理论力学11动能定理

第十一章

动能定理

§11–1 质点动能定理 §11–2 质点系的动能定理 §11–3 力对质点之功 §11–4 力对刚体的功

§11–5 质点系和刚体的动能计算§11–6 功率和功率方程2

与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。

质点、质点系的动能T 1 m v2 2

1 T mi vi 2 2

§11-1

动能定理

1.质点的动能定理： ma F d (mv ) F dt

d mv v dt F dr 两边点乘以 dr v dt ,有 dt d m 1 而 ( mv ) v dt d ( v v ) d ( mv 2 ) dt 2 2 因此 d ( 1 m v2 ) W 动能定理的微分形式2

质点动能的元动量等于作用在质点上力的元功

将上式沿路径M1M 2积分，可得1 mv 2 1 mv 2 W 2 2 2 1

动能定理的积分形式4

11.2 质点系的动能定理d ( 1 mi vi ) Wi 2 对整个质点系，有 d ( 1mi vi 2 ) Wi d ( 1mi vi 2 ) Wi 2 2

对质点系中的一质点 M i :

2

即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式将上式沿路径 M1M 2 积分，可得T2 T1 W

质点系动能定理的积分形式

在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式

dT W ( F )

;

T2 T1 W ( F )5

若将质点系中的受力分为外力、内力，则有外力功和内力功

dT W (e) W (i )

(11.6)(i )

W

(e)

Wii

(e)

(e) Fi drii

W

Wii

(i )

(i ) Fi drii

我们不能证明质点系的内力功之和 恒为零，恰恰相反，它一般不等于零

方程(11.6)两边积分，可得质点系动能定理的积分形式为：T2 T1 W12

W12 i

ri 2

ri1

(e) ri 2 Fi dri Fi (i ) drii ri1

T1 为质点系起始时刻 t 1的动能， T2为质点系末了时刻 t2的动能； W12为这段时间内质点系上所有力对质点系所做的功。

动能定理适用范围 它是在牛顿第二运动定律的条件下推导而出， 故而也必须在惯性系里面才能适用。 若要得到相对运动的动能定理，则需从相对运动的 动力学方程入手mar F Qe Qk

注意到科氏惯性力垂直于相对运动drr=vr · dt方向， 即它不做功，有：1 1 2 2 mv r 2 mv r1 W We 2 2

相对运动的动能定理

注意这里是真实力和牵连惯性力在相对运动中做的功7

11-3

力对质点之功

力的功是力沿路程累积效应的度量。 一.常力的功W FS cos F S

时,负功。 时,正功； 时,功为

零； 力的功是代数量。

单位：焦耳(J);

2

1J 1N 1m

2

2

二.变力的功 元功： W F cos ds

Xdx Ydy Zdz ( F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk

F ds F dr

F dr Xdx Ydy Zdz)力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为W F cos ds F ds (自然形式表达式)M2 M2 M1 M1 M2

F drM1

(矢量式) (直角坐标表达式)9

M2

M1

Xdx Ydy Zdz

三.合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 , ,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R 的功

W R dr ( F1 F2 Fn ) drM1

M2

M2

F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 WnM1 M1 M1

M2

M1 M2

M2

即

W Wi

在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。

四.常见力的功 1.重力的功 质点：重力在三轴上的投影：X 0, Y 0, Z mgz2

W mgdz mg ( z1 z 2 )z1

质点系： W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )

质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。

2.弹性力的功 (1)拉压弹簧对质点的功 弹簧原长 l 0 ,在弹性极限内 F k (r l0 )r0 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。。 r0 r /rW F dr k ( r l0 )r0 drM2 M1 m2

r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r W k ( r l0 )dr r 1 r2 r2 r 1

M1

k d ( r l0 ) 2 2

k [(r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 k 即 W ( 12 2 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2不要误为 k 2 2 (l1 l2 ) 212

