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第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1 集合的含义与表示（第一课时）

教学时间：2004年8月26日星期四教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义

教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题

（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？

问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。

复习问题问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式x?7?3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课

1．集合含义观察下列实例（1）1~20以内的所有质数；（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x?3x?2?0的所有实数根；（8）银川九中2004年8月入学的高一学生全体。通过以上实例，指出：（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c?表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？

2. 集合元素的三个特征

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问题：（1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？（2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？（3）A={2，2，4}，表示是否准确？（4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性：

设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者

不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元

素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合

元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于?”及“不属于?两种) 若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a?A；若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。如A={2，4，8，16}，则4?A，8?A，32?A.(请学生填充)。

（2）互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素.

说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为?1,-2

?,而不是?1,1,-2

（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 3.常见数集的专用符号 N：非负整数集（自然数集）. N*或N+:正整数集，N内排除0的集. Z: 整数集 Q：有理数集. R：全体实数的集合。（III）课堂练习

1.课本P2、3中的思考题 2.补充练习： (1) 考察下列对象是否能形成一个集合？ ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体 ⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题 (2) 给出下面四个关系:3?R,0.7?Q,0?{0},0?N,其中正确的个数是:( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (3) 下面有四个命题: ①若-a?Ν,则a?Ν ②若a?Ν,b?Ν,则a+b的最小值是2 2③集合N中最小元素是1 ④ x+4=4x的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 （IV）课时小结 1.集合的含义；

2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性

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可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

3.常见数集的专用符号. （V）课后作业一、书面作业

1. 教材P13，习题1.1 A组第1题 2. 由实数-a, a, a,a2, -5a5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么? 3. 求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? 4. 若1?t?{t},求t的值. 1?t二、预习作业

1. 预习内容：课本P4—P6 2.预习提纲：

（1）集合的表示方法有几种？怎样表示，试举例说明. （2）集合如何分类，依据是什么？

教学后记

1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）

教学时间：2004年8月27日星期五教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.

2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描

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述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）

教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解教学方法：尝试指导法和讨论法教学过程：

（I）复习回顾

问题1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明. 问题2：集合与元素关系是什么？如何表示？问题3：常用的数集有哪些？如何表示？（II）引入问题

问题4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5,

方法1:

4.8,1,+73,3.1, 31,+73,3.1 32 方法2: {4.8,2,

1,+73,3.1} 3 问题5：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3） (III) 讲授新课一、集合的表示方法

问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明： (1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； (2)一般不必考虑元素之间的顺序； (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；例1．用列举法表示下列集合： (1) 小于5的正奇数组成的集合； (2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； (3) 从51到100的所有整数的集合； (4) 小于10的所有自然数组成的集合； (5) 方程x?x的所有实数根组成的集合； (6) 由1~20以内的所有质数组成的集合。问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。

2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性

描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。

说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示； 2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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(2)应防止集合表示中的一些错误。如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示R。例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x-x-2>0的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; 2(3) 抛物线y=x上的点; 2(4)抛物线y=x上点的横坐标; 2(5)抛物线y=x上点的纵坐标;

例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

2 （1）方程x?2?0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。合的分类

例4．观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x?R∣0

由此可以得到 ?有限集:含有有限个元素的集合?集合的分类?无限集:含有无限个元素的集合

?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

表示任意一个集合A 表示{3，9，27}

说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.

(IV)课堂练习

1.课本P4思考题和P6思考题及练习题。.

2.补充练习 ?x?y?2a.方程组 ? 的解集用列举法表示为________；用描述法表示?x?y?5欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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为 . b. {(x,y) ∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 . c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){x∣x为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6}; d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),?}; e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集? (1){2,4,6,8,?}; (2){x∣1

1.书面作业：课本P13习题1.1 A组题第2、3、4题。 2.预习作业:

(1)预习内容：课本P6—P8； (2)预习提纲：

a.集合A和集合B具有什么关系，就能说明一个集合是另一个集合的子集. b.一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么？

教学后记

1.1.2 集合间的基本关系（共1课时）

教学时间：2004年8月28日星期六教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.理解子集、真子集概念；

2.会判断和证明两个集合包含关系；

3.理解“? ”、“?”的含义； ≠

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4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念

教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算教学方法：讲、议结合法教学过程：

（I）复习回顾

问题1：元素与集合之间的关系是什么?

