第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案

第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷

本卷共八题，满分160分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后结果的不能得分。有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。

一、填空题．（本题共4小题，共25分）

得分 阅卷 复核 htphwqpne1．图1所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为r，两个端点A、B间等效电阻R1= 。若在图1网络中再引入3段斜电阻丝，每

一段电阻也为r，如图2 所示，此时A、B间等效电阻R2= 。

htphwqpne htphwqpne

2．右图为开尔文滴水起电机示意图。从三通管左右两管口形成的水滴分别穿过铝筒A1、A2后滴进铝杯B1、B2，当滴了一段时间后，原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差。试分析其原理。图中铝筒A1用导线与铝杯B2相连；铝筒A2用导线与B1相连。 3．受迫振动的稳定状态由下式给出x?Acos(?t??)，

A?(?2??

h20??)?4??dxdt2222，??arctan????20??2。其中h?Hm，而Hcos(?t)为胁迫力，

?m，其中??是阻尼力。有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固有

振动角频率为?0?39.2727s?1，另外一条的固有振动角频率为?0'?78.5454s?1，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。设?为小量，计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1m，则汽车的运行速度为 。

4．核潜艇中U238核的半衰期为4.5?109年，衰变中有0.7%的概率成为U234核，同时放出一个高能光子，这些光子中的93%被潜艇钢板吸收。1981年，前苏联编号U137的核潜艇透射到艇外的高能光子被距核源（处理为点状）1.5m处的探测仪测得。仪器正入射面积为22cm2，效率为0.25%（每400个入射光子可产生一个脉冲讯号），每小时测得125个讯号。据上所述，可知U238核的平均寿命?= 年（ln2?0.693），该核潜艇中U量m= kg（保留两位有效数字）。

二、（20分）如图所示，一内半径为R的圆筒（图中2R为其内

得分 阅卷 复核 htphwqpne238的质

htphwqpne htphwqpne 直径）位于水平地面上。筒内放一矩形物。矩形物中的A、B是两

根长度相等、质量皆为m的细圆棍，它们平行地固连在一质量可以忽略不计的，长为l?3R的矩形薄片的两端。初始时矩形物位

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于水平位置且处于静止状态，A、B皆与圆筒内表面接触，已知A、B与圆筒内表面间的静摩擦系数?都等于1。

现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动，使A逐渐升高。

1．矩形物转过多大角度后，它开始与圆筒之间不再能保持相对静止？

答： （只要求写出数值，不要求写出推导过程） 2．如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时，立即令圆筒停止转动。令?表示A的中点和B的中点的连线与整直线之间的夹角，求此后?等于多少度时，B相对于圆筒开始滑动。（要求写出必要的推导过程。最后用计算器对方程式进行数值求解，最终结果要求保留三位数字）

三、（17分）斯泰瓦—托尔曼（Stewart-Tolman）效应

得分 阅卷 复核 htphwqpne htphwqpne htphwqpne 1917年，斯泰瓦和托尔曼发现，一绕在圆柱上的闭合线圈，当

该圆柱以一定角加速度绕轴旋转时，线圈中会有电流流过。

设有许多匝线圈，每匝线圈的半径为r，每匝线圈均用电阻为R

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的细金属导线绕成，线圈均匀地绕在一很长的玻璃圆柱上，圆柱的内部为真空。每匝线圈的位置用粘胶固定在圆柱上，单位长度的线圈匝数为n，包含每匝线圈的平面与圆柱的轴垂直。

从某一时刻开始，圆柱以角加速度?绕其轴旋转。经过足够长时间后，求圆柱中心处的磁场的磁感应强度B。设电子的电量e和质量m为已知。

得分 阅卷 复核 htphwqpne四、（20分）一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。如图所

示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千转轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处于下蹲姿势时，秋千

rdru1 htphwqpne htphwqpne 转轴到男孩质心的距离为rd。设比值

?210?1.072，即男孩站立与下蹲两种姿势时质心

相对于秋千转轴到男孩质心的平均距离只变化大约7%。

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为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程（即A到B，E到F）与秋千摆动本身相比进行得足够快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程（从C到D，从G到H）也被假定是瞬间过程。 需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍（即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍），需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。

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五、（20分）关于齐明点的讨论

得分 阅卷 复核 htphwqpne1．半径为R的透明球体，折射率为n，P为主轴上一点，位于球心左方

Rn htphwqpne htphwqpne 处，

如图所示。求证：从P点向右发出的任一条光线（不限于近轴光线）经球面折射后，将聚焦于一点，并求出该点Q的位置。P、Q称为齐明点。

2．齐明点概念常用于显微镜的物镜中，以增大显微镜入射光的孔径角。设某显微镜的接物镜（接物镜前方有光射入）是折射率为n1=1.5，半径为R1=3mm的半球，其平底面与物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。

