2016届高三数学二轮复习(理科)教师用书(全部)
更新时间:2024-06-01 00:38:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第1讲 函数图象与性质及函数与方程
高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体,考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性,或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想,这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式.
真 题 感 悟
1.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=cos x C.y=ln x
B.y=sin x D.y=x2+1
解析 由于y=sin x是奇函数;y=ln x是非奇非偶函数;y=x2+1是偶函数但没有零点;只有y=cos x是偶函数又有零点. 答案 A
?1+log2(2-x),x<1,2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=?x-1则f(-2)+f(log212)=( )
2,x≥1,?A.3
B.6
C.9
D.12
解析 因为-2<1,log212>log28=3>1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,1
f(log212)=2log212-1=2log212×2-1=12×2=6,故f(-2)+f(log212)=3+6=9,故选C. 答案 C
3.(2015·北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1}
D.{x|-1<x≤2}
解析 如图,由图知:f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1 4.(2015·山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1) 的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________. 解析 当a>1时,f(x)=ax+b在定义域上为增函数, -1 ?a+b=-1,∴?0方程组无解; a+b=0,? 当0<a<1时,f(x)=ax+b在定义域上为减函数, 1-1??a+b=0,a=,?3∴?0解得?2∴a+b=-2. ?a+b=-1,??b=-2.3答案 -2 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性:证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性; (2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; (3)周期性:①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数;④若f(x+a)=-f(x) 1?? ?或f(x+a)=f(x)?,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数. ??2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. 3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. 热点一 函数性质的应用 [微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性 【例1-1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=________. (2)(2015·济南三模)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( ) 11A.2> x+1y2+1C.sin x>sin y B.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.x3>y3 ?2x+2,x<1, (3)设f(x)=?(a∈R)的图象关于直线x=1对称,则a的值为( ) ?-ax+6,x≥1A.-1 B.1 C.2 D.3 解析 (1)f(x)为偶函数,则ln(x+a+x2)为奇函数, 所以ln(x+a+x2)+ln(-x+a+x2)=0, 即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. (2)∵ax<ay,0<a<1,∴x>y,∴x3>y3. (3)由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(0)=f(2), 即2=-2a+6,解得a=2.故选C. 答案 (1)1 (2)D (3)C 探究提高 第(3)小题将对称问题转化为点的对称,从而很容易地解决问题,本题也可借助于图象的斜率解决. [微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性 【例1-2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 (2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________. 解析 (1)易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,又f(x)=ln 2?1+x? =ln?-1-x-1?,由复合函数单调性判断方法1-x?? 知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选A. (2)∵f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称. 又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)单调递减, 则f(x)的大致图象如图所示, 由f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案 (1)A (2)(-1,3) 探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题. 