问题2：集合有哪些表示方法?集合的分类如何?

（Ⅱ）讲授新课观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. （5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生}。通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有： 1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B（或B?A）,即若任意x?A,有x?B，则A?B(或A?B)。这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B（或B?A），即:若存在x?A,有x?B，则A?B(或B?A) 说明：A?B与B?A是同义的，而A?B与B?A是互逆的。规定:空集?是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有??A。例1．判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0}， B={y|y2-3y+2=0}; (6) A={1,3}， B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1}， B={x|x2-1=0}; （8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？ ?集合A与集合B的元素完全相同，从而有： 2.集合相等定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即A?B），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B?A），则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，m?Z}，B={x|x=2n-1，n?Z}，此时有A=B。问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）（2）除去?与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A） 3.真子集：

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由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A?A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A?B，而且A?B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的

真子集（proper subset），记作A? B。（空集是任何非空集合的真子集） ≠

(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；对A? B，B? C，同样有A? C, ≠≠≠即：包含关系具有“传递性”。 4.证明集合相等的方法：

（1）证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）（2）分别证明A?B和B?A即可。（抽象情况）

对于集合A，B，若A?B而且B?A，则A=B。（III）例题分析：例2．判断下列两组集合是否相等？（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数} 例3．(教材P8例3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 例4．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 (IV) 课堂练习 1. 课本P8，练习1、2、3; 2. 设A={0，1}，B={x|x?A}，问A与B什么关系？ 3. 判断下列说法是否正确？（1）N?Z?Q?R；（2）??A?A；（3）{圆内接梯形}?{等腰梯形}；（4）N?Z；（5）??{?}；（6）??{?} 4.有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。（V）课时小结

1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素）。

2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；

4. 注意区别“?”与“?”的不同涵义。（?与{?}的关系）（VI）课后作业

1. 书面作业

(1)课本P13，习题1.1A组题第5、6题。

(2)用图示法表示（1）A?B （2）A?B 2. 预习作业

(1)预习内容：课本P9—P12 (2)预习提纲：

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（1）并集和交集的含义及求法。

（2）求一个集合的补集应具备条件是什么？（3）能正确表示一个集合的补集。.

教学后记

1.1.3 集合间的基本运算（共1课时）

教学时间：2004年8月30日星期一教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作

用；

4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。

教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用。

教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算教学方法：发现式教学法教学过程：

（I）复习回顾

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问题1: (1)分别说明A?B与A=B的意义；

(2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示；

（II）讲授新课

问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系?

图1—5（1）给出了两个集合A、B；图（2）阴影部分是A与B公共部分；图（3）阴影部分是由A、B组成；图（4）集合A是集合B的真子集；图（5）集合B是集合A的真子集；

指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有：

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。如上述图（3）中的阴影部分。 2.交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}。如上述图（2）中的阴影部分。 3.一些特殊结论由图1—5（4）有: 若A?B,则A∩B=A；由图1—5（5）有: 若B?A,则A?B=A；特别地，若A，B两集合中，B=?，,则A∩?=?, A??=A。 4.例题解析 (师生共同活动) 例1．设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。 [涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图1—6) 解：在数轴上作出A、B对应部分如图A∩B={x|x>-2} ∩{x|x<3}={x|-2

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解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。例5．设A={x|-1

例7、例8见教材P12例8、例9。

补充例题：解答下列各题：（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2} ； (2)若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形} ；（3）若S={1，2，4，8}，A=?，则CSA= S ；（4）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=-1?5 ； (5)已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B={1，4}； (6)设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；（m= - 4或m=2）（7）已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m；（答案：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6） (8).已知全集U=R,集合A={x|0

(1)课本P12练习1—5； (2)补充练习：

1．已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B。[A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}]

2．已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；

A 3个 B 4个 C 6个 D5个

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3．设集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若B??, 且B?A, 求a, b的值。 (IV) 课时小结

