武汉理工大学《信号与系统》2010年考研培训班内部讲义2

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第一章 信号与系统的基本概念

【本章考点】

1、信号的基本运算和波形变换

2、对线性、时不变、因果和稳定系统的判别 线性系统判据： 若e1(t)?r1(t),e2(t)?r2(t) 则k1e1(t)?k2e2(t)?k1r1(t)?k2r2(t)

时不变性（非时变性）判据：

若T[e(t)]?r(t) 则T[e(t?t0)]?r(t?t0) 因果系统的判据：

因果系统是指系统在t0时刻的响应取决于t= t0和t< t0时的输入，而与和t> t0是的输入无关，否则即为非因果系统。

稳定性判据：如果系统对任意有界输入都只产生有界输出，则称该系统为有界输入有界输出意义下的稳定系统，否则为不稳定的系统。 3、周期信号的判断以及求其周期。

周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。

连续周期信号f(t)满足: f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,? 离散周期信号f(k)满足: f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,? 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。

【本章重点】

1、信号与系统的描述与分类 2、信号的基本运算和波形变换

3、对线性、时不变、因果和稳定系统的判别（06年2；07年1；08年1）

【本章难点】

1、 对线性、时不变、因果和稳定系统的判别

【知识点详细讲解】

1、给定题下图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。

(a) 2 f( t ? 2 ) (b) f( 2t ) (c) f(

t ) 2(d) f( ?t +1 )

解：以上各函数的波形如下图所示

1

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2、判断下列信号是否为周期信号？若是周期信号，则确定其周期T。 (1) f1(t)?1?3sin(?t)?sin(2?t) (2) f2(t)?cos(2?t)?cos(5t) (3) f3(n)?2sin?n?解:（1）

?3?4??? 6?n1?1?1??? n2?22?22?2??1??2, ?1?因此，公共周期T0?n1基频f0?11??0.5Hz T02(2) 由于两个分量的频率比值的。

?12?是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期??25(3)按定义，周期序列f3?n?应满足f3?n??f3?n?N?，其中满足定义式的最小正整数N称为序列的周期。

3?????3?3?3?n?N?????2sinn?N??2sinn??????f3?n??6?46?6??4?4?438，应该满足N?2?, 即N??，N不是正整数，故f3?n?不是周期序列。

43欲使f3?n?N??2sin?3、判断方程y?t??x?t?描述的系统是否为线性系统？

2分析：在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须同时满足可加性和齐次性。

解：设x1?t?,x2?t?为两个输入信号 2

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先经系统

x1?t??y1?t??x12?t?x2?t??y2?t??x?t?22

2再线性运算 ay1?t??by2?t??ax1?t??bx22?t?

设x3(t)为x1(t)和x2(t)的线性组合,先线性运算再经系统

2?t???ax1?t??bx2?t??x3?t??y3?t??x322?t??2abx1?t?x2?t? 　　　　　　 ?a2x12?t??b2x2 ?a2y1?t??b2y2?t??2abx1?t?x2?t?先经系统再线性运算与先线性运算再经系统结果不等，所以系统是非线性的。 4、系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下,判断系统是否是因果系统.。

(1) y?t??x?t?cos?t?1? (2) y?t??x??t?

分析：在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输入-输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系统定义中所用到的其它函数的的影响区分开来。 解：

(1) y?t??x?t?cos?t?1?

在这个系统中，任何时刻t的输出等于在同一时刻的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是输入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是因果系统。

(2) y?t??x??t?

在某个正的时刻t0的输出y(t0)=x(-t0) ，仅仅决定于输入

在时刻(-t0)的值，(-t0)是负的，因此属于t0的过去时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，我们总是要检查在全部时间上的输入-输出关系，对于t<0，如

t??4,y??4??x?4?所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此，该系统不是因果

系统。 5、判断稳定性

(1)T[e(t)]?ee(t)解：

(2)r(t)?de(t) dt(1)若|e(t)|?M，则故系统稳定。

|T[e(t)]|?|ee(t)|?eM??

de(t)|dt（2）若|e(t)|?M,|r(t)|?|不一定??

如e(t)??(t),r(t)??(t)?不稳定

3

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第二章 连续时间信号与系统的时域分析

【本章考点】

1、系统全响应的求解

对于一个n阶LTI系统，若其特征根?i(i?1,2,?,n)均为单根，则全响应可写为：

y(t)??Ciei?1n?it?yp(t)??Cxiei?1n?it??Cfie?it?yp(t) （2-1）

i?1n

n自由响应强迫响应零输入响应零输入响应式中

?Ceii?1?it＝?Cxie＋?Cfie?it?iti?1i?1nn

（2-2）

且系统响应分量中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应，随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。

零输入响应——输入信号为零、仅由初始状态引起的响应 零状态响应——初始状态为零、仅由输入信号引起的响应 2、单位冲激响应的求解

LTI连续系统在激励为单位冲激信号?(t)的作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。 3、卷积的计算

一般而言，两个信号f1?t?，f2?t?的卷积积分定义为

f(t)????f1(?)f2(t??)d? （2-3）

简称卷积，记作f(t)?f1(t)?f2(t)

?【本章重点】

1掌握复杂函数波形的画法（06年1.9；07年2；10年1） 2含有冲激函数的积分计算（06年1.4）

3掌握系统微分方程的建立与求解方法和系统模拟框图的画法，并由系统框图列写系统的微分方程

4掌握单位冲激响应的求解方法（10年2）

5掌握系统全响应的求解方式，且能分别求出零输入响应和零状态响应；自由响应和强迫响应；瞬间响应和稳态响应（06年3；07年4；08年2；10年5）

6掌握卷积的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应（08年3；09年1）

【本章难点】

1、掌握单位冲激响应的求解方法

2、掌握系统全响应的求解方式，且能分别求出零输入响应和零状态响应；自由响应和强迫响应；瞬间响应和稳态响应

4

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3、掌握卷积的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应

【知识点详细讲解】

1设有如图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。 解：(a)

1,20?t?2

f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2

?2?( t ? 4 )， t = 4

(b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )

2试计算下列结果。 (1) t?( t ? 1 )

