精选平面向量压轴填空题

更新时间：2023-04-20 13:05:01 阅读量：实用文档文档下载

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1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?u u u r u u u r ＝

_____________ 【答案】2

解析： 2

7)(21)()()()(-=+?-=?-=+?-=?

0,31=?==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n

等于【答案】3

[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由

(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 得 ???==?+=n

y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0== 法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 两边同乘或得

???????=??=?=?=?n n m m OA OC 333两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=?=?，则边AB 的长等于 22

B O A

B C

解析：4=?=?CB AB AC AB 88)(2=?=+?AB CB AC AB 4. 已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r 则的取

值范围是___________)1,32

( 解析：=+=+=''32

GP AG GP AG AP λ

)()(31

GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<

=)](31

)(31[)(31

BC AC n CB AB m t AC AB +?++?++

=AC nt AB mt )1(31

)1(31

+++，则)1

2(3132∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ?所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r

22OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ?的心垂心

解析

： 22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+?CA BC CA BC OB OA OB OA 02=??OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理

6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则→BC ·→AO 的取值范围 ??????

2,41

- A

B C

P G ’ P ’

解析：()1122=+-c b 222b b c -=?200<b )(2122cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR AO AB AC AO BC -=?-?=-=?-=?βα ∈--=-=41)21(22b b b ??????2,41- 7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，

33=CA ，若2=?+?AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于_____32 解析：（2007全国联赛类似题）因为2=?+?AF AC AE AB ，

所

以2)()(=+?++?BF AB AC BE AB AB ，即22=?+?+?+BF AC AB AC BE AB AB 。因为12=AB ，

33236133133-=??-+??=?AB AC ，BF BE -=，所以21)(1=--?+AB AC BF ，即2=?BC BF 。设EF 与BC 的夹

角为θ，则有2cos ||||=??θBC BF ，即3cos θ=2，所以32cos =θ 8. 已知向量αu r ,βu

r ,γr 满足||1α=u r ,||||αββ-=u r u r u r ,()()0αγβγ-?-=u r r u r r .若对每一确定的βu r ,||γu u r 的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意βu r ,m n -的最小值是

1 解析：数形结合.α=AB ,β=AC ,βα-=BC ,,γ=AD

BD CD BD CD ⊥?-=-=αγβγ,，

点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而2

1121,≥?≥?==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同. 9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．23 A

B C

D A

C O

B 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8

10. 设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==，y x +=，若PMN ?是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1}

解析：画图解即可

11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则?的最大值为________2

12sin ))((+=++θDC OD AB OA

12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。如图所示，点C 在以O

为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，

则y x +的最大值是___2

解析：

13)(2222222=-+=-+=?++=xy y x xy y x OB OA xy y x OC

22)2(3131)(y x xy y x +?+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)2

3,21(),0,1(-==则 )23,21(y y x -=，则满足11)2

3()21(222=-+?=+-2xy y x y y x ，且0,2

121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA ),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x

13. 在平行四边形中，ABCD 已知?=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点

P 在CD BC 与上运动（包括端点），则?的取值范围是 ]1,21[- 解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则

]1,21[211∈-=?+?=?BP DM BP DM AB DM AP ；同理，当P 在CD 上时，]21,21[2121-∈+-=?DM 14. 在周长为16的PMN ?中，6MN =，则PM PN ?u u u u r u u u r 的取值范围是 [)716，

解析：PM PN ?u u u u r u u u r ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+?==322

362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2(2=+≤b a ab ，PM PN ?u u u u r u u u r 732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ?u u u u r u u u r

732≥-=ab ；同时86106

另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决

15. 已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若

()||f t OA tOB =-u u u r u u u r 的最小值为3||OC uuu r 的最小值是 6111解析：',,'B A C y x ?+=共线，用几何图形解）()||f t OA tOB =-u u u r u u u r 的最小值为3为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使||OC uuu r 最小，