1．在并交问题求解过程中，充分利用数轴、文恩图。 2．能熟练求解一个给定集合的补集；

3．注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:CU(CUA)=A) (V)作业 1．书面作业课本P14，习题1.1A组题第7~12题。 2．复习作业: 课本P14，习题1.1B组题及后面的“阅读与思考”——集合中元素的个数。教学后记

注：根据配套练习上一节习题课。（2004年8月31日星期二）

§1．2函数及其表示

1.2.1 函数的概念（共两课时）

教学时间：2004年9月2日星期四教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。

教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。教学难点：函数概念的理解。教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：

（Ⅰ）引入问题

问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。

（Ⅱ）函数感性认识

教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集A?{x0?x?26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B?{h0?h?845}，对应关系h?130t?5t （*）。从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。

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例子（2）中数集A?{t1979?t?2001}，B?{S0?S?26}，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。例子（3）中数集A?{1991,1992,?,2001},B?{53.8,52.9,?,37.9(%)}，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。（III）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f:A?B。（IV)理性认识函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y?f(x),x?A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合

{f(x)x?A}叫做函数的值域(range)。

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=2+3×2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。（2）定义域是自变量x的取值范围；

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x(x?R)与y=x(x>0)； y=1与y=x

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x，此函数的定义域为x>0,

而不是x?R。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。 (V)区间的概念

设a、b是两个实数，且a

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（4）满足不等式a?x?b的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为?a,b?；说明：① 对于?a,b?，?a,b?，?a，b?，?a,b?都称数a和数b为区间的端点，其中a为左

端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3

④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x?a, x>a, x?b, x

（3）当a>0时，求f(a),f(a?1)的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式y?f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）

例2．求下列函数的定义域。

??x?3?1，（教材第20页例1） x?22311f(x)?x?1?（1）f(x)?；(2)f(x)?x?4?x?2；(3) 2?x(1?2x)(x?1)分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定

义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

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（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P21例2）

(1) y=(x); (2) y=; (3) y=3x3; (4)y=x2.

分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，

这两个函数才算相同。（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3。课时小结：

本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。课后作业

1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。 2、预习作业：

（1）预习内容：课本P22—P23；（2）预习提纲：

a.函数的表示方法分别有哪几种?

c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；

教学后记

1.2.2 函数的表示方法（第一课时）

教学时间：2004年9月4日星期六教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.进一步理解函数的概念；

2.使学生掌握函数的三种表示方法；

教学重点：函数的表示方法

教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法

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教学过程：

（Ⅰ）引入问题

1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？

?x2?2(x?2)3．设函数f(x)??，则f(?4)? ，若f(x0)?8，则x0= 。

?2x(x?2)（II）讲授新课

函数的三种表示方法

（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：

如y?3x2?2x?1,S??r2,C?2?r,S?6t2等。

量间的关系；?简明，全面地概括了变优点：?

意一个自变量所对应的函数值；?可以通过解析式求出任（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：

如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：

如：

优点：直观形象地表示自变量的变化。（III）例题分析：

例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（x?{1,2,3,4,5}个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数y?f(x)。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数y?f(x)表示为

y?5x，x?{1,2,3,4,5}。

用列表法可以将函数y?f(x)表示为笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 图象法略。说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分

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表。

王伟张城赵磊班级平均分第一次 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。（IV）课堂练习：课本P27练习1、2。（V）课时小结：

本节课我们学习了函数的表示方法。（VI）课后作业

1、书面作业：课本P28习题1.2第5、6、7、8、9题。 2、预习作业：

（1）预习内容：课本P24-P25；

（3）预习提纲：

a.什么叫分段函数?分段函数是否为一个函数？ b.如何画分段函数的图象？

教学后记

1.2.2 函数的表示方法（第二课时）

教学时间：2004年9月6日星期一教学班级：高一(11、12)班

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教学目标：1.进一步理解函数的概念；

2.使学生掌握分段函数及其简单应用。

教学重点：分段函数的理解

教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：

（Ⅰ）引入问题

1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？

2．如何作出函数y?x的图象？（II）讲授新课

例1．作出函数y?x的图象和y?x?1的图象，并分别求出函数的值域。

注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160分；依次类推，每封xg(0?x?100)的信函付邮资为：