?(3) ?(2) (4)

t?(t?1)dt

πcos(?t?)?(t)dt 0?3?????0?0?e?3t?(?t)dt

??解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 )

(2)

???t?(t?1)dt???(t?1)dt?1

?? 5

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?ππ1cos(?t?)?(t)dt?cos(?)?(t)dt? ?0??0?332?(3) (4)

?0?0?e?3t?(?t)dt??e?3t?(t)dt???(t)dt?1

0?0?0?0?3给定系统微分方程y''(t)?3y'(t)?2y(t)?f'(t)?3f(t)，若激励信号和初始状态分别为

f(t)?u(t)，y(0?)?1，y'(0?)?2，试求系统的全响应，并指出其零输入响应、零状态

响应、自由响应、强迫响应各分量。 解：（1）求零输入响应yx(t)：

由已知条件有：

?yx\(t)?3yx'(t)?2yx(t)?0?''yx(0?)?yx(0?)?2 ??yx(0?)?yx(0?)?1? 特征方程： ??3??2?0

特征根为： ?1??1，?2??2

故可设零输入响应（齐次解）为：yx(t)?(C1e?t?C2e?2t),代入初始条件，并求解得C1?4，C2??3 故 yx(t)?(4e?t?3e?2t)u(t) （2）求零状态yf(t)： 依题意，可设齐次解 D1e?t2t?0

?D2e?2t,t?0，

3是方程的一个特解。 2又由于t?0时，f(t)?u(t)?1，易知

故零状态响应为：yf(t)?D1e?t3?D2e?2t?,t?0

2为了确定待定系数，将f(t)?u(t)代入原方程，有：

yf\(t)?3yf'(t)?2yf(t)??(t)?3u(t)

根据奇异函数匹配法，当0??t?0?时，可设：yf\(t)?a?(t)?bu(t)，则：

yf'(t)?au(t)，yf(t)?atu(t)?0

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代入方程，平衡两边相同项的系数得a?1,b?0

故 yf(0?)?yf(0?)?a?0?1?1，yf(0?)?yf(0?)?0 代入表达式，可解得：D1??2，D2?''1 2故 yf(t)?(?2e?t13?e?2t?)u(t) 22?t（3）全响应y(t)?yx(t)?yf(t)?(2e零输入响应为：(4e?t?3e?2t)u(t) 零状态响应为：(?2e?自由响应为：(2e?t?t53?e?2t?)u(t) ，其中： 221?2t3e?)u(t) 225?e?2t)u(t) 2强迫响应为：

3u(t) 24如图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统（积分器、单位延时器、倒相器）的冲激响应分别为：h1(t)?u(t)， h2(t)??(t?1)，h3(t)???(t)，试求整个系统的冲激响应h(t)。

h1(t)h2(t)h1(t)h3(t)

解：根据串、并联系统的特点，不难得到整个系统的冲激响应为：

h(t)?h1(t)?h2(t)*h1(t)*h3(t)?u(t)??(t?1)*u(t)*[??(t)] ?u(t)?u(t?1)5对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。

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解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即

f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )

故

f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]

因为

t?( t ) * ?( t ) =

故有

?01d?= t?( t )

f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )

也可以用图形扫描法计算之。结果见下图（a）所示。

(b)根据? ( t )的特点，则

f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]

= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见下图(b)所示。

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第三章 连续时间信号与系统的频域分析

【本章考点】

1、对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图

F(j?)??????? （3-1） 1?j?tf(t)?F(j?)ed?????2??f(t)e?j?tdt2?，可以将f(t)展开成指数形T0?2、周期信号的傅里叶变换

设周期信号f(t)的周期为T0，则角频率?0?2?f0?式的傅里叶级数

f(t)?n?????Fnejn?0t (3-2)

将上式两边取傅里叶变换,可求出周期信号f(t)的傅里叶变换

F(j?)=?[f(t)]?2?3对系统频谱函数的求解

n????F?(??n?) （3-3)

n0?频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励的傅里叶变换F(j?)之比，即H(j?)?defY(j?)。 （3-4）

F(j?)H(j?)可写为：H(j?)?H(j?)ej????,其中，H(j?)是输出与输入信号的幅度

之比，称为幅频特性（或幅频响应）；?(?)是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。

4线性系统零状态响应的频域分析方法

当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为f(t)时，系统的零状态响应为：

y(t)?f(t)*h(t) （3-5）

对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：

Y(j?)?F(j?)H(j?) （3-6）

即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得

Y(j?)后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。

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【本章重点】

1掌握傅立叶变换的定义、常用函数的频谱函数，以及周期函数和非周期信号频谱函数求法（06年1.1，1.3；10年8）

2利用傅立叶变换的定义和性质对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图（07年5；08年4；09年3,4；10年4）

3掌握系统频谱响应函数的概念，以及线性系统零状态响应的频域分析方法（08年9；09年5）

4了解理想低通滤波器的频率特性及其冲激响应和阶跃响应（10年8） 5掌握调制与解调的基本原理

【本章难点】

1利用傅立叶变换的定义和性质对信号进行傅立叶正反变换，并能绘制频谱图 2线性系统零状态响应的频域分析方法

【知识点详细讲解】

1、已知信号f(t)???t???1?cost ，求该信号的傅里叶变换。

t????0 分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看成是周期信号?1?cost?经过门函数

G2??t?也可以看成是?1?cost?经过门函数G2??t?的截取，也可以看成是G2??t?被信号

?1?cost?调制所得的信号.

有以下三种解法：

方法一：利用频移性质 方法二：利用频域卷积定理

方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性

方法一：利用频移性质

利用频移性质：由于f(t)??1?cost?G2?(t) 利用欧拉公式，将?1?cost?化为虚指数信号，

f(t)就可以看成是门函数G2??t?被虚指数信号调制的结果。在频域上，就相当于对G2??t?

的频谱进行平移。

f(t)??1?cost?G2?(t) ?1jt1?jt???1?e?e?G2?(t)2?2?又因 G2?(t)?2?Sa?????所以根据频移性质，可得

2sin???