变形有关，而与质点运动的路径无关。

(2)平面扭转弹簧(扭簧)对质点的功。扭簧弹性力，用弹性力对扭簧中心的力矩来描述 ；弹性力矩的转向总是力图使扭簧回复到自然状 态；弹性力矩的大小与扭簧的扭转角成正比，扭 转角是指扭簧的瞬时径向线与自然状态时的径向 线之间的夹角。比例系数称为扭簧的刚度系数或 刚度，记为k (其标准单位为 N m/rad)

MO (F ) k ( 0 )

质点从起点M1运动到终点M2,对应的位置角分别为 φ1、 φ 2。则在这个 过程中扭簧对质点所作的功为

W12

k 2 2 ( 1 2 ) 1 2 其中扭簧的初角位移 1 1 - 0 2 2 - 0 k 扭簧弹性力的功只与弹簧的初角位移和终角位 2 2 W12 ( 1 2 ) 移有关，而与质点运动的路径无关。 13 2 [ k ( 0 )]d 2

M1M 2

F dr

M1M 2

( F ) ds ( F )rd 1

2

2

1

M O ( F )d

(3. 库仑摩擦力对质点的功如图 ，在固定面上运动的质点， 受到的摩擦力 F 总是与质点的运 动速度矢量共线、反向，因此有

v F fFN v

正压力 FN 规定为正值，f 为摩擦系数(滑动摩擦)。 所以摩擦力对质点所作的功为：

FN

W12

M1M 2

F dr

f

M1M 2

FN v dt f

v v2 fFN dr f FN dt M1M 2 M M 1 2 v vM1M 2

FN d sW fFN sT

dr dr dt v dt dt

摩擦力对质点的功 W 与路径有关 若在整个路径上 FN =const.,则

S T为质点经过的路程总和，总为正值，因此固定表面的摩擦力对质点 总是做负功。此外，如果颠倒起点和终点，W 不变。 注意：若表面在运动，摩擦力的方向取决于质点与表面的相对速度方向， 而计算功是用绝对位移(或绝对速度),绝对位移与摩擦力的方向可 14 以相反、也可以相同，因此运动表面的摩擦力对质点作功可正可负。

摩擦力的功的补充 (1) 动滑动摩擦力的功 W M M F ds M M f 'Nds1 2 1 2

N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ,摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移dr vC dt 0

W F dr F vC dt 0

(3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则

s W m m R15

简述4.万有引力的功

1 1) W Gmm 0( r2 r1

万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。

5.作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F ,计算刚体转过 一角度 时力F 所作的功。M点轨迹已知。 F F Fn Fb

W F ds F rd mz ( F )d 2 ( 2 1 ) W mz ( F )d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶，m , 且力 W m d 偶的作用面垂直转轴 1 若m = 常量, 则 W m( 2 1 ) 注意：功的符号的确定。16

1

2

4. 力对平面运动刚体的功 设平面运动刚体上作用有外力 F1 , F2 , …, Fn。取刚体上任 一点 O 为基点， Oxy随基点平动。则力系对平面运动刚体所 作的功为o点的位移 即dro

相对o点的转动位移 即dri

相对运动为转动 Fi dri F dr F ri d mO ( Fi )d

第一个等号公式表示的计算方法： 对各个力直接计算功，再作代数和。 最后一个等号公式表示的计算方法： 先将力系向任意点 O 简化，再计算合力的功和合力偶矩的功 进行叠加。实际应用中，视方便选用一种方法进行计算 17

五.质点系内力的功

W F drA F ' drB

F drA F drB F d (rA

rB ) F d ( BA)

只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。功的计算公式中力作用点的含义应包括三方面： (1)受力点：受力物体(分析对象)上直接受到力的那个点； (2)加力点：施力物体上加力的那个点，该瞬时与受力点的接触点； (3)力点：力作用点的空间位置。 任何瞬时这三个点都是重合的，但在很多情况下，这三个点具有不同的运 动和轨迹。 功的正确计算： dr 和 v应当为受力点的位移和速度。18

11.4.3 典型约束力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1.光滑固定面约束 W ( N ) N dr 0 ( N dr ) 2.活动铰支座、固定铰支座和向心轴承

3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链(中间铰) (N) W N dr N ' dr N dr N dr 0 5.柔索约束(不可伸长的绳索) 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。

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