则'AB OC ⊥，利用面积法可求得 16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为 12

解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,21(),1,1(θθ=-== 由AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r 得

???????+=+-=??????=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21， B

B ’ A

C 32

1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++?=++-=

+θθθθθθθμλ，令]2

,0[,sin cos 2sin 1)(πθθθθθ∈++=f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为2

1)0(=f ，μλ+最小值为21 17. 已知P 为边长为1的等边ABC ?所在平面内一点，且满足2+=，则 ?=________3 解析：如图

CA CB CP 2+=CA BP 2=?，PB PA ?= 3120cos 214)(02=??+=?+=?+

18. 已知向量M={ =(1,2)+(3,4) R}， N={=(-2,2)+ (4,5) R }，则MN=________{})62,46( 解析：15'

5242'4231=????+=++-=+λλλλλ

19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=?

，AB =

AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12

PM PN ?=-u u u u r u u u r 时，AM MB

=______3 解析：))((++=?

20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1, 则()()

CA CD CA CE ??u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值是 227 解析：

()()CA CD CA CE ??u u u r u u u r u u u r u u u r 27

2cos sin 21cos sin 21cos 2142232≤==?=A A A A CA A CA CD 21. 已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足??????++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的P

C C A

E B

______________重心

解析：设重心为G ，3

2)(3)2(3λλ

=+=?-+-= λ=，故P G C ,,三点共线

22. 已知点O 为ABC ?

24==,则=? 6 解析：61224cos 2cos 4)(=?-?=∠-∠=-=?R

R R R BAO R CAO R 23. 设D 是ABC ?边BC 延长线上一点，记AC AB AD )1(λλ-+= ，若关于x 的方程 01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____ 4-<λ或122--=λ

解析：令x t sin =则01)1(22

=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(λ，或者1220--=?=?λ 又AC AB AD )1(λλ-+=λ=?0

所以4-<λ或122--=λ

24. O 是锐角?ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r 2AB AB Sin ABC λ? + ∠?u u u r u u u r

2AC AC Sin ACB ????∠?

u u u r u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过?ABC 的______心内心解析：设高为AD

，则AD 1+=λ显然成立 25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r ，记PA u u u r 、

PB u u u r 、PC u u u r 中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是

_____)7?-+∞?

≥，即x y ≥

，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线

的抛物线，其方程为)2(8)3(2-=-y x ,它交直线x y =于点P )627,627(--

=，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627-

法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢实际上就是当P 为ABC ?

==M =的最小值，因为当P

不是外心时，

至少有一个会变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14

225,14225(22----a a a a ,

==最小，则圆与坐标轴相切，此时a a a =--14

2252627-=?a 26. 已知ABC ?中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+u u r u u u r u u u r 且，则x y +的值

为 _________ . 23

, 解析：延长AI 交BC 于点'I ,则AI 3

23132'23+=+== 27. 设G 是ABC ?的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°

解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==?==，下面用余弦定理即可求解

28. 平面内两个非零向量,

1=，且α与-的夹角为0135

的取值

范围是_________]2,0(

45sin 10=，)43,0(πθ∈

29. 在ABC ?中，2,1==AC AB ，O 为ABC ?外接圆的圆心，则=?BC AO ____

23 解析：

2(2)(2)(AD AE AO AD AO AB AC AO =?-?=-? 2

3)2=-AE 30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r ．则C ∠= ．135

解析：3450OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r 2222524169=?++?