?80(x??0,20?)?160(x??20,40?)?? y??240(x??60,80?), 画出这个函数的图象。

?320(x??60,80?)???400(x??80,100?)说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数

称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。

例3．（教材P24例6）

例4．作出下列各函数的图象：

?1?x2?2x(x?0)?(0?x?1)（1）f(x)??x；（2）f(x)??2

?x?2x(x?0)???x(x?1)对第（2）小题的函数，试根据a的取值讨论方程f(x)?a的根的个数问题。

练习：

?x?2(x??1)?21．在函数f(x)??x(?1?x?2)中，若f(x)?3，则x的值为。

?2x(x?2)??x?1(x?0)?2．已知f(x)???(x?0)，则f{f[f(?1)]}= 。

?0(x?0)?作业：课本P28习题1.2第10、11、12、13题。

1.2.2 函数的表示方法（第三课时）

教学时间：2004年9月7日星期二教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；

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2.使学生了解象、原象的概念；

3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；

4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

教学重点：映射、一一映射的概念教学难点：映射、一一映射的概念教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾

1：前面学习的元素与集合的关系“∈”、“?”，集合与集合的关系“?”、“? ”“?”； ≠2：在初中学过一些对应的例子（投影1）；（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。（II）讲授新课 1. 映射的概念

a.观察下列对应（投影2）：（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）

（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）问题1：这四个对应的共同特点是什么？对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在集合B中都有确定的元素和它对应。问题2：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么共同特点？

这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。 b.映射的定义一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则?，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：A→B 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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由此定义：（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。

（2）f: x?sinx; (3)f: x?x; (4)f: x?2x c.象，原象的概念给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；

（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；

（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象（如图（3））；例：“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中的元素在A中可以没有原象（如图（4）），即使有也可以不唯一（如图（3））；（5）A={原象}，B?{象}。

d.例题分析：

例：判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由（投影3）。（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。f:x?2x?1; （2）设A=N*，B={0，1}，f:x?x除以2得的余数；（3）设A={1，2，3，4}，B={1，111,，}，f:x?x取倒数； 234（4）设A={(x,y)x?2,x?y?3,x?Z,y?N}，B={0,1,2}，f:(x,y)?x?y; 2.一一映射的概念问题3：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么不同特点？分析：（3）是多对一（即多个元素有同一个象）；

（4）是一对一（但B中有的元素在A中没有原象）；（2）是一对一（且B中所有元素在A中都有原象）；再观察下图：(投影4)

由此有： “一一映射”的定义：一般地，一个映射f：A→B，若满足： a. 对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(单射) 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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b. 集合B中每一个元素都有原象；（满射）那么这个映射叫做A到B上的一一映射。例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？注意：（1）一一映射是一种特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映射定义解释）；（2）若在映射f：A→B中，象的集合C≠B ，则映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。（想一想为什么不充分？）

（因为映射f：A→B未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：A→B可能是多对一的情形。）

（III）课堂练习：课本P27练习4。（IV）课时小结：

本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。（V）课后作业：

1、书面作业：课本P29，习题1.2A组题第14题及第二教材相关题目。 2、预习作业：

（1）预习内容：课本P32—P35；（2）预习提纲：

a.函数单调性的定义是什么? b.怎样证明函数的单调性？

教学后记

§1．3函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）

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教学时间：2004年9月9日星期四教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数单调性的概念

教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾

1.函数有哪几个要素？

2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？

3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？

4.区间的表示方法.

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。（II）讲授新课

1.引例：观察y=x的图象，回答下列问题（投影1）

问题1：函数y=x的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

?随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？

?设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

结论：这时，说y1= x在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有： 2.定义：（投影2）一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（III）例题分析

例1.下图是定义在闭区间??5,5?上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

问题3：y=f(x)在区间??5,?2?，?1,3?上是减函数；在区间??2,1?，?3,5?上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？

分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：设任意x1、x2∈R，且x1

分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x1

c.判断上述差的符号； d.下结论。

例3．教材第34页例2。

（IV）课堂练习课本P35 “探究题”和P38练习1—3

注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。（V）课时小结

本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。（VI）课后作业

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1、书面作业：课本P45习题1.3A组题1、2、3、4题。 2、预习作业：

（1）预习内：容函数的最大值与最小值（P35—P38）；（2）预习提纲：

a.函数最大值与最小值的含义是什么？

b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？

1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时）

教学时间：2004年9月13日星期一教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；

2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；

3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义教学难点：单调函数最值的求法教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾

1．函数单调性的概念； 2．函数单调性的判定。（II）讲授新课

通过观察二次函数y?x2和y??x2的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）

1．函数最大值与最小值的含义

一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。

那么，我们称M是函数y?f(x)的最大值（maximum value）.

