?a与g?t???t?3t只有一个在横轴正半轴的交点．

g??t???3t2?3可知g?t?在???,?1?,?1,???减，在??1,1?增，

g??1???2 作出图象可得只有a??2时，y?a与g?t???t3?3t只有一个在横轴正半轴的交点．

【点评】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 变式3.复合函数的零点个数问题

例3：（1）已知函数y?f?x?和y?g?x?在??2,2?的图像如下，给出下列四个命题： ①方程f??g?x????0有且只有6个根 ②方程g??f?x????0有且只有3个根 ③方程

f??f?x????0有且只有5个根 ④方程g??g?x????0有且只有4个根

则正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B．

（2）若函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有极值点x1,x2,且f(x1)＝x1,则关于x的方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A

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