090=∠?===AOB r OC OB OA

31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→

→?CQ BP ,则T 的最大值为．22

解析：设,的夹角为θ，注意到由余弦定理知

060=∠CAB ，故→

→?CQ BP AQ AP CA AP AQ BA CA BA AQ CA AP BA ?+?+?+?=++=))((A

B C

P Q

B C O

θcos 14884)(60cos 380+=?+=--?+??BC AQ CA BA AQ ]22,6[-∈ 32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u r ，

则AC AD ?u u u r u u u r =____________3

33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、

△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1

法一：延长OB,OC 至B ’,C ’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ?重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，

???=-=-+0

620632y b x c a 3:1:3=?=???ABC AOC S S y b 34.已知是△ABC 的三个顶点，ABC CA BC CB AB AC AB AB ??+?+?=则,2为_________________三角形. 直角三角形

解：注意到2AB CB AB AC AB =?+?,故0=?CA BC

35.平面上的向量PB PA ,满足422=+PB PA ，且0=?PB PA ,若向量PB PA PC 3

231+=

，则PC 的最大值为___________

解析：两边平方后知3

4916)34(9122≤?≤+=PC PB PC ，即A P ,重合时. 36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),21,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足0OQ OP ON OP OM OP ?≤?≤≤?≤则.10,1的最大值为

解析：即已知?

??≤≤≤+≤10120y y x 求y x 32+最大值问题，线性规划问题. 37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=?，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= .

解析：BC AB AH μλ+=2

1，两边同数乘BC 得μλ3=；两边同数乘AB 得368=-μλ 解方程组得3

261,21=+?==μλμλ 38. 如图，在ABC ?和AEF ?中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，

C B

D 若7AB A

E AC A

F ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则EF u u u r 与BC u u u r 的夹角的余弦值等于 _．3

1 解析：39题类似，632=?=?BC EF ，下面求

-?+?=-?-=?)()()(AF AC AE AB AB AC AE AF BC EF

(])()([7)(AC BE AB BF AB AB AC AE AF AB ?+++?-=?+?=

]4[7][72AC AB CB BF AC BF AC AB BF AB AB ?+?+-=?-?+?+-

=]22

14[7+?-

-BC EF ，解方程得2=?BC EF

39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，

则EF u u u r 与BC u u u r 的夹角等于；

解析：3

π 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。 ()()AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ?+?=?++?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

1AB BE AC AB AC BF =+?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

EF u u u r 与

BC u u u r 的夹角EF u u u r 与BC u u u r 的夹角∵BE BF =-u u u r u u u r ， ∴AB AE AC AF ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r 1()AC AB BF AC AB =+-?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

12BC BF AC AB =+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r

而在等腰△ABC 中，作底边的高CD ，则在Rt △ACD 中由已知边长可得

112cos 24

CAB ∠==，设EF u u u r 与BC u u u r 的夹角为α。 ∴

1||||cos ||||cos 2BC BF AC AB CAB α+?+?∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而1cos 2α=，又0απ<<，∴3

πα=。 40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 重合，若2AB =，30CBD ∠=o ，AD mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v ，

则m n - ＝ .-1 解析：AD mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v 两边分别同乘AC AB ,分别得到 n AC AD m AB AD 4,4=?=?4)()(4-=?+=?=-?CB CD AC CB AD n m

41.在ABC ?中，若I 是其内一点，满足0=?+?+?IC c IB b IA a ，求证：I 为内心证明：)()(0)()(b

AC c AB bc IA c b a AC IA c AB IA b IA a +=++?=++++? b AC c AB IA bc c b a +=++?，注意到b

AC c AB ,是单位向量，则I 在角平分线上，同理可得I 是内心. 42. 已知向量OC OB OA ,,满足条件：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r =2，点P 是?ABC 内一动点，则=?+?+?CP CA BP BC AP AB 18 .

43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的

点D ，若B nO A mO C O ρρρ+=，则n m +的取值范围是（-1,0）

解析：设)1(-<=λλOC OD

B nO A mO

C O ρρρ+=OB n OA m O

D λλ+=?，由于D B A ,,共线

)0,1(1

1-∈=+?=+λλλn m n m

44.如图，AC n AB m AP +=，点P ，则

n m ,满足的条件是___________1>+n m ，0,0>>n m

解析：设AP 与BC 交与点'P ，)1('>=λλAP AP )(1'AC n AB m AP +=λ，1>=+λn m

45. 在△ABC 中，π6A ∠=