2011佛山二模（高三理）

2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）

数 学 (理科)

2011.4

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U??1,2,3,4?,，集合P??2,3,4?,Q??1,2?，则eUP?Q? A．? B. ?1? C. ?2? D. ?1,2?

??1?2i表示为a?bi(a,b?R，i是虚数单位)的形式,则ab的值为 i11 A．?2 B．? C．2 D．

223．在正项等比数列?an?中，若a2?a3?2，a4?a5?8，则a5?a6?

A.16 B. 32 C. 36 D. 64

14．已知x?1，则y?x?的最小值为

x?1A.1 B. 2 C. 22 D. 3

2．若将复数

x5．已知f(x)?a(a?0,a?1)，g(x)为f(x)的反函数.若f(?2)?g(2)?0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是

A B C D

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?2x?y?6?0?6．设x,y满足约束条件?x?2y?6?0，则目标函数z?x?y的最大值是 ?y?0?A．4 B．6 C．8 D．10

7．设Rt△ABC的三边长分别为a，b，c（a?b?c），则“a:b:c?3:4:5”是“a，b，c成等差数列”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 8．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数： y?Asin(?x??)?b．则中午12点时最接近的温度为

A．26C B．27C

C．28C D．29C

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)

?????x,x?0f(x)?9.已知，则f[f(?1)]? ． ?2x,x?0?10. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次

采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据 折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑， 则S? 元.

11.某射击爱好者一次击中目标的概率为p，在某次射击训练中向

3，则p?________. 4132212.已知双曲线x?y?1的一条渐近线与曲线y?x?a相切，则a的值为 ___.

3s?1,目标射击3次，记X为击中目标的次数，且DX?13. 如右数表，为一组等式：某学生猜测

1s2?2?3?5,S2n?1?(2n?1)(an2?bn?c)，老师说回答正确，则3a?b? ． s3?4?5?6?15,s4?7?8?9?10?34, (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

s5?11?12?13?14?15?65,14.（坐标系与参数方程）已知⊙O的方程为

????????x?1?t??x?22cos??O（为参数），则⊙上的点到直线（t为参数）的距离的最大??y?1?t???y?22sin?值为 ．

15.（几何证明选讲）如图，已知PA是圆O的切线， 切点为A，直线PO交圆O于B,C两点， AC?2,

?PAB?120?，则圆O的面积为 ．

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）

已知平面直角坐标系上的三点A(0，， 1)，B(?2， 0)，C(cos?， sin?)（??(0,?)）

????????且BA与OC共线.

（1）求tan?； （2）求sin(2???4)的值.

17．（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）

为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85)之间为良好；在[65,75)之间为合格；在(0,60)之间，体能素质为不合格.

现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:

65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93, 85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.

（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图,并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；

（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设?为体能素质为优秀的学生人数，求?的分布列和数学期望（结果用分数表示）；

（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价.

18．（本题满分14分）（第一问8分，第二问6分）

如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正 六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为 等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为13． （1）证明：DF1?平面PA1F1；

（2）求异面直线DF1与B1C1所成角的余弦值．

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19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(0,1)，且离心率为.

ab2（1）求椭圆C的方程；

（2）A,B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,BP分别交直线l:x?22于E,F两点.

证明：以线段EF为直径的圆恒过x轴上的定点.

20．（本题满分14分）（第一问5分，第二问4分，第三问5分）

已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：

a1b1?a2b2?a3b3???an?1bn?1?anbn?(n?1)?2n?1．

（1）若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由； （3）求证：

21．（本题满分14分）（第一小题8分，第二小题6分）

（1）定理：若函数f(x)的图像在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则至少存在一点??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立. 应用上述定理证明：

①1?13?． ?2i?1aibinxy?lny?lnx??1(0?x?y)； yxn?111②??lnn??　　(n?1).

kkk?2k?1nn*（2）设f(x)?x(n?N).若对任意的实数x,y， f(x)?f(y)?f?(x?y)(x?y)2恒成立，求n所有可能的值.

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2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分） 题号 选项 1 B 2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 C 8 B 二、填空题（每题5分，共30分）

122 12．或?（注：正确写出两个才得满分） 23313．4 14．32 15．4?

9．1 10．153000 11．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）

????????解：（1）解法1：由题意得：BA?(2,1)，OC?(cos?,sin?)，???????????

