高考数学总复习 同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案 理 北

学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x

＝tan x .

自主梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：______________________________.

2．诱导公式

(1)sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝__________，tan(α＋2k π)＝__________，k ∈Z .

(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.

(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.

(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.

(5)sin ????π2－α＝________，cos ???

?π2－α＝________. (6)sin ????π2＋α＝__________，cos ???

?π2＋α＝____________________________________. 3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：

上述过程体现了化归的思想方法． 自我检测

1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°等

于 ( )

A ．－32

B ．－12

C.12

D.32

2．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α

的值为 ( ) A.103 B.53

C.23

D ．－2 3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝34

，则sin α等于( ) A.45 B.35

C ．－45

D ．－35

4．cos(－174π)－sin(－174

π)的值是 ( ) A. 2 B ．－ 2

C ．0 D.22

5．(2011·清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.

探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值

例1 已知－π2

. (1)求sin 2x －cos 2x 的值；

(2)求tan x 2sin x ＋cos x

的值．

变式迁移1 已知sin(3π＋α)＝2sin ????3π2＋α，求下列各式的值．

(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α

；(2)sin 2α＋sin 2α.

探究点二 利用诱导公式化简、求值

例2 (2011·合肥模拟)已知sin ????α＋π2＝－55

，α∈(0，π)． (1)求sin ????α－π2－cos ????3π2＋αsin (π－α)＋cos (3π＋α)

的值； (2)求cos ?

???2α－3π4的值．

变式迁移2 设f (α)＝

2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ????3π2＋α－sin 2????π2＋α (1＋2sin α≠0)，则f ????－23π6＝________. 探究点三 综合应用

例3 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．

变式迁移3 (2011·安阳模拟)已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15

， (1)求sin A ·cos A ；

(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A 的值．

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