浙江省温州市第十二中学：3.2 圆的轴对称性(2)教案（浙教版九年

教学目标

1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能

力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.

教学重点和难点

垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点. 教学方法：类比 启发 教学辅助：投影片 教学过程：

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：

题设 结论 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.

提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点. 求证：CD⊥AB，.

分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD. 证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB， 又因为CD是直径，所以

2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得： (2)若选①④为题设，可得：

以上两个命题用投影打出，引导学生自

最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即 可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影 打出其它六个命题：

3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三 个命题，教师板书出垂径定理的推论1.

推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2.

在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37) 学生答

接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)

证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，

最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论： 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 三、应用举例，变式练习

练习按图3-15，填空：在⊙O中

(1)若MN⊥AB，MN为直径；则 ， ， ；

(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则 ， ， ； (3)若MN⊥AB，AC＝BC，则 ， ， ； 此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论. 例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米) 首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同 时也可激发学生学习数学的兴趣. 关于赵州桥的说明：

赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、

(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约

为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，

大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.

分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题 ，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解. 解题过程，参考课本.

对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.

说明：此题的解题思路是，经 可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长 、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种 思考方法今后要经常用到. 四、师生共同小结

问：这节课我们学习了哪些主要内容?

在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15. 指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则

(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.

(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO性质.

通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力. 六、布置作业

板书设计：

定理1 ： 例3 解： 定理2 ：

练习 练习

教学反思：

本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。

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