2分 ∵

????????BA//OC，∴

2∴

????， ???????????4分

tan???5分

1. ??????????2????????解法2：由题意得：BA?(2,1)，OC?(cos?,sin?)，???????????2分 ?????????????????2??cos?∵BA//OC，∴BA??OC，∴?， ???????????4分

?1??sin?∴tan??1 ???????????5分 2解法3：由题意知，点C为单元圆上的点，如图所示，

????????∵BA//OC，∴BA//OC，则kBA?kOC，??????3分

∴tan??kOC?kBA?（2）∵tan??1；???????????5分 21??0，??[0,?)，∴??(0,)， 22第 5 页 共 16 页

由

?sin?1???cos?2?sin2??cos2??1?，解得

5s??i5n，

cos??25， ???????????8分 5sin2??2sin?cos??2?5254??555；

∴

cos2??cos2??sin2??∴

413??；????10分 555???42322． ?sin(2??)?sin2?cos?cos2?sin?????444525210???12分

17．（本题满分12分） 解：(1)

分组 频数 2 6 频率 [65,70) [85,90) 2 306 30评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分. 说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分. 频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分.

根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有人 ???5分

(2) ?的可能取值为

10?900?300300,1,2. ????6分

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P(??0)?C2381C1220C20?1040C109C2?,P(??1)?C2?,P(??2)?2?. 30873087C3087 ????8分

（上述3个对一个给1分） ??分布列为：

? 0 1 2 P 38 4098787 87 ??9分

所以，数学期望

E(?)?0?384095887?1?87?2?87?87?23. ??10分 （3）答对下述三条中的一条即可给2分：

①估计该校高一学生中体能素质为优秀有1030?900?300人，占总人数的13，体能素质为良好的有1430?900?420人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2430?900?720人，占总人数的45，说明该校高一学生体能素质良好. ②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有130?900?3人，占总人数的130，体能素质仅为合格的有530?900?150人，占总人数的16，体能素质为不合格或仅为合格的共有630?900?180人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼.

③根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有1030?900?300人，占总人数的

13， 体能素质为良好的有

1430?900?420人，占总人数的715，体能素质为优秀或良好的共有2430?900?720人，占总人数的45，但体能素质为不合格或仅为合格的共有630?900?180人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼. 18．（本题满分14分）

解：（1）∵侧面全为矩形，∴AF?FF1；

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?

在正六边形ABCDEF中，AF?DF， ???1分

AF?平面DFF1； ??????????又DF?FF1?F，∴

2分

∵AF//A1； 1F1，∴A1F1?平面DFF又DF1?平面DFF1，∴A1F1?DF1；???????????5分 （注：也可以由勾股定理得到，利用勾股定理求得垂直关系2分） 在?DFF1中，FF1?4， 1?2，DF?23，∴DF又PF1?PD1?13；

22∴在平面PA中，如图所示，ADDPD?5?2?29， 11∴

DF12?PF12?PD2，故

DF1?PF1； ???????????7分

又

A1F1?PF1?F1，∴

DF1?平面

PA1F1． ???????????8分

（说明1：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了DF?FF1?F ，DF1，1?平面DFFA1F1?PF1?F1三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则本题最多只

能得4分）

（2）解法1：∵在正六边形A1B1C1D1E1F1中B1C1//F1E1， ∴

异

面

直

线

DF1与

B1C1所成角为

?E1F1D（或其补

角）； ???????????10分

在?DF ???????????DF1?4，E1F1?2，DE1?22，1E1中，11分 ∴

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E1F12?DF12?DE124?16?83cos?E1F1D???， ??????????

2?E1F?DF12?2?44?13分

∴异面直线DF1与B1C1所成角的余弦值为

3． ?????14分 4解法2：以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O， 以OD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵D(0,2,0)，B1(3,?1,2)，C1(3,1,2)，F,2)， 1(?3,?1??????????∴BC11?(0,2,0)，DF1?(?3,?3,2)，?????? 11分

设异面直线DF1与B1C1所成角为?，则??(0,∴

?2]，

????????????????????B1C1?DF1?63???????cos??|cos?B1C1,DF1?|??????， ????????|B1C1|?|DF1|2?44???13分 ∴

异

面

直

线

DF1与

B1C1所成角的余弦值为

3． ?????14分 4

（说明1：坐标法，建系1分，写出四个坐标共2分，错一个或2个扣1分） 19．（本题满分14分） 解：（1）由题意可知b?1， ?????1分 而

，

c3?， ??a2???2分 且

a2?b2?c2. ?