【训练1】 (2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x -m| -1(m为实数)为偶函数,记a= f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a 解析 因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数可知,m=0, 所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数, log0.53=-log23,∴log25>|log0.53|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m),故选C. 答案 C 热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别 【例2-1】 (1)(2015·安徽卷)函数f(x)=结论成立的是( ) A.a>0,b>0,c<0 ax+b 的图象如图所示,则下列 (x+c)2 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 a (2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+2与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是( ) b 解析 (1)函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,∴c<0;令x=0,得f(0)=c2,又由bb 图象知f(0)>0,∴b>0;令f(x)=0,得x=-a,结合图象知-a>0,∴a<0.故选C. (2)当a=0时,两个函数的解析式分别为y=-x,y=x,故选项D中的图象是可能的.当a≠0a1 时,二次函数y=ax2-x+的对称轴方程为x=,三次函数y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的导 22a 1111 数为y′=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),令y′=0,得其极值点为x1=3a,x2=a.由于3a<2a1111 <a(a>0),或者3a>2a>a(a<0),即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧,选项A、C中的图象有可能,选项B中的图象不可能. 答案 (1)C (2)B 探究提高 识图时,可从图象与x轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.在探究两个函数的图象位臵关系时,要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化,从而确定两个函数图象的可能位臵关系. [微题型2] 函数图象的应用 【例2-2】 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)?1?-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f ?-2?,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) ??A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c (2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0, A.5,5 5 B.10,2 C.10,5 D.10,10 解析 ∵x>0,y>0,∴x+4y+5=xy≥24xy+5, 即xy-4xy-5≥0,可求xy≥25. 5 当且仅当x=4y时取等号,即x=10,y=2. 答案 B 探究提高 在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取到,有时也需进行常值代换. [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题 1?1?2 【例1-2】 (2015·四川卷)如果函数f(x)=2(m-2)x+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间?2,2?上 ??单调递减,那么mn的最大值为( ) A.16 B.18 C.25 81 D.2 n-8 解析 令f′(x)=(m-2)x+n-8=0,∴x=-, m-2当m>2时,对称轴x0=- n-8 , m-2 n-8 由题意,-≥2,∴2m+n≤12, m-22m+n ∵2mn≤2≤6, ∴mn≤18,由2m+n=12且2m=n知m=3,n=6, 当m<2时,抛物线开口向下, n-81 由题意-≤,即2n+m≤18, m-222n+m81 ∵2mn≤2≤9,∴mn≤2, 由2n+m=18且2n=m, 得m=9(舍去),∴mn最大值为18,选B. 答案 B 探究提高 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 【训练1】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x,y满足x+y+1=xy,则x+2y的最小值是( ) A.3 B.5 C.7 D.8 (2)已知关于x的不等式2x+A.1 2 ≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为( ) x-a35B. C.2 D. 22 x+1 , x-1 解析 (1)由x+y+1=xy,得y=又y>0,x>0,∴x>1. 2?x+1?1+∴x+2y=x+2×=x+2×? x-1?x-1??44 =x+2+=3+(x-1)+≥3+4=7, x-1x-1当且仅当x=3时取“=”. (2)∵x∈(a,+∞),∴x-a>0, 22 ∴2x+=2(x-a)++2a≥2· x-ax-a3由题意可知4+2a≥7,得a≥2, 3 则实数a的最小值为2,故选B. 答案 (1)C (2)B 热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 运用分离变量解决恒成立问题 4 【例2-1】 关于x的不等式x+x-1-a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为________. 44 解析 设f(x)=x+x,因为x>0,所以f(x)=x+x≥2 44x·x=4.又关于x的不等式x+x-1- 2 2(x-a)·+2a=4+2a, x-a a2+2a>0对x∈(0,+∞)恒成立,所以a2-2a+1<4,解得-1<a<3,所以实数a的取值范围为(-1,3). 