2014-2015各区初三一模四边形与勾股定理以及一次函数反比例函数

2015年各区一模试卷真题---几何与函数

一、选择题

1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A B C D

2. 若正方形的周长为40，则其对角线长为

A．100 B．202 C．102 D．10 3．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、

同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的 时间t（秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒

B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米 C. 甲从起点到终点共用时83秒 D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米

4．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y（单位：千米）与行驶时间t（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为

A. 43.5 B. 50 C. 56 D. 58

5. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线 ，点A是OP上一点，过点A作ON

的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是 A.

3 B.2 C.23 D.4

6. 如图1， △ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中?C??EDF?90?，点A与

点D重合，点E在AB上，AB?4，DE?2.如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动， 当点D与点B重合时停止移动.设AD?x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是

图1 图2 A B C D

7.如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别 是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时， 下列结论成立的是

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定 8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， 则不等式2x≥ax+4的解集为 A．x≥

二、填空题

ADGFEBPC B. x≤3 C． x≤

D．x≥3

1有意义，则x的取值范围是 ． x?212．分解因式：3m2?6mn+3n2= ．

11．若分式

25172610，?2，3，?4，5，…，其中第7个式子是 ，aaaaa第n个式子是 （用含的n式子表示，n为正整数）．

一组按规律排列的式子：

13. 关于x的一元二次方程x2?3x?m?0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围 是 ．

14．在平面直角坐标系xOy中，记直线y?x?1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以AO1为

l 边做正方形AOC11B1,使点C1落在在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线于点A2，以

A2C1为边作正方形A2C1C2B2,使点C2落在在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图

所示的图形.则点B4的坐标是 ，点Bn的坐标是 ．

15．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA?AB，

AD?1，BD?17，则BC的长为__________．

D16.小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy中，棋子从点?0,0? 出发，第1步向

ACB上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位??依此规律走棋．

（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________； （2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．

三、解答题

17．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数

y?

k?k?0?，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数x的表达式为 ．

18.已知点A(4,6)与B(3,n)都在反比例函数y?

k?k?0?的图象上，则n? ． x

19．如果m?m?1，求代数式（m?1)2?(m?1)(m?1)?2015的值．

20．已知:关于x的一元二次方程kx?(4k?1)x?3k?3?0（k是整数）. (1)求证:方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值. 21．已知x2－2x－7=0，求(x－2)2+(x－3)(x+3) 的值.

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k－2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值．

21．如图，一次函数y?221x?2的图象与x轴交于点B，与反比例函2y数y?k的图象的一个交点为A（2，m）． xBOCAx（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，如果点P在反比例函数图象

上，且△PBC的面积等于6，请直接写出点P的坐标．

220．已知实数a满足a?2a?13?0，求

1a?2?a?1??a?2??2?2的值. a?1a?1a?2a?1221．关于x的一元二次方程?m?1?x?2mx?m?1=0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

2?0 (k?0). k（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

21.已知关于x的方程kx2?x?（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．

17．已知：如图，E是BC上一点，AB=EC，AB∥CD， BC=CD．

求证：AC=ED．

20．已知x2?x?5?0，求代数式(x?1)2?x(x?3)?(x?2)(x?2)的值．

21．已知关于x的一元二次方程x2?6x?k?3?0有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围；

(2)若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D

作DE∥AC且DE=

1AC，连接 CE、OE，连接AE交OD 2于点F．

（1）求证：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

23. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC,AB上，且DE∥AB，BE=AF． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．

23．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE?AF，连接EF并

延长，交CB的延长线于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形；

（2）连接AG，若?FGB?30?，GB?AE?1，求AG的长．

23．如图，菱形ABCD中， 分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，

CF=CB，联结DB，BE，EF，FD. （1）求证：四边形DBEF是矩形；

（2）如果∠A＝60?，菱形ABCD的面积为83，求DF的长．

如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，

DE∥AC，CE和DE交于点E. （1）求证：四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB=60°，AD=23时，求OD:AC的值.

GBFCAEDDABCFE

22．在平面直角坐标系xOy中，过点A??4,2?向x轴作垂线，垂足为B，连接AO.双曲线 y?k经过斜边AO的中点C，与边AB交于点D． x （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD的面积．

23．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，

且DE∥AB，EF∥AC． （1）求证：BE=AF； （2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．

26．阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍 的一种拼图证明勾股定理的方法.