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F????F?f(t)?11?2sin????1??2sin????1?2sin??2???2

???1??12sin??????2?1??方法二：用频域卷积定理

将f(t)看成是信号?1?cost?经过窗函数G2??t?的截取，即时域中两信号相乘

f(t)??1?cost?G2?(t)

根据频域卷积定理有

F?????1F?1?cost??F?G2??t?? 2?1?2???????????1???????1?? ?2sin?? 2????2sin??

??2?1??方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性

信号f(t)是余弦函数的截断函数，而余弦函数的二次导数又是余弦函数。利用傅里叶变换的时域微积分特性可以列方程求解。 f?t? f?t?,f??t?,f???t?的波形为：由图可知

2f???t???costG2?(t)???f?t??G2?(t)?

??f??t???2?2?tf???t?对上式两端取傅里叶变换，可得

1????2?12sin???????? ???1??2?F????2sin?

?j??2F?????F??????21?t????2?1?2?t由于f?(t)和f??(t)均为能量信号，其傅立叶变换在??0处都等于0，根据时域积分特性，

（1??2）F???中不可能含有????项，因此可将项移到方程右边，即

2sin?? F???????2?1

??

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??2 求信号f(t)?解：

n????[?(t?2nT)??(t?(2n?1)T)]的傅氏变换。

?T，

信号周期为：2T，则?0?1Fn?2T?1???T??0?3T2T?2[?(t)??(t?T)]e?jn?0tdt?1[1?e?jn?0T] 2Tf(t)n?2k?1n?2k??其中k??

?2T0?ToT2T3Tt2??f(t)?T3、设信号

k?????(??(2k?1)?) 2,0?t?4

f1( t ) = 0, 其他

试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。 解 因

F(?)?2?Sa(故

??2)e?j2??8Sa(2?)e?j2?

1F2(?)?[F1(??50)?F1(??50)]

2?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)

幅度频谱见下图，

50

50

| F2(?) |

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4、利用傅里叶变换的性质，求下图所示信号f2( t )的频谱函数。

解 由于f1( t )的A = 2，? = 2，故其变换

F1(?)?A?Sa2(根据尺度特性，有

??2)?4Sa2(?)

tf1()?2F1(2?)?8Sa2(2?) 2再由调制定理得

tf2(t)?f1()cosπt?F2(?)

21F2(?)?[8Sa2(2??2π)?8Sa2(2??2π)]

2?4Sa2(2??2π)?4Sa2(2??2π) sin2(2?)sin2(2?) ??(??π)2(??π)2d5、设f(t)的傅立叶变换为F(j?)，求 f(at?b)的傅立叶变换以及F(0),f(0)。dt?b1?ja解 F[f(at?b)?F()e

aad1?ja由微分性质知，F[f(at?b)]?j?F()e

dtaa?b 13

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F(j?)??????f(t)e?j?tdt令??0f(t)dtF(j?)e??j?t?F(0)??1f(t)?2??f(0)???????d?令t?0

12????F(j?)d?6、.求下列信号的傅里叶变换

（1）f(t)?e?jt?(t?2) （2）f(t)?e?3(t?1)?'(t?1) 解：

（1）已知 ?(t)?1 由时频性质可得

?(t?2)?e?j2?

?1)t?2j(?再由时频性质可得f(t)的傅里叶变换 e?j?(t?2)?e

??1)即 F(j?)?e?j2(

（2）f(t)的傅里叶变换为

f(t)?e?3(t?1)?'(t?1)??'(t?1)?(?3)?(t?1)??(t?1)?3?(t?1)又?(t)?1，?(t)?j?，最后可得

''

F(j?)?(j??3)e?j?

7、根据傅里叶的对称性求出下列函数的傅里叶变换 （1）f(t)?sin?2?(t?2)???t?2?,???t??

（2）f(t)?2?,???t??

?2?t2解：

由门函数的频谱密度，即

g?(t)??Sa(取??2，幅度为

??2)

1，根据傅里叶变换有 21g2(t)?Sa(?) 2又g2(t)是偶函数，根据对称性可得

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Sa(t)??g?(?)

根据时移性和尺度变换可知

Sa[2?(t?2)]?最后可得

F(j?)?{0（2）由于

e可知

??te?j2?1g4?(?)e?j2? 2??2???2?

?2? 22???2?????2?e 22??t即f(t)?2????,???t??的傅里叶变换为 2?e?2?t28、若已知f(t)?F(j?)，求下列函数的频谱： （1）(1?t)f(1?t) （2）ejtf(3?2t) （3）

df(t)1? dt?t解：

（1）由频域的微分性质可得

dF(j?) d?dF(??j )由反转特性可得 ?tf(?t)??jd?tf(t)?j又由时移性质可得

(?t?1)f(?t?1)??je（2）由尺度变换特性可得

?j?dF(?j?) d?f(?2t)?由时移特性可得

1?F(?j) 22?1?j32?F(?j) f(3?2t)?e22又由频移性质可得

1?j3(?2?1)1??F(?j) ef(3?2t)?e22jt 15

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（3）由时域微分特性可得 又有

df(t)?j?F(j?) dt1??jsgn(?)

?

则由时域卷积定理可得

df(t)1??j?F(j?)?(?j)sgn(?)??F(j?) dt?t9 已知系统框图如下图所示，其中G1(t)为门函数，子系统的单位冲激响应为：

3?sint??2 h1(t)???(t?2n)， h2(t)??tn???系统输入为e(t)?cos?t（???t???）。 （1）求子系统输出?(t)的傅里叶变换； （2）证明?(t)傅里叶系数为Ck?（3）求系统的稳态响应。

1k?； cos22?(1?k)??t?e?t?G1?t?

h1?t?h2?t?r?t?解：（1）?(t)??e(t)?G1(t)??h1(t)，

因为 e(t)?E(j?)????(???)??(???)?，G1(t)?Sa?由频域卷积定理得：

???? 2??e(t)?G1(t)?1???1???????????????(???)??(???)??Sa????Sa??Sa???? 2??2?2??2??2??1???????????????Sa????H1(j?) 22?????1再由时域卷积定理可得：

?(t)?W(j?)??Sa?2??而h1(t)?

n?????(t?2n)的周期T?2，角频率为?16

??，由于其单周期h10(t)??(t)的傅

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里叶变换为H10(j?)?1，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：

11??jn?jn?h1(t)??H10(j?)|??n?1?e??e

2n???n???T故其傅里叶变换为：

??1??H1(j?)??2??(??n?)????(??n?)