试设计物镜组第二个月牙形透镜（在接物镜后）的两球面的半径R2和R3及其构形（可作图说明），使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n2=1.6，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d1=2.0mm，透镜中央厚度为d2=1.5mm，并估算从第二个透镜出射的光的孔径角?和经两个透镜成像后的放大率k。

六、（18分）木星的卫食

得分 阅卷 复核 htphwqpne远在科学家能精确测量光速之前，丹麦天文学家欧罗梅尔（O.Romer）就研究了木星卫星的星食时间。他通过观测木星的卫星

绕木星运动的周期来确定光的速率。图1表示地球E绕太阳S的运动轨道和木星的一个卫星M绕木星J的运动轨道。他观测木星的卫星M相继两次从木星的太阳阴影中出现的时间间隔。卫星处在行星的太阳阴影中，称为卫星食，简称卫食。

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三、参考解答：

先考虑一个圆环。

考虑环的一小部分，并引进该小部分在其中静止的参照系。环以恒定的角加速度?运动，于是，我们引进的参照系不是惯性系，它具有一定的线加速度。此加速度的径向分量可不必考虑，因为环很细，观察不到任何径向效应。加速度的切向分量为r?。在我们所取的参照系中，形成金属晶格的正离子处于静止状态。在此参照系中有惯性力作用在电子上，此力的大小为mr?，方向与上述切向加速度方向相反。

晶格与电子间的相互作用下不允许电子无限制地增加速度。根据欧姆定律，此相互作用随电子相对晶格的速度的增大而增大。某一时刻，惯性力与这种相互作用造成的阻力会达到平稳。结果，正离子与负的电子以不同的速度运动。这就是说，在正离子静止的参照系中将有电流流过。

此惯性力大小是常量，方向在环的每一部分均与环相切，它对电子的作用与一个在每一点上与环相切的虚拟电场相同。

现来求此虚拟电场的大小。显然，此电场的作用力应等于惯性力。由此

eE?mr? （1）

因而

E?mr?e （2）

在电阻为R的环（静止）中，上述电场将产生电流

I?2?rER （3）

于是，在所考察的环中的电流应为

I?2?mr?eR2 （4）

诚然，场是虚拟的电场，但它描述了惯性力对电子的一种真实作用。环中的电流是真实的。

以上想法可用来处理题中所述单位长度有n匝线圈（沿对称轴）的很长螺线管的问题，其中流有电流I。大家知道，在此螺线管中，磁场B的大小均匀（在远离两端处），其值为

B??0nI （5）

式中?0为真空磁导率。由于轴上一点不转动，不论在转动非惯性系中还是在实验室参照系中均静止不动，因而在实验室参照系中，在轴的中心处的磁场为

B?2??0nmr?eR2 （6）

【点评】本题颇有启发性。因为，尽管环是电中性的，但出人意料，由于金属的特殊结构，螺线管中却会出现磁场。因此，英语里的电学名词“电动势（electromotive force）”中会含有力学名词“力（force）”也就变得容易理解了。 评分标准：本题17分．

（1）或（2）式3分，（3）式3分，（4）式4分，（5）式3分，（6）式4分．

四、参考解答：

当??0时，即秋千摆至最低点时，由于小孩在秋千上由蹲姿到立姿的转换时间极短，

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故在由A到B以及由E到F的过程中，相对于秋千上方的悬挂点而言，作用于小孩的合力矩为零，故小孩的角动量守恒。设

m=小孩的质量；

r=小孩的质心至秋千悬挂点的距离； ?=秋千相对于悬挂点的角速度；

2L?mr?=小孩相对于悬挂点的角动量。

当小孩由蹲姿转换到立姿时，即从A到B或由E到F，其质心至悬挂点的距离由rd变至ru，所对应的角速度由?d变至?u，由角动量守恒定律得

mrd?d?mru?u （1）

22?u?(rdru2)?d （2）

亦即当秋千在最低点时，小孩每一次由蹲姿站起来摆荡时，角速率增加(rdru2)倍。

当秋千从B摆至C的过程中，机械能守恒，故小孩的重力势能的增加量等于动能的减少量，即

mgru(1?cos?)?1222mru?u （3）

当秋千摆至C时，小孩由站姿转换为蹲姿，因此其质心至悬挂点的距离，由ru变长为rd，即质心的位置从C变至D，因此质心的重力势能已改变。当秋千从D摆至E时，设其角速率为?d'，则同理利用机械能守恒定律，可得