答案 (-1,3) 探究提高 一是转化关,即通过分离参数法,先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对?x∈D恒成立,再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min); 二是求最值关,即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题 【例2-2】 已知f(t)=log2t,t∈[2,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式 x2+mx+4>2m+4x恒成立,求x的取值范围. ?1? 解 易知f(t)∈?2,3?,由题意,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4=(x-2)m+(x-2)2>0对 ?? ?1? ?m∈?2,3?恒成立. ??1???g???>0,所以只需??2?即可, ??g(3)>01??(x-2)+(x-2)2>0, 即?2??3(x-2)+(x-2)2>0 x>2或x<-1. 故x的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 探究提高 主、辅元互换可以实现对问题的有效转化,由繁到简,应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质,巧用转化思想,灵活处理,从而顺利解决问题. 【训练2】 (1)(2015·合肥模拟)已知a>0,b>0,若不等式最大值为( ) A.4 B.16 C.9 D.3 m31 -a-b≤0恒成立,则m的3a+b (2)若不等式x2-ax+1≥0对于一切a∈[-2,2]恒成立,则x的取值范围是________. 解析 (1)因为a>0,b>0,所以由恒成立. 3b3a因为a+b≥2 3b3a a·b=6, m313b3a?31?-a-b≤0恒成立得m≤?a+b?(3a+b)=10+a+b ??3a+b 3b3a 当且仅当a=b时等号成立,所以10+a+b≥16, 所以m≤16,即m的最大值为16,故选B. (2)因为a∈[-2,2],可把原式看作关于a的函数, 即g(a)=-xa+x2+1≥0, 2 ?g(-2)=x+2x+1≥0, 由题意可知?解之得x∈R. 2 ?g(2)=x-2x+1≥0, 答案 (1)B (2)R 热点三 简单的线性规划问题 [微题型1] 已知约束条件,求目标函数最值 ?x+y-7≤0, 【例3-1】 设x,y满足约束条件?x-3y+1≤0,则z=2x-y的最大值为( ?3x-y-5≥0, A.10 B.8 C.3 D.2 解析 画出可行域如图所示,由z=2x-y,得y=2x-z,欲求z的最大值,可将直线y=2x向下平移,当经过区域内的点,且满足在y轴上的截距-z最小时,即得z的最大值,如图,可知当过点A时z最大, ?x+y-7=0,?x=5,由?得? x-3y+1=0,y=2,??即A(5,2),则zmax=2×5-2=8. 答案 B ) 探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. [微题型2] 已知最值求参数问题 ?x-y≥0,【例3-2】 (2015·山东卷)已知x,y满足约束条件?x+y≤2,若z=ax+y的最大值为4,则 ?y≥0, a=( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0),由?x-y=0,?得B(1,1). ?x+y=2, 由z=ax+y,得y=-ax+z. ∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B. 答案 B 探究提高 对于线性规划中的参数问题,需注意: (1)当最值是已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特 征加以转化. (2)当目标函数与最值都是已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可. [微题型3] 非线性规划问题 ?3? 【例3-3】 已知动点P(x,y)在过点?-2,-2?且与圆M:(x-1)2+(y+2)2=5相切的两条直 ??线和x-y+1=0所围成的区域内,则z=|x+2y-3|的最小值为( ) 5 A.5 B.1 C.5 D.5 解析 由题意知,圆M:(x-1)2+(y+2)2=5的圆心坐标为(1,-2). 3?3??3? 过点?-2,-2?的直线方程可设为y=k?x+2?-2,即kx-y+2k-2=0. ???? 3?? ?k×1+2+2k-2???3 因为直线kx-y+2k-2=0和圆M相切,所以=5,解得k=±2,所以两 1+k2条切线方程分别为l1:2x-y+1=0,l2:2x+y+5=0.由直线l1,l2和x-y+1=0所围成的区域如图所示. z=|x+2y-3|= 5|x+2y-3| 的几何意义为可行域内的点到直线x+5 2y-3=0的距离的5倍.由图知,可行域内 的点B到直线x+2y-3=0的距离最小,则zmin=|0+ 2×1-3|=1,故选B. 答案 B 探究提高 线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义:(1)目标函数为一次函数,几何意义可等价为横、纵截距,平移直线即可求出最值;(2)目标函数为二次函数,可等价距离的平方,但要注意求距离最值时,若利用垂线段,需考虑垂足是否在可行域内,所以此时更要注意数形结合的重要性;(3)目标函数为一次函数绝对值,可构造点到直线的距离,但莫忘等价变形(即莫忘除以系数);(4)目标函数为一次分式,可等价直线的斜率. ?x-y≤0, 【训练3】 若x,y满足条件?x+y≥0,且z=2x+3y的最大值是5,则实数a的值为________. ?y≤a, 解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线z =2x+3y 过点A(a,a)时,z=2x+3y取得最大值5,所以5=2a+3a,解得a=1. 答案 1 1.应用不等式的性质时应注意的两点 (1)两个不等式相加的前提是两个不等式同向;两个不等式相乘的前提是两个不等式同向,且不等式两边均大于0;不等式原则上不能相减或相除. (2)不等式的性质是不等式变形的依据,但要注意区分不等式各性质的是否可逆性. 2.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法. 3.均值不等式除了在客观题考查外,在解答题的关键步骤中 也往往起到“巧解”的作用,但往往需先变换形式才能应用. 4.解决线性规划问题首先要作出可行域,再注意目标函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决. 5.解答不等式与导数、数列的综合问题时,不等式作为一种工具常起到关键的作用,往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中,要以数学思想方法为思维依据,并结合导数、数列的相关知识解题,在复习中通过解此类问题,体会每道题中所蕴含的思想方法及规律,逐步提高自己的逻辑推理能力. 一、选择题 1.