2n???n?????则

W(j?)?????????Sa?????H1(j?)??2??n?2???2?cos2??(??n?)　　　　?? 22(n?)??n???n?2cos??2??(??n?)　　　　??2n???1?n1?????Sa??2??2（2）由（1）知?(t)也是周期T?2，角频率为?1??的周期信号。若?(t)的傅里叶级数为?(t)?n????Wen??jn?1，则其傅里叶变换为：

??W(j?)?2?n????W?(??n?)

nn?2。 与（1）的结果相对比直接可得Wn??(1?n2)cossin（3）由傅里叶变换的对称性可知h2(t)?通滤波器，其截止频率为

3?t2?G(?)，即系统h(t)是一个理想低

23??t3?。由（2）知?(t)的基波频率为?1??，则2次谐波和2次 2r(t)?111?(ej?t?e?j?t)??cos(?t) ?4?224谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：

110某一信号处理系统，已知f(t)?20cos(100t)cos(10t)，理想低通滤波器的频率响应为H(j?)?G240(?)，求系统的零状态响应y(t)。 解：对输入信号化简得：

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f(t)　?20cos100tcos2104t　　　?10cos100t?10costcos2?104t　　　?10cos100t?5cos(100?2?104)t?5cos(2?104?100)t即输入信号包含了三个频率成分，?0?100，?1?100?2?104以及?2?2?104?100。由于系统传输函数是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让?0?100的频率分量通

100t)。 过，而?1和?2无法通过，故y(t)?10cos(11 因果线性时不变系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f?(t)?3f(t)， （1）求频率响应；

（2）求单位冲激响应；

（3）求f(t)?e?tu(t)时的响应y(t)。 解：（1）对微分方程两边作傅里叶变换

?(j?)可得频率响应

2?3(j?)?2Y(j?)?(j??3)F(j?)

?H(j?)?（2）单位冲激响应为：

Y(j?)j??321 ???F(j?)(j??2)(j??1)j??1j??2h(t)?(2e?t?e?2t)u(t)

（3）当输入为f(t)?e?tu(t)时，F(j?)?1，则输出信号的频谱为：

j??1Y(j?)?F(j?)H(j?)?输出信号为：

j??3

(j??1)2(j??2)y(t)?(2te?t?e?t?e?2t)u(t)

18

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第四章 连续时间信号与系统的复频域分析

【本章考点】

1.拉普拉斯变换的定义

F(s)? f(t)?2.拉普拉斯变换的收敛域

对于单边信号f(t)，当t??时，若存在一个?0值使得???0时，f(t)e??t的极限等于零，则f(t)e??t在???0的全部范围内满足绝对可积，Laplace变换存在。这一关系可表示为

????f(t)e?stdt (4-1)

F(s)estds (4-2)

2?j??1??j??j?limf(t)e??t?0，???0 (4-3)

t??3常见信号的拉普拉斯变换对（附表1） 4拉普拉斯变换的基本性质（附表2） 5拉普拉斯反变换（附表3） 6系统函数与时域响应

系统函数定义为系统的零状态响应的象函数Yf(s)与激励的象函数F(s)之比，用H(s)表示，即

H(s)?defYf(s)F(s)?B(s) (4-4) A(s)引入系统函数的概念后，系统零状态响应的象函数可写为

Yf(s)?H(s)F(s) (4-5)

若对H(s)求拉普拉斯反变换，则H(s)的每个极点将对应一个时间函数。也就是说，冲激响应h(t)的函数形式完全取决于H(s)的极点；而幅度和相角将由极点和零点共同决定。因此，h(t)完全由H(s)的零、极点位置决定。

7系统函数与频域响应

由系统的零、极点分布不但可以确定系统时域响应的模式，也可以定性了解系统的频域特性，即可由系统函数H(s)大致地描绘出系统的频响特性曲线H(j?)～?，?(?)～

?。

(j??z1)(j??z2)?(j??zm)H(j?)?K?K(j??p1)(j??p2)?(j??pn)8系统的稳定性

19

?(j??z)jm?(j??p)ii?1j?1n (4-6)

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稳定性是系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与激励无关。可以证明，线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应h(t)绝对可积。设M为有限正实数，系统稳定的充分必要条件可表示为

??【本章重点】

??h(t)dt?M?? (4-7)

1、 掌握拉普变换的定义、收敛域，以及拉普拉斯反变换的求解方法（09年6；10年6） 2、 掌握常见信号拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换性质并能灵活应用（07年3.4；08年8；

09年7；10年3）

3、 掌握连续时间系统的复频域分析方法，并解其全响应、零输入响应、零状态响应和单位

冲激响应（09年12、14.2；10年10） 4、 掌握S域模型求解电路的方法

5、 掌握系统函数H（s）的定义及求解方法，并能由H（s）画出系统的直接模拟框图（06

年4、5；07年6.1；08年10.2）

6、 掌握系统函数H（s）与系统时域和频域特性的关系，并能利用矢量作图法画出系统的

幅频响应曲线（07年6.2；08年10.3）

7、 掌握系统稳定性的定义，能利用罗斯判据来判断系统的稳定性（06年1.7、5；08年5；

09年10、14.4；10年9.1）

【本章难点】

1、 灵活应用拉普拉斯变换对及其性质求解复杂信号的拉普拉斯变换 2、 利用S域模型求解电路中相关响应

3、 利用部分分式法求拉普拉斯反变换（尤其是要构造表中熟悉表达式形式时） 4、 利用矢量作图法画出系统的幅频响应曲线

【知识点详细讲解】

1求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。

(1)?1?e?1??t?u?t?

(2)?t3?2t2?1?u?t?

(3)e??tcos??t???u?t?

解：

11(1)L{(?e??t)u(t)}?L{(1?e??t)u(t)}??111[?]?ss??1?s(s??)?