先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b，

abaccbbccaab斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形.

（a?b）?4?由图1可以得到

2221ab?c2， 22图1

整理，得a?2ab?b?2ab?c． 所以a?b?c．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到 ， 整理，得 ， 所以 .

26．阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中， ∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6 求BC的长.

AA

DD

图2

222BCB图1 EC图2

小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE是_________三角形.

（2）BC的长为__________.

参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知△ABC中，AB=AC, ∠A=20°， BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2. 求AD的长. 26．阅读下面材料：

ADBC图3 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．

CCA'ADBADB

图1 图2

请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；

（2）BC和AC、AD之间的数量关系是 ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9． 求AB的长．

DC

AB

26．阅读下面材料：

图3

?A??C?90?，?D?60?， 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，

A?3，求AD的长． AB?43，BCA

CDBEB图1 图2

CD

小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，tanA?1，?B??C?135?， 2BCAB?9，CD?3，求BC和AD的长．

26．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

AD图3

AAFEDEDEABGDC

BCBCF图1 图2 图3

请回答：BC+DE的值为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

五、解答题

26. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG?BE于点G，交BD于点F．

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;

明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系;

请回答：AF与BE的数量关系是 .

(2) 如图2,若四边形ABCD是菱形, ?ABC?120?,请参考明明思考问题的方法，求的值.

ADAF BEOFGBEC

图1 图2

28．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），

1过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，

2交AB于点G. （1）如果∠ACB=90°，

①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；

CF的值； PECF（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含a的式子表示）

PE②如图2，当点P不与点A重合时，求

图1

图2

图3

28．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE. （1）如图1，点D在BC边上.

①依题意补全图1；

②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；

（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系

（直接写出结论）.

图1 图2

28．在菱形ABCD中，?ADC?120?，点E是对角线AC上一点，连接DE，?DEC?50?，将线段BC绕点B逆时针旋转50?并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G． （1）依题意补全图形；

DDAECAECB

B

备用图

（2）求证：EG?BC； （3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：_____________________________． 28．在△ABC中，?BAC?90?．

（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A'，

连接A'C，A'B，A'C与AB交于点E；

（2）将图1中的直线A'B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于

点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．

①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；

②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．

lAAHCBAEEDFCBCB

29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)和点Q(a,b?)，给出如下定义：

?b,a≥1若b???，则称点Q为点P的限变点．例如：点?2,3?的限变点的坐标是?2,3?，点

?b,a?1?? 图2 2,5 的限变点的坐标是 备用图

（1）①点

????2,?5?．

?3,1的限变点的坐标是___________；

2图象上某一个点的限变点， x?②在点A??2,?1?，B??1,2?中有一个点是函数y?这个点是_______________；

（2）若点P在函数y??x?3(?2≤x≤k,k??2)的图象上，其限

y变点Q的纵坐标b?的取值范围是?5≤b?≤2，求k的取值范围；

28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP 于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

AC654321–6–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5–6O123456xACPPBB图1 图2 28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD． （1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是 ．

（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时

针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，如果∠A=α（0°＜α＜90°），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），

连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．

AAADDFD

CEBCEPBCEB

图1 图2 图3

28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线AP 于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；

（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

CAAC

P

B PB

图1 图2

29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条

件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在

x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.

则直线DE的表达式是 . y

yD AC CA xOBOBGEx图1 图

（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.

①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 . ②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.

③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .

yy

AA

xxOO

29．定义:对于平面直角坐标系备用图xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为1 备用图2 2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”． （1）若P(1，2)，Q(4，2) ．

5①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；

2②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.

（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接

写出点Q的坐标． 28．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD

边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；

A MAADMDD

BBCCCB图3 图2 图1

（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋

1?ABC，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出2AM，CN，MN的数量关系是 ；

（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若△DMN的周长为2，则△MBN的面积最小值为 ．

29．设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体

叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数y??x?4，当x=1

时，y=3；当x=3时，y=1，即当1?x?3时，有1?y?3，所以说函数y??x?4是闭区间[1,3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y=

2015x2是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若二次函数y=x?2x?k是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k的值； （3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．

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