2010年中考数学试题分类汇编 - 图形的相似与位似（含详

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2010年中考数学试题分类汇编

图形的相似与位似

1. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”

上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ） Ａ、(?a，?2b)

Ｂ、(?2a，?b) Ｄ、(?2b，?2a)

Ｃ、(?2a，?2b)

【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k, 则坐标之比同侧为k异侧为-k) 【答案】C

2．（2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B

【关键词】相似三角形的判定

3.（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

【答案4】

1.（2010年台湾省）图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中DG与EF

交于H点。若?ABC=?EFC=70?，?ACB=60?，?DGB=40?，则下列哪 A 一组三角形相似？

E

(A) △BDG，△CEF (B) △ABC，△CEF

D (C) △ABC，△BDG (D) △FGH，△ABC 。 H 【关键词】相似

【答案】B

B G F 图(一)

C

3.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）

A.9:16 B. 3:4 C.9：4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B

4. (2010年兰州市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6

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5.（2010辽宁省丹东市）如图，△ABC与△A?B?C?是位似图形，且位似比

是1:2，若AB=2cm，则A?B?? cm，

并在图中画出位似中心O． 【关键词】位似

BAC ′ C【答案】．4（填空2分，画图1分） ′ A BB ′ C ′ A第11题图 O C A′

B ′

第11题图

6．(2010年安徽省芜湖市)如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，

AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是__________m．

【关键词】投影 相似三角形 【答案】1.8

7．(2010重庆市)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的

周长比为_____________.

解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC与△DEF的周长比为2:3 答案：2:3.

8．（2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

【关键词】三角形相似

【答案】4

9.（2010重庆潼南县）12. △ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 .

第14题图 B时

A时

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答案：3：4

10. (2010重庆市潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 . 答案：3:4.

11.(2010年浙江省金华). 如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O 的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. 若

BGBM?3，则

上的一个动点，连

A O D BK﹦ .

E M B K F 【关键词】正方形、相似、切线定理 【答案】或

3153C(第16题G

12.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3

13.. (2010浙江衢州)

如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

解：(1) △ABC和△DEF相似．

C

E

B

P1 A

P2 P3 P4

D P5

F

??2分

根据勾股定理，得 AB?25，AC?5，BC=5 ；

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DE?42，DF?22，EF?210．

ACDF?BCEF?522∵

ABDE?，

??3分 ??1分

∴ △ABC∽△DEF．

(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． △P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．

A P3 C E (第22题) B P1 P2 P4 D ??4分

P5 F

14．（2010江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，

点P与点A重合；当三慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分

米．BC=2.0分米。设AP=ｘ分米.

（1）求ｘ的取值范围；

（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；

（3）设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留?） 【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等

【答案】23.解（1）因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10 所以ｘ的取值范围是0?x?10

（2） 因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．所以CP=6 所以AP=AC-PC=12-6=6

即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米

（3） 连接MN、EF，分别交AC与0、H， 因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形。 所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线

PO?PC2?12?x2?6?0.5x

在RtVMOP中，PM=6，

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MO?PM22222?6?(6?0.5x)?6x?0.25x

又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC。 因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°， 所以VCOM:VCEH，所以MO/EH=CM/CE 所以(MOEM)?(2618)

2所以EH2?9gMO2?9(6x?0.25x2) 所以y??gEH

15.（2010珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC

(2) 若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

2?9?(6x?0.25x)

2

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C

∴△ADF∽△DEC

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4

又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=AD ∵△ADF∽△DEC ∴

ADDE?AFCD2?AE2?(33)?322?6

∴

336?AF4 AF=23

16.(2010年滨州)本题满分8分)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠

ADE．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

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解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE (2)①证△ABC∽△ADE．

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE

又∵∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE． ②证△ABD∽△ACE． ∵△ABC∽△ADE，

AB?ACAE ∴AD又∵∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE

(2010年滨州)15．如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点

M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为

【答案】152

17.（2010日照市）

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE．

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（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ， 即AD是底边BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点

(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE=∠CAD． 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；

（3）证明：由△BEC∽△ADC，知即CD·BC=AC·CE． ∵D是BC的中点，∴CD=

12CDAC?CEBC，

BC．

12 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=即BC2=2AB·CE．

BC ·BC=AB·CE

18.（8分）（2010年浙江省东阳市）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交

BC于E点，AE=2，ED=4. （1）求证: ?ABE～?ABD； (2) 求tan?ADB的值； （3）延长BC至F，连接FD，使?BDF的面积等于83， 求?EDF的度数. 【关键词】图形相似 三角函数 【答案】（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ

又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3

23633BODACEF在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝分

?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３

（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

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19.（2010年四川省眉山市）．如图，Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

连结CC ? 交斜边于点E，CC ? 的延长线交BB ? 于点F． （1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=?，∠CAC ? =?，试探索?、?满足什么关系时，△ACE与△FBE是

全等三角形，并说明理由．

【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定

【答案】（1）证明：∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ?，AB=AB ?，∠CAB=∠C ?AB ? ∴∠CAC ?=∠BAB ?

∴∠ACC ?=∠ABB ?

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE

（2）解：当??2?时，△ACE≌△FBE． 在△ACC?中，∵AC=AC ?， ∴?ACC'?180???CAC'2?180???2?90??? CBC'EFB'A 在Rt△ABC中，

∠ACC?+∠BCE=90°，即90?????BCE?90?， ∴∠BCE=?． ∵∠ABC=?，

∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．

20. （2010年安徽中考）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC

的三边长分别为a、b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1，求证：a?kc；

⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明； ⑶若

b?a1，

c?b1，是A1B1C1使

否存在△ABC和△得k?2？请说明

理由。

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【关键词】三角形相似 【答案】 （1）

证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k?1），∴

aa1?k∴a?ka1

又∵c?a1，所以a?kc

（2）取a=8,b=6,c=4，同时取a1?4,b1?3,c1?2 此时

aa1?bb1?cc1?2∴?ABC??A1B1C1且c?a1

（1）

不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：

若k=2，则a?2a1,b?2b1,c?2c1 又∵b?a1，c?b1， ∴a?2a1?2b?4b1?4c ∴b=2c

∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a

故不存在这样的△ABC和△A1B1C1使得k?2。

21、（2010年宁波）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G。

（1）求?DCB的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF?，记直线EF?与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标。 y D ? 解：（1）60E F A O （图1）

B x G C E F A O y D G H F? y C E x A O （图3）

B x D C 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 B （图2）

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（2）（2，23）

（3）①略

②过点E作EM⊥直线CD于点M ∵CD∥AB

∴?EDM??DAB?60? ∴Em?DE?sin60??2?∵S?EGH?12?GH?ME?1232y ?3 3?33

ＭD E A O （图3）

B C ?GH?∴GH?6 ∵△DHE∽△DEG ∴

DEDG?DHDE2x 即DE?DG?DH

当点H在点G的右侧时，设DG?x，DH?x?6

∴4?x(x?6) 解：x1??3?13?2?13?1

∴点F的坐标为（?13?1，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设DG?x，DH?x?6 ∴4?x(x?6) 解：x1?3?13，x1?3?13（舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴AF?DG?3?13 ∵OF?AO?AF?3?13?2?∴点Ｆ的坐标为（?13?5，0） 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是F1（?13?1，0），F2（?13?5，0）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/safg.html