20

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收敛

??max[0,??]。

(2)L{t3?2t2?1u?t?}???3!2!1?2?s4s3s 3641s?4s?6?4?3??ssss4收敛域为??0。

(3)L{e??tcos??t???u?t?}?L{e??t(cos?tcos??sin?tsin?)u(t)}

(s??)cos???sin??(s??)2??2收敛域为????。

2利用拉普拉斯变换性质，求下列信号的拉普拉斯变换。

(1)f(t)?tsintu(t) (2)f(t)?sin?t[u(t)?u(t?1)] (3)f(t)?t[u(t)?u(t?2)] (4)f(t)?[t3?te?3tcos(2t)]u(t)

解：

(1) 因为 sint?1 s2?1利用复频域微分性质，有tsint??d12s[2]?2 dss?1(s?1)2即 F(s)?2s 22(s?1)(2)f(t)?sin?tu(t)?sin?(t?1)u(t?1)

F(s)??s2??2??s2??2e?s?(1?e?s)?2 2s??

(3)f(t)?tu(t)?(t?2)u(t?2)?2u(t?2)

F(s)?11?2s2?2s?e?e 22ssss2?4(4)因为 tcos2t?2

(s?4)2 t?23! s4根据拉普拉斯变换时域频移性质，有

21

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6(s?3)2?4 F(s)?4?s[(s?3)2?4]23求下列函数的拉普拉斯反变换。

11?e?s?e?2s1?e?s2(1)) (2) (3)(?s1?es?1s解：

1e?se?2s??（1）F(s)? s?1s?1s?1根据时延性质

1e?se?2s?1f(t)?L{??}

s?1s?1s?1 ?t?(t?1)?(t?2)?eu(t)?eu(t?1)?eu(t?2)

（2）将F(s)整理成

F1(s)周期形式 ?sT1?e11?e?sF(s)?? ?s?2s1?e1?e又 L?1{1?e?s}??(t)??(t?1)

则f(t)是第一周期单个函数为?(t)??(t?1)、周期T?2的周期函数，所以

f(t)??(t)??(t?1)??(t?2)??(t?3)????(?1)?(t?k)kk?0?

1?e?s21?e?s1?e?s)???F1(s)?F1(s) （3）因为F(s)?(sss由卷积定理知 f(t)?f1(t)?f1(t)

其中 f1(t)?L{F1(s)}?u(t)?u(t?1) 所以

?1f(t)?[u(t)?u(t?1)]?[u(t)?u(t?1)]?[?(t)??(t?1)]?[tu(t)?(t?1)u(t?1)]?tu(t)?(t?1)u(t?1)?(t?1)u(t?1)?(t?2)u(t?2)?tu(t)?2(t?1)u(t?1)?(t?2)u(t?2)4用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换。

22

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4s2?4s?2 (2)F(s)? (1)F(s)?3(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)(3)F(s)?解：

（1）由于F(s)中m?n?2，首先用长除法运算得

2s?103s?9(4)F(s)?

s2?4s?13s(s2?9)s2?4s?2s F(s)??1?(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)对真分式展开成部分分式

kkN(s)s??1?2 D(s)(s?1)(s?2)s?1s?2其中 k1?(s?1)N(s)s???1

D(s)s??1s?2s??1k2?(s?2)N(s)s??2

D(s)s??2s?1s??212? s?1s?2?2t则原式为 F(s)?1??t所以 f(t)?(?(t)?e?2e（2）原式展开成部分分式

)u(t)

F(s)?44?4?4?4 ????332s?1s?2(s?1)(s?2)(s?2)(s?2)?t2?2t所以 f(t)?(4e?2te（3）F(s)??4te?2t?4e?2t)u(t)

3s?913s ???222s(s?9)ss?9s?9 f(t)?(1?sin3t?cos3t)u(t) （4）F(s)?2s?102(s?2)3??2 22222s?4s?13(s?2)?3(s?2)?3?2t f(t)?[(2cos3t?2sin3t)e]u(t)

5求下列函数拉普拉斯反变换f(t)的初值。

23

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1s4?1(1)F(s)? (2)F(s)?2

s?2s(s?2)解：

（1）f(0?)?limsF(s)?limss??s??1?1 s?2（2）由于F(s)是有理分式，但不是真分式，利用长除法将其分解为

4s2?1F(s)?s?2?3

s?2s24s2?1?4 则f(0?)?limsF(s)?lims3s??s??s?2s26求下列函数拉普拉斯反变换f(t)的终值。

s3?s2?2s?11?e?2t (2)F(s)? (1)F(s)?22(s?1)(s?3)(s?5)s(s?4)解：

（1）令s2(s2?4)?0，得极点

s1?s2?0,s3?2j,s4??2j

有极点在虚轴上，故不能用终值定理，f(t)无终值。

（2）因为s1?1,s2?3,s3??5，F(s)的极点均在s的左半平面，故满足终值定理，因此

s3?s2?2s?1有 f(?)?limsF(s)?lims?0

s?0s?0(s?1)(s?3)(s?5)d2y(t)dy(t)dx(t)?4?3y(t)?2?x(t)，初始状态为y?(0?)?4，7系统的微分方程为2dtdtdty(0?)?1。若激励为x(t)?e?2tu(t)。

（1）试用拉氏变换分析法求全响应；

（2）分别求零输入响应和零状态响应，然后叠加得全响应。 解：微分方程两边作单边拉氏变换，得

???sy?(0?(s2?4s?3)Y(s?)?)y(?0)y4?(0?)s(2Xs) 1??????2s?1sy(0)?y?(0)?4y(0)X(s)? Y(s)?2

s?4s?3s2?4s?3() 24

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X(s)?1, y(0?)?1, y?(0?)?4 s?2Y(s)?2s?11s?4?4?? 22s?2s?4s?3s?4s?3??????????????零状态响应零输入响应7?5?532?2?2?2??

s?1s?2s?3s?1s?3???????????????1零状态响应零输入响应y(t)?11?6e?2t?5e?3t?e?t?u(t)??7e?t?5e?3t?u(t)

??2?2?????????????????????零状态响应零输入响应?8 电路如图题5-7所示，已知E?4V，当t < 0时，开关S打开，电路已达稳态，设v1(0)?0。

当t = 0时，开关S闭合。求t≥0时的v1(t)和i(t)。

图 题5-7

解：

2?＋2/s＋8/3s－i(t)?4/s－1/s＋－1/s4/3sv t1()?