mgrd(1?cos?)?122'mrd?d （4）

2由（3）、（4）两式可得

?d?'2rurd2?u （5）

将（2）式代入（5）式，可得

?d?'2rurd?(rdru342)?d

?'d?(rdru)2?d （6）

即秋千每摆荡半圈时，其角速率增加(rdru3)2倍；因此每摆荡一圈，则角速率增加(rdru3)倍。

秋千摆荡的角幅和其在最低点的角速率成正比。若秋千摆荡n圈后，角幅增为起始时的两倍，则

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2?(rdru13n)3n?(210)3n?210

n?103 （7）

评分标准：本题20分．

（1）或（2）式4分，（3）、（4）式均3分，（5）式3分，（6）式4分，（7）式3分．

五、参考解答：

1．考察自P发出的任一光线PA，设其与主轴夹角为?，如图所示。设光线在球面上入射角为i，折射角为r，由折射定律

sinisinr?1n （1）

在△PCA中应用正弦定理，有

siniRn?sinrR （2）

比较（1）、（2）两式，在?为锐角的情况下（r必为锐角），有

??r （3） 而r=∠QAC，Q为折射光的反向延长线与主轴交点，于是△QAC∽△APC，及

QCR?RRnQC?nR （4）

，即

与?角无关，得证。

2．两透镜的几何位形如图所示。

设C1为接透镜（L1）的球心，从（物）S发出的光经L1折射后成像于S’。由上小题可知S'C1?n1R1，则

S'O1?n1R1?R1?(n1?1)R。应使

S’发出的光无折射地进入第二个透镜（L2）的前球面，故S’为前球面中心，且前球面半径

R2?S'O2?S'O1?d1?(n1?1)R1?d1?9.5mm （5）

为使S’位于L2的齐明点，又使L2的中央厚度为d2，应有

S'O3?R3?R3n2 （6）

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S'O3?R2?d2?(n1?1)R1?d1?d2 （7）

由（6）、（7）两式可解得后球面半径

R3?(n1?1)R1?d1?d21?1n2?6.77mm （8）

图中S''为S’经L2后所成的像[S''O3?(n2?1)R3]，C3为后球面的球心。

S发出的光的孔径角?满足

tan??R1R1n1?n1 （9）

S经L1所成像S’的孔径角设为?1，则

tan?1?R1n1R1?1n1 （10）

?1又是L2的物点的孔径角，?1则为最后的像S''的孔径角。由图不难看出，

tan??S'Asin?1S'Acos?1?S''S'?R2sin?1R2cos?1?S''S'（忽略透镜边缘厚度） （11）

而

S''S'?n2R3?1n2R3 （12）

???arctanR2sin?1R2cos?1?(n2?1n22?20.0 （13） )R30?k?k1?k2?n1R1R1n1?n2R2R2n2?n1?n2?5.76 （14）

2【点评】本题是齐明点概念在显微镜物镜中的应用，这种物镜称为油浸物镜，是显微镜物镜的主要形式之一。

评分标准：本题20分．

第1小问6分．（1）式1分，（2）式2分，（3）式1分，（4）式2分．

第2小问14分．作图3分，（5）式2分，（8）式3分，（11）式2分，（13）式2分，（14）式2分．

六、参考解答：

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假定地球和木星的轨道均为圆形，则向心力=太阳的引力，有

GMEMSRGM2E?MvEE2REvJ2 （1）

JM2SRJ?MJRJ （2）

其中G为引力常量，MS为太阳质量，ME为地球质量，MJ为木星质量，RE为地球轨道半径，RJ为木星轨道半径，vE为地球公转速度，vJ为木星公转速度。因而

RJ2R?(vE Ev) J已知

T2?EE???2?R EvET2?2?RJJ???v JJ（4）、（5）两式相比，得

RET3ET?vE?(RE JRJR)2JvJ由此得

2RJJ?RE(TT)3?779.8?106km E相对角速度

???E??J?0.0158rad/day 相对速度

v??RE?27.3km/s 木星与地球距离可表示为

d(t)?RJ?RE d(t)?R22J?RE?2RERJcos?t

?RR1EJ[1?2Rcos?t??]2

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（3）

（4）

5）

（6）

（7）

8）

9）

10）

（ （ （（

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