思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y?f(x)的最小值（minimum value）吗？ 2．二次函数在给定区间上的最值

2对二次函数y?ax?bx?c(a?0)来说，若给定区间是(??,??)，则当a?0时，函

4ac?b24ac?b2数有最小值是，当a?0时，函数有最大值是；若给定区间是[a,b]，则

4a4a必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。

3．例题分析

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例1．教材第36页例题3。例2．求函数y?2在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。 x?1分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。变式：若区间为[?6,?2]呢？

例3．求函数y?x2?1在下列各区间上的最值：

（1）(??,??) （2）[1，4] （3）[?6,?2] （4）[?2,2] （5）[?2,4] 练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。作业：教材第45页习题1.3 A组题第6、7、8题。

1.3.2 奇偶性

教学时间：2004年9月14日星期二教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；

3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。

教学重点：函数奇偶性的概念

教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾

1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？

轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转180?，能够与另一图形重合）

这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。（II）讲授新课 1.偶函数

（1）观察函数y=x的图象（如右图）

①图象有怎样的对称性？?关于y轴对称。 ②从函数y=f(x)=x本身来说，其特点是什么？

?当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)； f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)； ??

由于（-x）=x ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x的图象上的任一点,那么,与它关于

111111f(?)?，f()?，即f(?)?f()。 242422欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x的图象上，这时，我们说函数y=x是偶函数。（2）定义：一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。例如：函数f(x)?x2?1,f(x)?2

2,f(x)?x等都是偶函数。 2x?112.奇函数

（1）观察函数y=x的图象（投影2）

①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

?也是一对相反数。

②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性

呢？?函数的图象关于原点对称。即如果点（x,y）是函数y=x的图象上任一点，那么与

它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x的图象上，这时，我们说函数y=x是奇函数。（2）定义

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。例如：函数f(x)?x,f(x)?3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。（III）例题分析例1.判断下列函数的奇偶性。 3422（1）f(x)=x+2x; (2) f(x)=2x+3x; (3) f(x)=x+2x+5; (4) f(x)=x,x??0,???; (5) f(x)=2f(?x)??f(x)1都是奇函数。 x11; (6) f(x)=x+; xx分析：① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；

②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 ???是增函数。证明y=f(x)在???，0?上也例2.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在?0，是增函数。欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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证明：设x1-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。 ∴f(-x1) >f(-x2),又f(x)在R上是奇函数。 ∴-f(x1)> -f(x2),即f(x1)< f(x2).

∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。

变题：已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在?0，证明y=f(x)在???，???是减函数。0?上也是减函数。结论：由例2可有：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（IV）课堂练习：课本P41思考题和P42练习1，2 （V）课时小结

本节课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功；对于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。（VI）课后作业

书面作业：课本p46习题1.3 A组题第9、10题和B组题第1、2题。

实习作业

一、实习目的

1．了解函数形成、发展的历史。 2．体验合作学习的方式。二、操作建议

1．选题，根据个人兴趣初步确定实习作业的选题范围。 2．分组，3—6人为一个实习小组，确定一个人为组长。

3．分配任务，根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每个人的具体任务。 4．搜集资料，针对具体实习题目，通过各种方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料。

5．素材汇总，用实习报告的形式展现小组的实习成果。 6．全班范围的交流、讨论和总结。三、参考选题

1．函数产生的社会背景。 2．函数概念发展的历史过程。 3．函数符号的故事。 4．数学家与函数。

众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹和欧拉等。可以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。

四、参考途径

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1．相关书籍梁宗巨，《世界数学通史》，辽宁教育出版社。吴文俊，《世界著名科学家传记》，科学出版社。（日）权平健一郎，《函数在你身边》，科学出版社。 2．相关网页 www.pep.com.cn.