1121//(2?)//484ssss V1(s)?(?)?2113s121s3s2??//?(2?)//ssssss?412s?242s?34121(?)??? 3s4s?54s?53s4s?515s15s?1.252(2?e?1.25t)u(t) 15v1(t)?I(s)?sV1(s)?42s?321211?(1?)??

34s?534s?536s?1.25 25

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21?1.25ti(t)??(t)?eu(t)

369求题9图所示电路的系统函数，并粗略绘其频响曲线。

题9图

解：

由电路图得电压传输函数

Ha(s)?R11R1?Cs?s1s?R1C

令s?j?得

Ha(j?)?j?1j??R1C

?a(?)?arctan??arctanR1C?

?当??0时，Ha(j?)?0,?a(?)?90

当??11,?a(?)?45? 时，Ha(j?)?R1C2?当??0时，Ha(j?)?1,?a(?)?0。

Ha(j?)11?a(?)90?201R1C?幅频响应曲线0相频响应曲线?

26

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题9解图

10如下题图所示反馈系统，为使其稳定，试确定k值。

F(s)?s?ks(s?1)1s?2Y(s)

题10图

解： 系统函数为

s?ks?ks?ks(s?1)(s?2)H(s)???3

s?ks(s?1)(s?2)?s?ks?3s2?3s?k1?s(s?1)(s?2)由罗斯阵列可知，因为阵列：

139?K3K为使第一列元素不变号，即应

3K00

9?K?0,K?0 3即0 < K < 9时系统稳定。

第五章 离散时间信号与系统的时域分析

【本章考点】

1抽样定理： 一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据??m~?m的范围，则信号

f(t)可以用等间隔的抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于

或者说，最低抽样频率为2fm 。最低抽样频率fs?2fm2常用典型序列基本运算 3系统的描述与模拟

描述一阶系统的前向差分方程为

1(其中?m?2?fm)2fm?称为“奈奎斯特频率”。

y(k?1)?a0y(k)?e(k)

27

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e(k)?y(k?1)D??a0y(k)

描述一阶系统的后向差分方程为

y(k)?a0y(k?1)?e(k)

y(k)e(k)??D?a0

4 离散时间系统的响应

与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分析中齐次解常称为系统的自由响应或固有响应。但应注意齐次解的系数是与激励有关的。特解的形式取决于激励信号，常称为强迫响应。 5卷积和

1）卷积和的定义

一般而言，两个序列f1(n)与f2(n)的卷积和定义为

f(n)?i????f(i)f(n?i)?f(n)?f(n) （5-1）

1212n??如果f1(n)与f2(n)均为因果序列，则有：

f1(n)?f2(n)??f1(i)f2(n?i) （5-2）

i?0【本章重点】

1根据抽样定理求奈奎斯特频率和求奈奎斯特间隔（06年8；08年7；09年2） 2掌握由系统差分方程画系统模拟框图，以及有模拟框图列些差分方程

【知识点详细讲解】

1 已知f(t)?cost，现用Ts??/4的时间间隔对其进行理想采样。 （1）画出fs(t)?f(t)?T(t)的波形图； （2）求Fs(j?)?F解：（1）

?fs(t)?，并画出频谱图。

fs(t)(1)????4?4?t （2）?F(j?)?F[cost]????(??1)??(??1)?，?s?

28

2??8rad/s Ts武汉理工大学《信号与系统》考研资料

1?Fs(j?)?F?fs(t)??Tsn????F?j(??n?)??4???(??1?8n)??(??1?8n)?

sn?????s

(4) ?

?9?7?11

2确定下列信号的奈奎斯特采样率与奈奎斯特间隔。

F(j?)?79?2（1）Sa(100t) （2）Sa(100t)?Sa(50t) （3）Sa(100t)?Sa(60t)

2解：

（1）由于信号自乘，频带展宽一倍，?m?200rad/s

?smin?2?m?400rad/s fsmin??smin2001??Hz Tsmax??s 2??fsmin200（2）Sa(100t)与Sa(50t)叠加，最高频率同Sa(100t)

?smin?2?m?200rad/s fsmin?100?Hz Tsmax??1002s

（3） 由于Sa(60t)的最高角频率为?m?60rad/s，而Sa(60t)的最高角频率展宽一倍，

0最高角频率为?m?100rad/s，所以，即?m?120rad/s，又Sa(1t0的

2Sa(1t0?0 ?m?120rad/s，这样，?smin?2?m?240rad/sSa(t6的最高角频率为0)fsmin?120?Hz Tsmax??120s

3判断下列离散信号是周期序列还是非周期序列。若是周期序列试确定其基波周期N。

n???n??n???n???n????1?f1?n??sin??? ??sin?? ?2?f2?n??2sin???cos???6sin??16??3??16??8??26??n???n??虽然是周期序列，其周期N=32，但sin??是非周期序列，所以二者的?16??3?解： (1) sin?乘积序列f1?n?实际是非周期序列。

(2) f2?n?是周期序列。因为f2?n?是三个周期序列代数和组成的序列，所以它的基波

周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。

?n??2sin??的周期是N1?32

?16? 29

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?n????6sin???是N3?4

6??2?n??cos??的周期是N2?16?8? N1,N2,N3的最小公倍数是32，所以f2?n?基波周期N?32。4设有离散系统的差分方程为

y(n)?4y(n?1)?3y(n?2)?4f(n)?f(n?1)

试画出其时域模拟图。 解：原方程可以写为

y(n)??4y(n?1)?3y(n?2)?4f(n)?f(n?1)

从而可得时域模拟图p7-4，图中D为单位延时（位移）器。

5设有差分方程

D

D

D

y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?f(n)

15起始状态y(?1)??,y(?2)?。试求系统的零输入响应。

24解 ：系统的特征方程为

?2 + 3? + 2 = 0

其特征根为

?1 = ?1， ?2 = ?2

则零输入响应的形式为

nyzi(n)?K1?1?K2?n2

?K1(?1)n?K2(?2)n

由起始状态y(?1)和y(?2)导出起始值y(0)和y(1)

n = 0时，y(0) = ?3y(?1) ? 2y(?2) = 1.5 ? 2.5 = ?1 n = 1时，y(1) = ?3y(0) ? 2y(?1) = 3 + 1 = 4