????3分

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解

得

a?2， ?????4分 所以，椭圆的方程为

x2?y2?1. ?????5分 4（

2

）

由

题

可

得

A(?B2,.设

P(x0,y0)， ?????6分

AP直线的方程为

yy?0(x?2)， ?????7分

x0?2令

x?22(，则

y?(?2y0x0?22，即

2)?E??2?直

?2y0?22)2,； ?????8分 ?x0?2??线

BP的方程为

y?令

y0(x?2)， ?????9分 x0?2x?22(，则

y?(?2y0x0?22，即

2)?F??2??2y0?22)2,； ?????10分 ?x0?2??为直径的圆上，则

证法一：设点M(m,0在以线段EF????????ME?MF?0， ?????11分

2即

2(22?2)(22?2)y0(m?22)??0， ??2x0?4???12分

24y0，（资料来源：广东高考吧 www.gaokao8.net） ?(m?22)?24?x022x0222?y0?1，即4y0而， ?4?x04，?(m?22)2?1?m?22?1或

m?22?1. ?????13分

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或

(22?1,0). ?????14分

第 10 页 共 16 页

证法二：以线段EF为直径的圆为

?(22?2)y0??(22?2)y0?(x?22)??y????y???0x?2x?200????2

?????11分

令

y?0，

2y0得

(x?分

2?(?2x0?4?222??????， 2)12

224y0∴(x?22)?， 24?x022x0222?y0?1，即4y0而， ?4?x04∴(x?22)2?1，

?x?22?1或

x?22?1. ?????13分

所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点(22?1,0)或

(22?1,0). ?????14分

解

法

3

：

令

P(0,1)，则

lAP:理

xy??1?21，令

x?22，得

E(2同

?2, 12)?????6分

，

E(?. ???22??7分

∴以

EF为直径的圆为

(x?22)2?(y?1)2?2 ?????8分

当y?0时，x?1?22或x?1?22. ∴圆

过

A(?B? ??22???9分 令P(x0,y0)， 直线AP的方程为y?令

y0(x?2)， x0?2，

则

x?22(y?(?2y0x0?22，即

2)?E??2??2y0?22)2,； ?????10分 ?x0?2??直线BP的方程为y?y0(x?2)， x0?2第 11 页 共 16 页

令

x?22(，则

y?(?2y0x0?22，即

2)?F??2?∵

?2y0?22)2,； ?????11分 ??x0?2?kAE?kAF2y0?4?2??1 ??x0?4???13分

∴A在以EF为直径的圆上.

同理，可知B也在EF为直径的圆上. ∴定?14分 20．（本题满分14分）

点为

A(22?1,0),B(22?1,0) ????

解：方法一、（1）依题意，数列{bn}的通项公式为

bn?2n?1， ?????1分

由a1b1?a2b2?a3b3???an?1bn?1?anbn?(n?1)?2n?1， 可得a1b1?a2b2?a3b3???an?1bn?1?(n?2)?2n?1?1?n?2?， 两

式

相

减

可

得

an?bn?n?2n?1，即

an?n. ?????3分

当

n?1时，a1?1，从而对一切

n?N?，都有

an?n. ?????4分

所

以

数

列

{an}的通项公式是

an?n. ?????5分

方

法

二

、

（

猜

想

归

纳

法

）

求

出

a1?1 ?????1分

猜

想

出

an?n ????

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?2分 正确使用数学归纳法明 ?????5分 （2）法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an?a1?(n?1)d. 由

n?1证

（1）得，

n?2n?1an?bn?n?2,即bn??n?2? ?????6

a1?(n?1)d分

n?2n?12n?1bn?＝(a1?d)?nda1?d?dn?????7分 要

bn?1是一个与n无关的常数bna1?d?0 ?????8分

使

，当且仅当

2n?1即：当等差数列{an}的满足a1?d?0时，数列{bn}是等比数列，其通项公式是bn?；

d当等差数列{an}的满足a1?d时，数列{bn}不是等比数

列． ?????9分

法2：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an?a1?(n?1)d. 由

n?1（1）得，

n?2n?1an?bn?n?2,即bn??n?2? ?????6

a1?(n?1)d分 若

数

列

{bn}是等比数列，则

bn?12[dn2?a1n?(a1?d)] ?????7分 ?bndn2?a1n要使上述比值是一个与n无关的常数，须且只需a1?d?0.

