2015初三集训队 第三讲 三角形的五心

2015春季 北京理科集训队 七年级 第三讲

三角形五心

默认外心O 内心I 垂心H 重心G 旁心P 内心 内切圆

1. 三角形ABC内切圆与边的切点将边分成6个线段，用三角形三

边长表示这6条线段． 2. 求证EB=EI，FG⊥AI．

3. 内切圆半径r，求证三角形面积S=

r(a?b?c)． 2

4. 已知∠ACE=∠CDE = 90°，点B在CE上，CB = CD，过A、C、D三

点的圆交AB于点F，求证：F是△CDE的内心．

5. I是△ABC的内心，且I、D、C、E四点共圆．若ED＝2，试求ID＋IE的

值．

A

6. 如图，做锐角三角形顶点A的高AE，在AE上选取D使得DF过内

切圆圆心．其中F是BC中点．求证AD长就是内切圆半径． A

E DD

CB

B CEF

7. 右上图等腰三角形做外接圆，然后做一小圆与两腰及外接

圆相切．求证切点DE连线中点就是三角形内心．

I1

I2

8. 做直角三角形斜边上的高，将直角三角形分为两个小三角形．分别做两个小三角形内心，求证过两内心

直线与最大的直角三角形两个直角边围成等腰直角三角形

2015春季 北京理科集训队 七年级 第三讲

外心 外接圆

9. 用外接圆半径与△ABC内角表示出O到BC距离． 10. 如左图，BOIC四点共圆，求∠A．

A

OI BBC

AMONC

11. 如右图，OM=MA，BN=NC．∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN，求∠OMN．

12. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP = BQ，

求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆．

13. 设O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，R和r分别为△ABC的外接

圆和内切圆的半径，求证：OI?R?2Rr（欧拉定理）

14. 等腰△ABC中，BC = AC，O是它的外心，I是它的内心，点D在边BC上，且OD⊥BI，求证：ID∥

AC.

旁心 旁切圆

15. △ABC与BC相切的旁切圆半径ra，用三角形三边长与ra表示△ABC面积．

16. 如图做△ABC旁切圆与BC切于D，切点EF连线与PD交

F22于K，求证AK平分BC．用△ABC三边长表示出

S?ABC． S?KBCPKBDCAE 2015春季 北京理科集训队 七年级 第三讲 垂心

17. 图中有六组四点共圆（如A、F、H、E；A、B、D、E等）及三组（每组四个）相

似直角三角形；特别的AH·HD=BH·HE=CH·FH； 18. 垂心H关于三边的对称点均在△ABC的外接圆上； 19. H、A、B、C中任一点是另三点连成的三角形的垂心；

20. △ABC的内接三角形（即顶点在△ABC的边上）中，以垂足△DEF （叫做垂足三

角形）周长最小．H是它的内心．

21. 已知P为△ABC内一点，且∠PAB =∠PCB，∠PBC =∠PAC.

求证：P为△ABC垂心．

22. 已知M点是锐角∠POQ内一点，由M点作MA1⊥OP，MB1⊥OQ，

垂足分别为A1、B1，过A1作A1A2?OQ，垂足为A2，过B1作

B1B2?OP，垂足为B2，连结B2A2、OM，求证：OM?B2A2.

重心

23. 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； 24. 若G是△ABC的重点，则S?GBC?S?GCA?S?GAB?25. 重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点．

26. 若△ABC的重心为G，AG=2，BG＝3，CG=5，则△ABC的面积

是 ．

27. 已知△ABC的重心G与内心I的连线GI∥BC，求证：AB＋AC=2BC.

28. △ABC的外心为O，AB=AC，D是AB的中点，E是△ACD的重心．证明：OE⊥CD．

1S?ABC； 3

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