第八章 系统的状态变量分析

第八章 系统的状态变量分析 151 第八章 系统的状态变量分析

一、单项选择题

X8.1（东南大学2001年考研题）已知某系统的状态方程为

?1??34??x1??0??x?????f(t) ?x??????2??65??x2??1?则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是 。 （A）e?(t) （B）0 （C）e?(t) （D）e?(t) 答案：D

?t9t?9t二、判断与填空题

T8.1判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”

（华中科技大学2002年考研题）状态变量在某一确定时刻t 0的值，即为系统在时刻t 0

的状态[ ]。状态方程与输出方程共同构成了描述系统特征的完整方程，共同称为系统方程。[ ]

答案：√，√

三、画图、证明与计算题

J8.1（华中科技大学2003年考研题）电路如图J8.1-1所示，若以iL1(t)、iL2(t)、uc(t)为状态变量，以uL1(t)和uL2(t)为输出，试列出电路的状态方程和输出方程，图中

R1?R2?1?,C1?C2?1H,C?1F。

R1iL1L1+uL1_u (t)s1CMiL2L2R2ic+uc_+uL2_u (t)s2 图J8.1-1

解：uL1(t)?L1diL1(t)dt,uL2(t)?L2diL2(t)dt,ic(t)?Cduc(t),dt

第八章 系统的状态变量分析 152 设x1?iL1,x2?iL2,x3?uc,

左网孔回路电压方程为：

uL1?us1?R1iL1?uc由上式可得

?uL1??x1?x3?us1 （J8.1-1）

?1?us1?R1iL1?ucL1iL右网孔回路电压方程为：

?1??x1?x3?us1 （J8.1-2） ?xuL2?uc?R2iL2?us2由上式可得

?uL2??x2?x3?us2 （J8.1-3）

?2?uc?R2iL2?us2L2iL列出M点的KCL方程：

?2??x2?x3?us2 （J8.1-4） ?x??iL1?iL2ic?Cuc?3?x1?x2 （J8.1-5） ?x由式（J8.1-2）、（J8.1-4）、（J8.1-5）构成系统的状态方程：

?1???10?1??x1??10??x?u??x?2???0?11??x2???0?1??s1?

????????u?s2???3??1?10????00???x???x3???由式（J8.1-1）、（J8.1-3）构成系统的输出方程：

?x1??uL1???10?1????10??us1??u???0?11??x2???0?1??u?

??????s2??L2???x3?

J8.2（华中科技大学2004年考研题）已知如图J8.2-1所示线性系统，取积分器输为状态变量(x1,x2)。

+f(t)a+?++x1∫x1+?cy(t)x2∫x2b 图J8.2-1

（1）列出系统的状态方程；

第八章 系统的状态变量分析 153 ?2t?t?x1(t)???8e?3e????(t)，（2）若在激励f(t)??(t)时，有零状态响应?求图中a、??2t?t???8e?6e???x2(t)??b、c各参数值。

?(t),x2?(t)，如图J8.2-1所示。 解：（1）两个积分器的输入分别为x1y?f?x1

??af?cy?x2?(a?c)f?cx1?x2 （J8.2-1） ?1?x1x??bcy?bcf?bcx1 （J8.2-2） ?2?x2x将式（J8.2-1）、（J8.2-2）写成矩阵形式，得系统的状态方程：

?1??c1??x1??a?c??x?x???bc0??x???bc??f? ???2????2??（2）由已知条件：f(t)??(t)时，

x1(t)??8e?2t?3e?t?(t) （J8.2-3） x2(t)??8e?2t?6e?t?(t) （J8.2-4）

代入式（J8.2-1）、（J8.2-2）得

?????1?(a?c)?(t)?8(c?1)e?2t?(t)?(3c?6)e?t?(t) （J8.2-5） x?2?bc?(t)?8bce?2t?(t)?3bce?t?(t) （J8.2-6） x对式式（J8.2-3）、（J8.2-4）求一阶导数，得

?1(t)?16e?2t?3e?t?(t)?5?(t) （J8.2-7） x?2(t)?16e?2t?6e?t?(t)?2?(t) （J8.2-8） x对式（J8.2-5）和式（J8.2-7）、式（J8.2-6）和式（J8.2-8）分别作比较，可得

?????a?c??5???8(c?1)?16?3c?6??3??bc??2???8bc?16?3bc??6?