五、实习报告的参考形式

参考以下的实习报告形式，设计一个实习报告。

实习报告

年月

日题目正文备注组长及参加人员第二章基本初等函数（Ⅰ）指导教师审核意见

§2．1指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）

教学时间：2004年9月20日——9月22日教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：

第一课时：9月20日星期一（I）复习回顾引例：填空

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n（n?N*)； a=1（a?0)； a（1）a?a?a?0?n???????n个a?1(a?0,n?N*) na (2)a?a?amnm?n (m,n∈Z)； (am)n?amn (m,n∈Z)； (ab)n?an?bn (n∈Z) （3）9?_____； -9?_____；（4）(a)2?_____( a?0)； a2?________（II）讲授新课 1.引入：

0?______ （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为a?a可看作a?a所以a?a?amnm?nmnm?n,

可以归入性质a?a?amnm?nm?n；又因为()可看作a?a，所以

abnanan()?n可以归入性质(ab)n?an?bn(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质bb做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（n?N*）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 2=4 ，（-2）=4 ? 2，-2叫4的平方根 332=8 ? 2叫8的立方根；（-2）=-8?-2叫-8的立方根 52=32 ? 2叫32的5次方根 ? 2n=a ?2叫a的n次方根 22分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32

的5次方根，类似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n?1，且n?N。问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x?na是否正确？分析过程：例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为(?2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；

6n?因为(a2)3?a6，所以a是a的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为x?na。从而有：327?3，5?32??2，3a6?a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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解：因为2?16，(?2)4?16，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：?na(a?0) 其中na表示a的正的n次方根，?na表示a的负的n次方根。例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。结论3：0的n次方根是0，记作n0?0,即na当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书）

n??a,n?2k?1na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 x??(k?N*) 其中 n???a,n?2kn4注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ①，结果仍为被开方数。（na）?a，即一个数先开方，再乘方（同次）

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求3(?2)3 ， 525 ， 434 ， (?3)2 由所得结果，可有：（板书） n②a??nn?a,n为奇数；?|a|,n为偶数

性质的推导如下：

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性质①推导过程：当n为奇数时，x?na,由xn?a得(na)n?a 当n为偶数时，x??na,由xn?a得(na)n?a 综上所述，可知：(na)n?a 性质②推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：a?nan 当n为偶数时，由n次方根定义得：a??nan 则|a|?|?nan|?nan 综上所述：(na)n???a,n为奇数?|a|，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III）例题讲解例1．求下列各式的值： 32434 （4）(a?b)2（a>b）（1）（－8）（2）（－10）（3）（3－?）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值

(1)5?32 (2)(?3)4 (3)(2?3)2 (4)5?26 （IV）课时小结通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。（V）课后作业 1、书面作业：

a.求下列各式的值 3（1）－27 (2)a62 (4)(（3）（?－4）x?12) 3?xb.书P69习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。 b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？第二课时：9月21日星期二（I）复习回顾 1.填空

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5（1）3?64?______, （2）481?______,32?_______；?481?______； 312（3）(43)4?______, (4)5a10?_____, (56)5?______；a?_______；5（5）5（?2）?___,7(?3)7?_____；（6）6(?4)6?____,454?______. （II）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解： ?(a2)5?a10,?5a10?a2；也可根据n次方根的性质来解：5a10?5(a2)5?a2。

问题1：观察5a10?a2,4a12?a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

?a510?a105?a,a2412?a123即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，?a4，

根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：a?a是否可行？

2323分析：假设幂的运算性质(a)?amn23mn对于分数指数幂也适用，那么(a)?a2

2332?33?a2，这

说明a也是a2的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），于是a?a。这说明a?a可行。

22323323由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>

a?nam(a?0,m,n?N*,且n?1)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？分析：正例：(?8)?反例：(?8)?124n

mn133?8??2,5(?2)2610?(?2)105?(?2)?4,(?2)?3(?2)2等等；

22313312?8??2,(?8)?6(?8)2?2,而实际上?；又如：

36434124（?8）?（?8）?（?8），（?8）?4812?4（83）?83。这样就产生了混乱，因此

12“a>0”这个限制不可少。至于(?8)?为分数指数幂，

133?8??2，这是正确的，但此时(?8)不能理解

1312不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而36欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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5那是因为(?2)10?210,(?2)2?22，负号内部消化了。 (?2)5?(?2),(?2)?3(?2)2，

