数分选讲讲稿第3讲

讲 授 内 容

第三讲

三、利用变量替换求极限

例6 求极限 lim(sinx??备 注 3学时

1x?cos1x)x．

解 令

1x?y， 则当 x?? 时，y?0

1x1x1 lim(sinx???cos)xy?lim(siny?cosy) y?0siny?cosy?1

??siny?cosy?1?lim?(1?siny?cosy?1)?y?0????1y

由于 limy?0sinyy?1， limy?0cosy?1y1?0

．

所以 lim(1?siny?cosy?1)siny?cosy?1?e

y?0因此 lim(sinx??n??n??1x?cos1x)x?e．

例7 若limxn?a, limyn?b．试证：

limx1yn?x2yn?1???xny1nn??n???ab证 因为limxn?a, limyn?b

n??令 xn?a??n, yn?b??n 则当n??时，?n?0, ?n?0． 于是

?x1yn?x2yn?1???xny1n

n(a??1)(b??n)?(a??2)(b??n?1)???(a??n)(b??1) ?ab?a?n??n?1????1n?b?1??2????nnn

?其中 lim?1??2????nn?1?n??2?n?1????n?1n???lim?n?0n??

1

lim?1??2????nnn???lim?n?0n??

．

又因为 lim?n?0，所以??n?有界，

n???M?0, ?n??，使得|?n|?M．所以

n 0?|?1?n??2?n?1????n?1||?n|?|?n?1|???|?1|n

?M ?0 (n??) 所以 limx1yn?x2yn?1???xny1n?ab．

n?? 注 本例的变换具有一般性，常常用这种变幻，可将一般情况归结为特殊情况．如本例，原来是已知limxn?a, limyn?b，求

n??n??证limx1yn?x2yn?1???xny1nn??n???ab．经变换后，归结为已知

?1?n??2?n?1????n?1nn??lim?n?0, lim?n?0，求证limn??n???0这样可以利用结论：limxn?0?lim|xn|?0．

n??但 liman?a与lim|an|?|a|不等价．

n??n?? 四、两边夹法则（迫敛性定理）

n 例8 设ak?0, (k?1,2,?,m)．求limna1n?a2n???am．

n?? 解 设A?max?a1,a2,?,am??0

A?a1?a2???am?mAnnnnn

A?na1?a2???am?nnnnmA

而 limnm?1，由两边夹法则得

n??lim1nn??a1?a2???am?A．

nnn

例9 求limx[]．

x?0x解 当x?0时，?1?[]?xx111x

2

x?0时，1?x?x[]?1 x?0时，1?x?x[]?1

xx11

．

1故 limx[]?1．

x?01x例10 已知ai?0, (i?1,2,?,n)．试计算

?n?npp????p?plim???ai????ai??p?????i?1??i?1????11解 记a?min?ai|i?1,2,?,n?，A?max?ai|i?1,2,?,n? 因为p???，不妨设p?0

11?p1(A)?(app)p?np?p?n?p?ppp?pp???ai????ai??(nA)?(na) ?i?1??i?1?11

令p???， 左边为 A?a?1 右边为 A?a?1

?n?npp????p?p?1lim???ai????ai???A?a． p?????i?1??i?1????11

故

例11 求极限limxn．设

n??1)

xn?1?3?5?(2n?1)2?4?6?2n(n?1)2；

2) xn??k?n1k；

??． ?2n3) xn??i?111???kkkk??n?1???n?1??

解 1) 因为几何平均值小于算术平均值， 所以分母中的因子 2?

4?1?323?52??1?33?5

????

3

0?xn?2n?(2n?1)?(2n?1)2?(2n?1)?(2n?1)

1?3?5?(2n?1)2?4?6?2n

?0 (n??)

?1?3?5?(2n?3)(2n?1)1?3?3?5?(2n?1)?(2n?1)

故 limxn?0．

n??(n?1)22)

1(n?1)2?k?n1k，共有(n?1)?n?1?2n?2项，其中最小项为

22

2?1n?1，最大项为1n2?1n．

所以

2n?2n?1(n?1)(n?1)2?2?k?n1k?2n?2n

12于是 limkkn???k?n1k?2．

2 3) 因为 n?n?1??n?1?, n?(n?1)k?n?1

kk

所以 n?(n?1) 1?nnn?1k?1k??n?1??1k?1

??k?1(n?1)k?nn?11k?1 (n??)

n lim?(n?1)n??k?1nk??1．

同理可得 lim?(n?1)n??k?1k?1k?1．

从而 limxn?2．

n??五、利用单调有界定理求极限（或证明极限存在） 例12 设a为常数．若数列?xn?满足条件

n?|xk?2k?xk?1|?a, (n?2,3,?)

证明数列?xn?收敛．

4

证 令yn?n?|xk?2k?xk?1|, (n?2,3,?)

显然，数列?xn?是单调增加并有上界a，所以?yn?收敛． 由Cauchy收敛准则的必要性，

???0, ?N，当n?N时，对?p??，有 |yn?p?yn|??．

n?pnk |yn?p?yn|??|xk?2?xk?1|??|xk?2k?xk?1|

n?p ?而

?k?n?1|xk?xk?1|??

|xn?p?xn|?|(xn?p?xn?p?1)?(xn?p?1?xn?p?2)???(xn?1?xn)|

n?p ??k?n?1|xk?xk?1|??

由Cauchy收敛准则的充分性，知数列?xn?收敛．

例13 设函数f(x)在[1,??)上连续，恒正且单调递减．并且

nun??k?1f(k)?? n 1f(x)dx

则数列?un?收敛． 证 un?1?un

n?1 ??k?1f(k)?? n?1 1n

f(x)dx??f(k)?k?1? n 1f(x)dx

?f(n?1)?? n?1 nf(x)dx

已知f(x)在[1,??)上单调递减，连续，由积分中值定理知

un?1?un ?f(n?1)?? n?1 nf(x)dx

?f(n?1)?f(?n)?0 n??n?n?1

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