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从而有

yzi(0)?K1?K2??1 yzi(1)??K1?2K2?4

解得

K1 = 2， K2 = ?3

故

yzi(n)?2(?1)n?3(?2)n,n?0

第六章 离散时间信号与系统的Z域分析

【本章考点】

1． z变换的定义

序列x(n)的z变换定义为：

X(z)?ZT[x(n)]?单边z变换定义为：

n????x(n)z??n (6-1)

XI(z)??x(n)z?n (6-2)

n?0?对因果序列，单边z变换与双边z变换相等。 2． z变换的收敛域

并不是所有序列的z变换对所有z值都是存在的。序列的z变换存在，就必须有

n????|x(n)z??n|?? (6-3)

3. z反变换

已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为z反变换。z反变换的定义为：

x(n)?1X(z)zn?1dz,c?(Rx?,Rx?) (6-4) ?2?jc（1）幂级数展开法留数法 （2）部分分式展开法 （3）留数法

4. z变换的性质

5．离散时间系统的Z域分析

应用差分方程的z域解法，求离散系统的一般步骤为： ① 建立描述离散系统特性的差分方程；

② 对差分方程的左右两边取单边z变换，得到z域的代数方程；

③ 解z域的代数方程，得到零输入响应、零状态响应和全响应的z域解； ④ 对z域解求z反变换，求得系统响应的时域解。 6．系统函数

31

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（1）定义：已知系统的单位响应h(n)，对h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，其表征了系统的复频域特性。

H(z)??h(n)z?n (6-5)

n?0??（2）求解方法： ① 按定义计算：H(z)??h(n)zn?0???n；

② 依据物理意义H(z)?的一般表示式

Yzs(z)计算：对N阶差分方程，进行z变换，得到系统函数X(z)H(z)?Yzs(z)?X(z)?bziM?i?ak?0i?0N (6-6)

kz?k③ 根据系统方框图，列写输入输出方程求得。 （3）幅频响应曲线的绘制

幅频特性由零点矢量的大小的连乘积与极点矢量的大小的连乘积的比值决定，相频特性由零点矢量的相角和与极点矢量的相角和的差值决定，即

|H(e)|?Aj??cm?1Nk?1Nm （6-7）

k?d

7．系统函数与系统特性

（1）从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性：

① 系统因果的条件为系统函数H(z)的收敛域包含?； ② 系统稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域包含单位圆；

③ 系统因果且稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域r?|z|??,0?r?1。

【本章重点】

(1) 掌握Z变换的定义、收敛域以及常用序列的Z变换

(2) 掌握Z变换的性质，并能灵活应用求解Z变换与反Z变换（06年1.6；07年3.3；08

年6；08年12；09年9，11；10年7，12）

(3) 运用Z变换分许法求解离散时间系统的响应，包括全响应、输入响应、输出响应和单位

样值响应（06年8；10年12）

(4) 掌握系统函数H(z)的定义，以及H(z)的零、极点分布与系统稳定性的关系（06年6；

32

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07年7；07年9；08年11.2,3；09年8；09年13）

(5) 能进行差分方程和模拟框图之间的互求（07年8；08年11.1；09年15；10年11） (6) 掌握离散时间系统的频率响应的定义，能运用矢量作图法绘制系统幅频响应曲线（06

年8；07年8；08年11.4；09年15）

【本章难点】

(1) 通过Z变换的性质求解Z变换与反Z变换

(2) 运用Z变换分许法求解离散时间系统的响应并作出系统幅频响应曲线 (3) 差分方程和模拟框图之间的互求

【知识点详细讲解】

1利用z变换的性质求下列序列的z变换，并注明收敛域。

（1）[1?(?1)]u(n) （2）(?1)nnu(n) （3）n(n?1)u(n?1) 解：

（1） X(z)?X1(z)?X2(z)

12n11zX1(z)?ZT[u(n)]? |z|?1

22z?111zX2(z)?ZT[(?1)nu(n)]? |z|?1

22z?11zzz2?]?2所以 X(z)?[ |z|?1

2z?1z?1z?1z |z|?1 z?1dzzn()??2所以 n(?1)u(n)??z |z|?1 dzz?1z?1（2）因为 (?1)u(n)?n（3）因为 nu(n)?z |z|?1

(z?1)2(n?1)u(n?1)?z?1所以

z1 |z|?1 ?22(z?1)(z?1)d12z?2z2 |z|?1 n(n?1)u(n?1)??z[]?4dz(z?1)2(z?1)2已知：

X(z)?32 ?1?11?2z?11?z233

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求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。

解：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2?2，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：

|z|?0.5，0.5?|z|?2，|z|?2

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1） 当收敛域为|z|?0.5时，由收敛域可得原序列为左边序列。

X(z)?查表可得

32 ?1?11?2z?11?z212nn x(n)??[3?()?2?2]u(?n?1) （2） 当收敛域为0.5?|z|?2时，

X(z)?32??X1(z)?X2(z) 1?11?2z?11?z2由收敛域可得X1(z)对应的原序列为右边序列，而X2(z)对应的原序列为左边序列，查表可得

x(n)?3?()u(n)?2?2u(?n?1)

（3） 当收敛域为|z|?2时，由收敛域可得原序列为右边序列。

12nnX(z)?可得

32 ?1?11?2z?11?z212nn x(n)?[3?()?2?2]u(n) 3用z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(n)?0,n??1

（2）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(?1)?1,y(n)?0,n??1 （3）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n),

y(?1)?0,y(?2)?解：

1,y(n)?0,n??3 2 34

武汉理工大学《信号与系统》考研资料

（1） 对方程两边进行z变换得

Y(z)?0.9Y(z)z?1?0.05

1?z?1Y(z)?运用部分分式法得 Y(z)?0.05

(1?0.9z?1)(1?z?1)0.05?0.450.5 ???1?1?1?1(1?0.9z)(1?z)1?0.9z1?z由y(n)?0,n??1知，y(n)是因果序列，得

y(n)?(?0.45?0.9n?0.5)u(n)

（2） 对方程两边进行z变换得

Y(z)?0.9z[Y(z)??1k????y(k)z?k]??10.05 ?11?z0.05

1?z?10.05Y(z)?0.9z?1Y(z)?0.9?