???a??2???2???b? ??3?????c??3???第八章 系统的状态变量分析 154 J8.3（浙江大学2002年考研题）某因果系统的状态方程和输出方程为

?dx1??dt??0?2??x1??01??f1???????x???10??f? dx1?3??2????2??2????dt???x1?y(t)??10???

?x2?求：（1）系统的状态转移矩阵e；（2）判断系统是否稳定；（3）画出系统框图。 解：（1）由系统的状态方程和输出方程可得

At?0?2?A???,??1?3???01?B???,??10??C??01?,1s?21s?2D?0

?22??s?1s?2??12???s?1s?2?

?s?3?2?1?(s)??sI?A???s?3s?21?2?s?3s?2At?1?2??2?2??s?3s?2?s?1??1s???s2?3s?2??s?1?2e?t?e?2t?(t)e??(t)?L??(s)????t?2t?e?e?(t)（2）先求系统函数

??????2e??e?t?t?2e?2t?(t)???2e?2t?(t)???1???ss?3s?2?? H(s)?C?(s)B?D???s?3??s??s?3s?2?即

Y(s)?F1(s)H1(s)?F2(s)H2(s)?1s?3F(s)?F2(s) 1sss?3s?2s?3s?2分析可知，H1(s),H2(s)的极点均为s??1,s??2；它们都处于左半s平面，所以系统稳定。

（3）由（2）知，

Y(s)?F1(s)H1(s)?F2(s)H2(s)?据此可画出如下s域框图。

1s?3F(s)?F2(s) 1ss?3s?2ss?3s?2第八章 系统的状态变量分析 155 F (s)1+?--3s-1s-1Y (s)12+?1++++3Y(s)F (s)2?--3s-1s-1?Y (s)22 图J8.3-1

J8.4（上海大学2003年考研题）已知一离散时间线性时不变因果系统如图J8.4-1所示。 （1）以列出系统的状态方程和输出方程； （2）系统是否稳定？

（3）求该系统的系统函数H(z)。 解：（1）两个延时器的输入分别为

f(k)+?+x 1 (k+1)Dx 1 (k)-2+1/6x 2 (k)Dx 2 (k+1)?+-?y(k)5/6 图J8.4-1 x1(k?1),x2(k?1)，由图可得

x1(k?1)?f(k)?1x2(k) （J8.4-1） 65x2(k?1)??x1(k)?x2(k) （J8.4-2）

6则系统的状态方程

?0?x1(k?1)???x(k?1)????2???1??系统的输出方程为

1?6??x1(k)??1????f(k) ???5??x2(k)??0?6??y(k)?2x1(k)?x2(k) （J8.4-2）

（2）由（1）得，系统矩阵为

??0A????1??令上式等于零，即

1?6??5??6?z?zI?A??116z?56?z2?51z? 66

第八章 系统的状态变量分析 156 51z2?z??066上式的根为：z1,2?

11,，它们都在z平面的单位圆之内，故该因果系统是稳定的。 231X2(z) 65X2(z)??X1(z)?X2(z)

6zX1(z)?F(z)?（3）对式（J8.4-1）、式（J8.4-2）和式（J8.4-3）求z变换，得

由以上两式可得

z?X1(z)?51z2?z?6656F(z),X2(z)??1F(z)

512z?z?66对式（J8.4-3）求z变换，并将以上两式代入，得

z?Y(z)?2X1(z)?X2(z)?则系统函数为

51z2?z?661616F(z)

H(z)?Y(z) ?51F(Z)z2?z?66

z?J8.5（重庆大学2000年考研题）如图J8.5-1所示系统，如果以图中x1(t),x2(t),x3(t)为状态变量，以y(t)为响应，试列出系统的状态方程和输出方程。