10523问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>

a?mn?1amn(a?0,m,n?N*,且n?1)

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

aras?ar?s(a?0,r,s?Q)； (ar)s?ars(a?0,r,s?Q) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q)

(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用

mnmn(an)?an??am来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定ap(p?0,p是无理数）的意义：

① a表示一个确定的实数；

② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解（投影2）

1－316－3100，（），（）4 例2．求值：8，481－2312分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

1＝10－1＝；10解： 33－4?（－）1－31622－327－3（－2）?（－3）（）＝（2－2）＝2＝26＝64；（）4＝（）4＝（）＝。4813388＝（2）＝233?232323＝2＝4；100＝（10）＝1022－12－1212?（－）2例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： a2?a,a3?3a2,aa(式中a?0) 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。解：

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122?122352a?a?a?a?a33232322?a;?a;

34113a?a?a?a?a11223?aa?(a?a)?(a)?a.（IV）课堂练习

课本P63练习：1、2、3、4 （V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。（V）课后作业

1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4. 2、预习作业

（1）预习内容：课本P61例题5。（2）预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

教学后记

第三课时：9月22日星期三

教学目标

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。教学难点：化简、求值的技巧教学方法：启发引导式教学过程（I）复习回顾

1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念有理指数幂运算性质 mn3122a?nam aa?arsr?s(a?0,r,s?Q)； a?mn?nam＝1nam (a)?a(a?0,r,s?Q) rrrrsrs (a?0,m,n?N*,且n?1) (ab)?ab(a?0,b?0,r?Q) 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚

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2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） 5a2

14x

x6x (a)3

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

(1)(2ab)(?6ab)?(?3ab); (2)(mn?). 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。 23121213165614388(1)(2ab)(?6ab)?(?3ab)解：?[2?(?6)?(?3)]a211??326231212131656(2)(mn)14814388?383b115??236 ?(m)(n)3?3 ?4ab0?4a;m2?m?n?3n 例2．计算下列各式： (1)a2a3a2(a?0); (2)(325?125)?45 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。解： a?3a2 5 ?a6?6a5;例3．求值：

(1)a2?a12232?a122??23(2)(25?125)?5?(5?5)?5?5?5?5?5?5512542314321421?34 34233214a?a?531?24?5?5?1255?545.(1)5?26?7?43?6?42;(2)23?31.5?612 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

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解： (1)5?26?7?43?6?42?(3)2?23?2?(2)2?22?2?23?(3)2?22?2?22?(2)2?((3?2))2?(2?3)2?(2?2)2?|3?2|?|2?3?|?|2?2|?3?2?2?3?(2?2)?22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。113236(2)23?31.5?612＝2?3?（）?（3?2）212 ＝2111－＋33?3111＋＋236＝2?3＝6要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。（III）课堂练习计算下列各式：

131－34（1）16－（）－（）162 4（2）[?5?3?()0]?215要求：学生板演练习，做完后老师讲评。（IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。（V）课后作业第二教材有关题目

122.1.2 指数函数及其性质（第一课时）

教学时间：2004年9月23日星期四教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1、理解指数函数的概念

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2、根据图象分析指数函数的性质

3、应用指数函数的单调性比较幂的大小教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：底数a对函数值变化的影响教学方法：学导式（一）复习：（提问）引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个??1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是：y?2x．

这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。（二）新课讲解： 1．指数函数定义：

一般地，函数y?ax（a?0且a?1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．练习：判断下列函数是否为指数函数。

①y?x2 ②y?8x ③y?(2a?1)x（a?