即：当等差数列{an}的满足a1?d?0时，数列{bn}是等比数列，其通项公式是

2n?1bn?；????8分

d当等差数列{an}的满足a1?d时，数列{bn}不是等比数

列． ?????9分

n?1（3）证法1：由（1）知anbn?n?2.

111111 ????????23n?11?12?23?24?2n?2i?1aibin第 13 页 共 16 页

111111????????1?12?22?222?232?2n?1i?1aibi?????12分

n?n?3?

11?()n?21112????11481?2?????13分

1113????1442?????14分 证法2

n

：

证

明

其

加

强

命

题

：

131??n ?????11分 ?22i?1aibi证明：①n?1时，左边=1，右边=1，不等式成立； ②假设n?k时，不等式成立.则n?k?1时， k?1k111311 ???????k?1kkkabk?2(k?1)222(k?1)2i?1iii?131131??k???222?2k22k?1?????13分

由①②知，对一切正整数，不等式综

n；

?abi?1n1ii31??n成立. 22，

知

上

13? ?????ab2i?1ii?14分

证法3：由（1）知anbn?n?2n?1.

01n?1n01当n?3时，2n?Cn?Cn???Cn?Cn?2(Cn?Cn)?2n?2?2n，

∴

2n?1?n ?

????11分 ∴∴

11?

n?2n?122n?2当

1????1i?1aibi分

n4?1???4n?n?3时，11?n11?64??. 2 ?????13

1221?412第 14 页 共 16 页

13?1?， a1b1211153当n?2时，??1???，

a1b1a2b2442又当n?1时，综

n上，对一切自然数

n，都有

13. ??????????????14分 ??ab2i?1ii

21．（本题满分14分） 证

明

：

①

f(x)?lnx,f?(?)?1?，

x???y ??????????????1分 （注1：只要构造出函数f(x)?lnx即给1分）

y?xy?xy?xy?xlny?lnx?,??故又

?y?x（?） ??????????????2分

即

??

1?xy?lny?lnx??1(0?x?y) ????????????yx??3分

（?）②证明：由式可得

2?12?1?ln2?ln1? 213?23?2?ln3?ln2?22? ???????????

n?(n?1)n?(n?1)?lnn?ln(n?1)?nn?1???6分 上述

n不等式相加，得

n?111?lnn?　　(n?1) ??????????????8分 ??kkk?2k?1（注：能给出叠加式中的任何一个即给1分，能给出一般式

n?(n?1)n?(n?1)?lnn?ln(n?1)?，给出2分） nn?1（2）解法一、当n?1时，立. ?????????9分

n?2当

f(x?)fy(?f)?时

x?y(x?y)显(然成)2，

f(x)?f(y)?x2?y2?2(x?yx?y)(x?y)?f?()(x?y).????????10分 22第 15 页 共 16 页

下证当n?3时，等式f(x)?f(y)?f?(x?y)(x?y)不恒成立. 2（注：能猜出n?3时等式不恒成立即给1分） 不妨设0?x?y. 设

F(x)?xn?yn?n?(x?yn?1)(x?y)2.

则 ?????????11分

F?(x)?nxn?1?n(n?1)(x?yn?2x?yx?yn?1)()?n()222x?yn?2(n?1)x?(n?1)yx?y?nxn?1?n()(?)222x?yn?2(n?2)x?ny?nxn?1?n()22x?yn?2(n?2)x?nx ?nxn?1?n()22x?yn?2?nx[xn?2?()]2?nx(xn?2?xn?2)?0?????

????13分

所以函数F(x)单调在(0,y)上单调递增，所以F(x)?F(y)?0，即F(x)不恒为零.

1故的所有可能值为n2. ?????????14分

解

法

二

、

当

和成)，

n?1时，

x?yf(x?)fy?(f?)x(?y2时

)然(显

立. ?????????9分

n?2当

f(x)?f(y)?x2?y2?2(分

x?yx?y)(x?y)?f?()(x?y). ?????????1022x?y)(x?y)不恒成立. 2则

已

知

条

件

化

为

：

下证当n?3时，等式f(x)?f(y)?f?(不

妨

设

x?2y?,，

2n?1?n ?????????11分

01n?1当n?3时，2n?1?(1?1)n?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1

1?2?Cn?1?n?1?n ????

?????13分

因此，n?3时方程2?n无解.

1故的所有可能值为n2. ?????????14分

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n?1和

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