F(s)+?P(s)1s+2X2(s)5s+10X1(s)Y(s)X3(s)1s+1 图J8.5-1

解：设加法器输出为P(s)。由图可得

P(s)?X3(s)?F(s)?p(t)?x3(t)?f(t)

X2(s)?1P(s)s?2?(s?2)X2(s)?P(s)?2(t)?2x2(t)?p(t) ?x?2(t)??2x2(t)?x3(t)?f(t) （8.5-1） ?x第八章 系统的状态变量分析 157 X1(s)?5X2(s)s?10?(s?10)X1(s)?5X2(s)?1(t)?10x1(t)?5x2(t) ?x?1(t)??10x1(t)?5x2(t) （8.5-2） ?xX3(s)?1X1(s)s?1?(s?1)X3(s)?X1(s)?3(t)?x3(t)?x1(t) ?x?3(t)?x1(t)?x3(t) （8.5-3） ?x由式（8.5-1）、（8.5-2）、（8.5-3）可得系统的状态方程：

?1???1050??x1??0??x?x??x???1??f? ?2???0?21?????2?????3?0?1??1???0???x???x3???Y(s)?X1(s)?x1???y(t)?x1(t)??100??x2?? ??x3??

J8.6（南京理工大学2000年考研题）某二阶离散LTI系统流图如图J8.6-1所示， （1）列出系统的状态方程和输出方程（矩阵形式）； （2）求系统函数H(z)（用矩阵方法求解）； （3）根据H(z)列出系统的差分方程（后向）； （4）若H1(z)为H(z)中的零点和单位圆内的极点构成的子系统，画出H1(z)的幅频特性曲线。

解：（1）延迟器的输入分别为x1(k?1),x2(k?1)。

f(k)1-0.5x (k1+1)1z-10.5x (k1)111y(k)z-12x (k2+1)x (k2) 图J8.6-1 x1(k?1)??0.5x1(k)?f(k)x2(k?1)?0.5x1(k)?2x2(k?1)?f(k)由上可得系统的状态方程：

?x1(k?1)???0.50??x1??1??x(k?1)???0.52??x???1?f(k)

??2????2??系统的输出方程：

?x1?y(k)?x1(k)?x2(k)??11???

?x2?第八章 系统的状态变量分析 158 （2）由（1）可知

??0.50?A???,0.52????1?B???,?1?C??11?,D?0

?zI?A??1?0??z?21?z2?1.5z?1??0.5z?0.5?则系统函数H(z)为

H(z)?C?zI?A?B?D?10??1??z?212z?1

?11???2??1??0?z2?1.5z?10.5z?0.5z?1.5z?1????（3）由系统函数可写出系统的差分方程：

y(k)?1.5y(k?1)?y(k?2)?2f(k?1)?f(k?2)

（4）H(z)的极点为：z??0.5,z?2；H(z)的零点为：z?0.5。则H1(z)应为

H1(z)?该子系统的幅频特性为：

z?0.5

z?0.5ej??0.51.25?cos?H1(e)?j??

e?0.51.25?cos?j?幅频特性曲线如图J8.6-2所示。

图J8.6-2 系统的幅频特性

第八章 系统的状态变量分析 159 J8.7（南京航空航天大学2000年考研题）已知某连续系统的系统方程为

d3y(t)d2y(t)dy(t)d2f(t)df(t)?6?11?6y(t)?2?10?14f(t) dt3dt2dtdt2dt试求：

（1）该系统的系统函数H(s)；

（2）绘出系统的时域上的直接模拟框图； （3）列出系统的状态方程和输出方程。 解：（1）对微分方程求拉氏变换，得

Y(s)2s2?10s?14H(s)??