1且a?1）④y?(?4)x 2⑤y??x ⑥y?52x2?1 ⑦y?xx ⑧y??10x．

2.指数函数y?ax（a?0且a?1）的图象：

例1．画y?2x的图象（图（1））．

解：列出x,y的对应表，用描点法画出图象

x … y?2x …

-3 0.13 -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.4 1 2 1.5 2.8 2 3 4 8 … … 1y?()x

2y?2x

x … -3 1y?()x … 8 21x例2．画y?()的图象（图（1））．

2-2 -1.5 -1 -0.5 4 2.8 2 1.4 图（1） 0 1 0.5 1 1.5 2 3 … 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 … 1x2说明：一般地，函数y?f(x)与y?f(?x)的图象关于y轴对称。

x3．指数函数y?a在底数a?1及0?a?1这两种情况下的图象和性质：

a?1 0?a?1 x指出函数y?2与y?()图象间的关系？

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图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,??) （3）过点(0,1)，即x?0时y?1 （4）在R上是增函数（4）在R上是减函数 (1),(f3)? 例3．已知指数函数f(x)?ax(a?0,a?1)的图象经过点(3,?)，求f(0),f的值（教材第66页例6）。

例4．比较下列各题中两个值的大小：

2.53 (1)1.； 7 (2)0.8?0.1,0.8?0.2 (3)1.70.3,0.93.1 7,1.（教材第66页例7）

小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；练习：教材第68页练习1、3题。

作业：教材第69页习题2。1A组题第6、7、8题

2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）

教学时间：2004年9月24日星期五教学班级：高一(11、12)班

教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；

2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域； 3.掌握比较同底数幂大小的方法； 4. 培养学生数学应用意识。

教学重点：指数函数性质的运用教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）

1．指数函数的概念、图象、性质 2．练习：

（1）说明函数y?4?x?32x图象与函数y?4图象的关系；

图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式

?x（2）将函数y?()是；

13（3）画出函数y?()的草图。

（二）新课讲解：

例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画

出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

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分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y.

经过1年，剩留量y=1×84%=0.84；

经过2年，剩留量y=1×84%=0.84； ??

一般地，经过x年，剩留量y?0.84x，根据这个函数关系式可以列表如下：

x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35 用描点法画出指数函数y?0.84x的图象。从图上看出y?0.5，只需x?4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2．说明下列函数的图象与指数函数y?2的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）y?2x?1x；（2）y?2x?1xx?2．

解：（1）比较函数y?2与y?2的关系：

y?2?3?1与y?2?2相等，

?2?1?1 y?2与y?2相等， y?22?1与y?23相等，

……

由此可以知道，将指数函数y?2x的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y?2x?1的图象。（2）比较函数y?2x?2与y?2x的关系：

y?2?1?2与y?2?3相等， y?20?2与y?2?2相等，

y?23?2与y?21相等， ……

由此可以知道，将指数函数y?2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y?2x?2的图象。说明：一般地，当a?0时，将函数y?f(x)的图象向左平移a个单位得到y?f(x?a)的图象；当a?0时，将函数y?f(x)的图象向右平移|a|个单位，得到y?f(x?a)的图象。

练习：说出下列函数图象之间的关系：（1）y?11?x?x?a22与y?；（2）y?3与y?3；（3）y?x?2x与y?x?2x． x?1x

例3．求下列函数的定义域、值域：（1）y?812x?1ax?11x?x(a?0,a?1)．（2）y?1?() （3）y?3 （4）y?x a?1211 原函数的定义域是{xx?R,x?}， 22解：（1）?2x?1?0 ∴x? 令t?1 则t?0,t?R 2x?1t ∴y?8(t?R,t?0)得y?0,y?1，

所以，原函数的值域是{yy?0,y?1}．

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（2）?1?()?0 ∴x?0 原函数的定义域是?0,???，

xx 令t?1?()(x?0) 则0?t?1， ?y?t在?0,1?是增函数 ∴0?y?1，

1212 所以，原函数的值域是?0,1?．（3）原函数的定义域是R，

令t??x 则t?0， ?y?3t在???,0?是增函数， ∴0?y?1，所以，原函数的值域是?0,1?．（4）原函数的定义域是R，

ax?1y?1(a?0,a?1)得ax??由y?x， a?1y?1y?1?ax?0 ∴??0， ∴?1?y?1，所以，原函数的值域是??1,1?．

y?1说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；

2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。