(2015·天津卷)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由|x-2|<1得1<x<3,由x2+x-2>0,得x<-2或x>1,而1<x<3x<-2或x>1,而x<-2或x>1分而不必要条件,选A. 答案 A 1<x<3,所以,“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充 xy 2.(2015·临汾模拟)若点A(m,n)在第一象限,且在直线3+4=1上,则mn的最大值是( ) A.3 B.4 C.7 D.12 xy 解析 因为点A(m,n)在第一象限,且在直线3+4=1上, mn 所以m,n∈R+,且3+4=1, mn+mn13mn342?? ?当且仅当3=4=2,即m=2,n=2时,取“=”?, 所以3·≤()42??mn?1?21??所以3·4≤?2?=4,即mn≤3,所以mn的最大值为3. 答案 A ?4x+5y≥8, 3.(2015·广东卷)若变量x,y满足约束条件?1≤x≤3,则z=3x+2y的最小值为( ?0≤y≤2, 31A.5 B.6 23C.5 D.4 解析 不等式组所表示的可行域如下图所示, ) 4?3z3z? 由z=3x+2y得y=-2x+2,依题意当目标函数直线l:y=-2x+2经过A?1,5?时,z取得最 ?? 423 小值,即zmin=3×1+2×5=5,故选C. 答案 C 4.已知正数x,y满足x+22xy≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵x>0,y>0, ∴x+2y≥22xy(当且仅当x=2y时取等号). x+22xy 又由x+22xy≤λ(x+y)可得λ≥, x+y而 x+22xyx+(x+2y) ≤=2, x+yx+y ?x+22xy? ?∴当且仅当x=2y时,?=2. maxx+y??∴λ的最小值为2. 答案 B ?x-2y+1≤0, 5.(2015·衡水中学期末)已知约束条件?ax-y≥0,表示的平面区域为D,若区域D内至少 ?x≤1 有一个点在函数y=ex的图象上,那么实数a的取值范围为( ) A.[e,4) C.[1,3) B.[e,+∞) D.[2,+∞) 解析 如图:点(1,e)满足ax-y≥0,即a≥e. 答案 B 二、填空题 6.(2015·福建卷改编)若变量x,y________. ?x+2y≥0, 满足约束条件?x-y≤0,则 ?x-2y+2≥0, z=2x-y的最小值等于 解析 如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z=2x-y可化为y=2x-z,1?15? -1,??由图形可知当y=2x-z过点2?时z最小,zmin=2×(-1)-2=-2. ? 5 答案 -2 2??x+-3,x≥1, 7.(2015·浙江卷)已知函数f(x)=?x则f(f(-3))=________, ??lg(x2+1),x<1,f(x)的最小值是________. 2 解析 f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)=x+x-3≥22-3,当且仅当x=2时,取等号;当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg 1=0,当且仅当x=0时,取等号, ∴f(x)的最小值为22-3. 答案 0 22-3 8.(2015·南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________. 解析 由已知,得xy=9-(x+3y), ?x+3y?2 ?, 即3xy=27-3(x+3y)≤? ?2?令x+3y=t,则t2+12t-108≥0, 解得t≥6或t ≤-18(舍),即x+3y≥6. 答案 6 三、解答题 9.已知函数f(x)= 2x . x+6 2(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值; (2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围. 解 (1)f(x)>kkx2-2x+6k<0. 由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2. 22 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=k,即k=-5. (2)因为x>0,f(x)= 2x226 =≤= 6266,当且仅当x=6时取等号. x2+6 x+x 6?6? 由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥6,即t的取值范围是?,+∞?. ?6?10.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射在方程y=kx- 1 (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发20 垂直于地后的轨迹射方向有 关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 解 (1)令y=0,得 1 kx-20(1+k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 20k2020 故x== 1≤2=10, 1+k2k+k当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标 存在k>0, 1 使3.2=ka-20(1+k2)a2成立 关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 a≤6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标. 1 11.已知函数f(x)=3ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若z=a+2b,求z的取值范围. (1)证明 求函数f(x)的导数 f′(x)=ax2-2bx+2-b. 由函数f(x)在x=x1处取得极大值, 在x=x2处取得极小值, 知x1、x2是f′(x)=0的两个根, 所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当x<x1时,f(x)为增函数,f′(x)>0, 由x-x1<0,x-x2<0得a>0. (2)解 ?f′(0)>0, 在题设下,0<x1<1<x2<2等价于?f′(1)<0, ?f′(2)>0, ?2-b>0,?2-b>0, 即?a-2b+2-b<0,化简得?a-3b+2<0, ?4a-4b+2-b>0,?4a-5b+2>0.
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