F(s)s3?6s2?11s?6（2）系统的时域模拟框图如图J8.7-1所示。

210+++f(t)?---6∫x 3∫116x 2∫x 114+?y(t) 图J8.7-1

（3）以各积分器的输出x1(t),x2(t),x3(t)作为系统的状态变量，如图，则各积分器的

?1(t),x?2(t),x?3(t)。由图可得 输入相应为x?3(t)??6x1(t)?11x2(t)?6x3(t)?f(t)x?2(t)?x3(t)x ?1(t)?x2(t)x由以上可得系统的状态方程为

?1(t)??010??x1??0??x?x??x???0??f? ?2(t)???001?????2?????3(t)???6?11?6????1???x???x3???系统的输出方程为

?x1??y(t)?14x1(t)?10x2(t)?2x3(t)??14102??x?2? ??x3??

第八章 系统的状态变量分析 160 J8.8（西安电子科技大学2002年考研题）如所示的复合系统由两个线性时不变子系统Sa和Sb组成，其状态方程和输出方程分别为

?a1(t)??1?2??xa1??1??x?xa1?对于子系统Sa：????21??x???0?f1(t)， y1(t)??1?1??x?

?x(t)??a2????a2???a2??b1(t)??2?1??xb1??2??x?xb1?????f(t)y(t)?0?1对于子系统Sb：????21??x??0?2， 2?x?

?x(t)??b2????b2???b2?（1）写出复合系统的状态方程和输出方程的矩阵形式；

（2）；写出复合系统的信号流图，标出状态变量xa1,xa2,xb1,xb2；并求复合系统的系统函数H(s)。

解：由图可得

f1(t)?f(t)?y2(t) ?xb1??f(t)??0?1????f(t)?xb2??xb2??f(t)+?-f 1(t)Say1 (t)y(t)y2 (t)Sbf 2 (t) 图J8.8-1 ?xa1?f2(t)?y1(t)??1?1????xa1?xa2

?xa2?由子系统Sa的状态方程和输出方程可得

?a1(t)?xa1?2xa2?f1?xa1?2xa2?xb2?fx?a2(t)?2xa1?xa2xy1(t)?xa1?xa2由子系统Sb的状态方程和输出方程可得

?????(J8.8-1)

?b1(t)?2xb1?xb2?2f2?2xa1?2xa2?2xb1?xb2x?b2(t)??2xb1?xb2xy2(t)??xb2由式（J8.8-1）和式（J8.8-2）可得复合系统的状态方程为:

?????(J8.8-2)

?a1??1?200??xa1??1??x?x??x??0??a2??2100??????a2?????f? ?x?b1??2?22?1??xb1??0??????????00?21x??xb2??0??b2??复合系统的输出方程为:

第八章 系统的状态变量分析 161 ?xa1??x?a2y(t)?y1(t)?xa1?xa2??1?100???

?xb1????xb2?（2）按式（J8.8-1）和式（J8.8-2）可画出复合系统的信号流图，如图J8.8-2所示。

Sa(s)1F(s)1f11s-11xa12s-11-2xa2-1y111Y(s)-1-1xb2y21s-11-2xb1s-122f2-1Sb(s) 图J8.8-2

由信号流图，利用梅森公式可分别求子系统Sa和Sb的系统函数：

Ha(s)?Hb(s)?Y1(s)s?3?2F1(s)s?2s?5Y2(s)4?2F2(s)s?3s

F(s)+?-F 1(s)H (s)aY1 (s)Y(s)Y (s)2H (s)bF 2(s)将图J8.8-1转换成s域框图，如图J8.8-3所示。由此可得复合系统的系统函数H(s)：

图J8.8-3 Y(s)Ha(s)s2?3sH(s)???3 2F(S)1?Ha(s)Hb(s)s?2s?5s?4

J8.9（国防科技大学2000年考研题）已知离散因果系统的的状态方程和输出方程为

?x1(k?1)???12??x1(k)??1??x1(k)?????f(k)y(k)?1?1， ?x(k?1)???1?4??x(k)??1??x(k)??f(k)

??2????2???2?（1）求系统的差分方程，并画出系统的信号流图； （2）判断系统的稳定性，并说明理由。

解：（1）先求系统函数H(z)。由系统的的状态方程和输出方程可得

??12?A??,???1?4??1?B???， C??1?1?,?1?D?1

第八章 系统的状态变量分析 162 ?zI?A??1??12??z?41 ??2z?5z?6??1z?1?H(z)?C?zI?A?B?D2??1??z?41z2?5z?12