1?z?1Y(z)?0.9z?1[Y(z)?y(?1)z]?0.95?0.9z?1 Y(z)??1?1(1?0.9z)(1?z)当n?0时，运用部分分式法得

0.95?0.9z?10.450.5 Y(z)? ??(1?0.9z?1)(1?z?1)1?0.9z?11?z?1可得

y(n)?(0.45?0.9n?0.5)u(n)

总结得到

y(n)?(0.45?0.9?0.5)u(n)??(n?1) （3） 对方程两边进行z变换得

nY(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?当n?0时，运用部分分式法得

1 ?11?zz?1z?1Y(z)? ?(1?3z?1?2z?2)(1?z?1)(1?z?1)(1?z?1)(1?2z?1) 35

武汉理工大学《信号与系统》考研资料

121?3 ?6?1?2?1?1?z1?z1?2z?1可得

112y(n)?(?(?1)n?(?2)n)u(n)

623总结得到

y(n)?(?16121(?1)n?(?2)n)u(n)??(n?2) 2324已知因果离散系统的系统函数H(z)的零极点分布如例4图所示，并且H(0)??2。求： （1） 系统函数H(z)； （2） 系统的频率响应；

（3） 粗略画出频率特性曲线。

jIm[z]-0.50?0.5Re[z]

例4图

解：

（1） 因H(z)?H0z?0.5，代入H(0)??2，得H0?2，所以

z?0.52(z?0.5)H(z)?

z?0.5（2） 因为H(z)的惟一极点z?0.5位于单位圆内，因此系统的频率响应为：

2(ej??0.5)j?j?(?)H(e)?H(z)|z?ej???|H(e)|e j?e?0.5j?（3） 幅频特性|H(ej?)|和相频特性?(?)如例4解图所示。

|H(ej?)|?(?)6?????2??40?4?2?2??40?4?2

5某离散时间LTI系统如5图所示。求：

36

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y(n)x(n)+1DD0.75 例5图

（1） 系统函数H(z)，并画出系统的零极点图；

（2） 系统所有可能的单位响应h(n)，并讨论其因果稳定性；

（3） 在系统稳定的条件下，请根据零极点图概略绘出系统的幅频特性，并标注出

???0,,?时的幅值。

2解：（1）系统函数为：

H(z)?z?131?z?1?z?24

系统的零点为z0?0，极点为p0,1??2,2。零极点图如例6解图（a）所示。 322（2）因为有两个极点，所以收敛域有三种情况|z|?，?|z|?2，|z|?2。

331?z?1z?zH(z)???3

32z?21?z?1?z?2z?43212nn① 当收敛域为|z|?，单位响应h(n)?[(?2)?()]u(?n?1)，系统既不稳定也

333② 当收敛域为

非因果；

212?|z|?2，单位响应h(n)?(?2)nu(?n?1)?()nu(n)，系统稳定333n但非因果；

③ 当收敛域为|z|?2，单位响应h(n)??[(?2)?12n()]u(n)，系统因果但不稳定。 33|H(ej?)|（3）稳定时，系统的幅频特性如例4解图（b）所示。

jIm[z]

Re[z]

?0? 2?-23

（

4/30.80.4976???2?20? （a） （b）

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第七章 系统状态变量分析法

【本章考点】

1连续时间系统状态方程的建立 （1）．状态方程的一般形式

状态方程简写为

x??t??Ax?t??Be?t? （7.1）

输出方程简写成

y?t??Cx?t??De?t? （7.2） （2）．由电路图直接列写状态方程 （3）．由系统的输入－输出方程或模拟图列写状态方程 2离散时间系统状态方程的建立 （1）．状态方程的一般形式

状态方程简写为

x?k?1??Ax?k??Be?k? （7.3）

输出方程简写成

y?k??Cx?k??De?k? （7.4） （2）．由系统的差分方程或模拟图列写状态方程

【本章重点】

（1）掌握系统状态、状态变量、状态方程和输出方向的概念和定义

（2）掌握有系统的微分方程或差分方程或系统函数、函数的模拟框图或电路图来建立系统的状态方程和输出方程的方法(06年7；07年10；08年14；09年16；10年13)

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【知识点详细讲解】

1已知一线性非时变系统的系统函数为H?s??方程。

解：由H?s?可直接列写其状态方程为

s?4，试列写状态方程和输出

s3?6s2?11s?6?x??t??10??x1?t???0??1??0??xt???0?et ?x??t????001??2????????2???xt??1??6?11?6??x??t??????3?????3????输出方程为

?x1?t????y?t??Cx?t??De?t???410??x2?t??

?xt??3???2如图所示，列写状态方程，为使系统稳定，常数?，?应满足什么条件？

F(s)?10s?1X2?s??1sX1?s??Y(s)??

解：设状态变量x1(t)，x2(t)，如图7.6

sX1?s????X1?s??X2?s?

s?1X2?s???X1?s??F?s? 10状态方程为

?(t)?????x1?x?(t)???10??2??1??x1(t)??0??x(t)???10???f?t??? ?1???2???为判断系统稳定性，由状态方程求H?s?

H(s)?C?sI?A??1Cadj?sI?A?B?D B?D?det?sI?A?为使系统稳定，则H?s?的二个根必须处于S的左半开平面，即令

det?sI?A???s????s?1??10??0

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只要满足????1?0?，即可，因此，???1,??为?和?应满足的条件。

10???10??03如图以x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，已y(t)为响应，写出状态方程和输出方程。

5X2(s)?SX1(s)??10X1(s)?5X2(s) 解：X1(s)?s?10

1X(s)?X1(s)?SX3(s)??X3(s)?X1(s)3 s?1 11X2(s)?W(s)＝?[X3(s)?F(s)]s?2s?2?SX2(s)??2X2(s)?X3(s)?F(s)故：0??x1(t)??0??x1'(t)??－105?x'(t)???0??x(t)???1?[f(t)]－212?????2????0?1??1???0???x3'(t)????x3(t)???y(t)?x1(t)?x1(t)???[0][f(t)][y(t)]?[100]?x(t)?2???x3(t)??

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