?1?1???2??1??1?z2?5z?6?1z?1z?5z?6????由系统函数H(z)的表达式可得出系统的差分方程和信号流图：

y(k)?5y(k?1)?6y(k?2)?f(k)?5f(k?1)?12f(k?2)

151z-1-5-6z-1F(z)121Y(z) 图J8.9-1

（2）

z2?5z?12z2?5z?12H(z)??2?

z?5z?6?z?2??z?3?可见，H(z)的极点为：z??2,z??3；它们都处于单位圆之外，故系统不稳定。

J8.10（浙江大学2000年考研题）有一离散系统如图J8.10-1所示，设k?0时，

f1(k)?f2(k)?0，系统的输出为

6?1?6?1?y(k)??????

5?2?5?3?+kkb+-1（1）确定常数a、b； （2）根据所列的状态方程求

F (z)1?+zaX (z)1z-1+X (z)2+?Y(z)F (z)2 图J8.10-1 x1(k)和x2(k)的闭式解；

（3）求该系统的差分方程。 解：（1）由系统框图可得

z?2Y(z)?F(z)?F2(z)?1?211?az?bz?

?1?az?1?bz?2Y(z)?z?2F1(z)?1?az?1?bz?2F2(z)???第八章 系统的状态变量分析 163 则系统的差分方程为

y(k)?ay(k?1)?by(k?2)?f1(k?2)?f2(k)?af2(k?1)?bf2(k?2)

则零输入响应的差分方程为

yzi(k)?ayzi(k?1)?byzi(k?2)?0

作z变换可得

Yzi?ay(?1)?by(?2)?z2?by(?1)z （J8.10-1） (z)?z2?az?b由题设可知，所给出的响应为零输入响应，即

6 （J8.10-2）

515z2?z?6651对比式（J8.10-1）和式（J8.10-2）可得：a?,b??

66?Yzi(z)?系统的差分方程为

?6?1?6?1??yzi(k)?????????(k)??5?2?5?3???kkz2?1z6y(k)?5151y(k?1)?y(k?2)?f1(k?2)?f2(k)?f2(k?1)?f2(k?2) 666651x1(k)?x2(k)?f1(k)66

（2）由系统框图可得如下状态方程：

x1(k?1)?ax1(k)?bx2(k)?f1(k)?x2(k?1)?x1(k)写成矩阵形式，

?x1(k?1)??5????6?x2(k?1)?????1系统的输出方程为

1????x1(k)??10??f1(k)????? 6???00?x2(k)????f2(k)????0????x1(k)??f1(k)?y(k)?x2(k)?f2(k)??01?????01???

?x2(k)??????f2(k)??5A??6?1?1???6,0???10?B???

00??第八章 系统的状态变量分析 164 ??z2?51?z2?z??166?(z)?z?zI?A?????z?251?z?z?66?1?z?651?2z?z??66? 5z2?z??651?2z?z??66???X1(z)?????(z)X(0)?z?1?(z)BF(z)??X2(z)????z2?51?z2?z?66????z?251?z?z?66???z2?51?z2?z?66????z?251?z?z?66?1??z??z6??5151z2?z???x1(0)??z2?z?66??66???5??x2(0)?z2?z?????16?2551?12z?z???z?z?66?66????? 51?2z?z???10??F1(z)?66????5??00???F2(z)?z???6?51?2z?z??66??161?zz???F(z)6?2511??51?z2?z???x1(0)??z?6z?6? 66???????5?2??x(0)1z?z??2??F1(z)?651?z2?z??51?2??z?z??66??66?对上式求逆z变换，得x1(k)和x2(k)的闭式解：

k??1?k?1??x1(k)??3?2??2?3?????????kk?11???????x2(k)??6???6???3???2?kkk?1??1??????????x(0)??2??3???1??(k)?kk?1??1?????2???3????x2(0)??2??3??k????1??1???6????????(k)*f1(k)??????2??3????????1?k?1?1?k?1??6????????(k?1)*f1(k)?????3??????2??

J8.11（上海大学2000年考研题）设有一连续系统如图J8.11-1所示。试求：

第八章 系统的状态变量分析 165 1++x 2 (t)+x 1 (t)F(s)?-s-1?-4s-1Y(s)3 图J8.11-1

（1）系统的状态变量方程和输出方程；

（2）根据状态变量方程和输出方程求系统的H(s)及微分方程； （3）系统在f(t)??(t)的作用下，输出响应为

5?11?y(t)???e?t?e?3t??(t)

6?32?求系统的初始状态x1(0?),x2(0?)。 解：（1）由图可得状态方程：

?1??4x1?x2?fx?2??3x1?fx写成矩阵形式：

(J8.11?1)

?1???41??x1??1??x???????????f?

?30?2?????1???x???x2???输出方程为：

?x1?y(t)?x1(t)??10??? （J8.11-2）

??x2??（2）由（1）得

??41?A???,?30??则系统函数为

?1?B???,??1??C??10?,D?0

H(s)?C?sI?A?B?D??1s?11 ?2s?4s?3s?3由图可知，该系统是二阶系统，故应取

?s由此可得系统的微分方程：

2?4s?3Y(s)?(s?1)F(s)

?

第八章 系统的状态变量分析 166 y??(t)?4y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t) （J8.11-3）

（3）根据已知条件，则有

Y(s)?1111512s?1 （J8.11-4） ???3s2s?16s?3s(s?1)(s?3)对系统的微分方程（式（J8.11-3））求拉氏变换，得

Y(s)??y(0?)s?y?(0?)?4y(0?)s?1?F(s)22s?4s?3s?4s?3y(0?)s??y?(0?)?4y(0?)?1?s?1s(s?1)(s?3)2

(J8.11?5)比较式（J8.11-4）和式（J8.11-5），可得

??y(0?)?0???y?(0?)?4y(0?)?1?2由式（J8.11-2）可得

??y(0?)?0 ????y?(0?)?1??x1(0?)?y(0?)?0 ??(0?)?y?(0?)?1??x1由式（J8.11-1）可得

?(0?)?4x1(0?)?f(0?)?1 x2(0?)?x1

J8.12（国防科技大学2002年考研题）如图J8.12-1所示，已知L?1H,R?1?,C?0.5F,

uc(0?)?1V,iL(0?)?1A,us(t)??(t),is(t)??(t)。[?(t)为单位阶跃函数]

iLLAiRus(t)+uc_RCis(t) 图J8.12-1

（1）试画出图J8.12-1所示电路的s域等效电路； （2）试求电阻R上iR(t)的全响应；

（3）令uc(t)= x1，iL(t)=x2，建立该电路的状态方程。

第八章 系统的状态变量分析 167 解：（1）电路的s域等效电路如图J8.12-2所示。

sLIL(s)UC(s)+Us(s)1IR(s)1siL(0-)RCUC(s)_sCuc(0-)Is(s) 图J8.12-2

其中，US(s)?11,IS(s)? ss（2）由图J8.12-2所示电路的节点方程，可得

11US(s)?IS(s)?iL(0?)?Cuc(0?)s2?2sLs UC(s)??3211s?2s?2s??sCsLR求拉氏逆变换得，

uc(t)?(1?e?tsint)?(t)? uc(t)?tiR(t)??(1?esint)?(t)R（3）选取状态变量x1=uc(t)，x2=iL(t)。 对图J8.12-1中结点A列写KCL方程，有

?1?x2?Cxx1?is(t)R??1??2x1?2x2?2is(t)x （J8.12-1）

对图J8.12-1中左网孔列写KVL方程，有

?2?x1us(t)?Lx??2??x1?us(t) （J8.12-2） x由式（J8.12-1）和（J8.12-2），可得电路的状态方程：

?1???22??x1??0?2??us??x???? ???x???????2???10??x2??10??is?

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