线性代数公式大全——最新修订(突击必备)

线代公式

线性代数公式大全——最新修订

1、行列式

1. 个元素，展开后有n!项，可分解为22. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij ( 1)4. 设

将将将

i j

n行列式共有n

2

n

行列式；

AijAij ( 1)

n(n 1)

i j

Mij

n行列式D

DD

：

上、下翻转或左右翻转，所得行列式为

D1，则D1 ( 1)

2

D；

2

n(n 1)

顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为主对角线翻转后（转置），所得行列式为

D2，则D2

( 1)D；

D

D3，则D3 D；

；

将D主副角线翻转后，所得行列式为

D4，则D4 D

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n 1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)

2

；

③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积；

n(n 1)

④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1)

A

OB

2

；

C

AO OB

AC ( 1)

m n

⑤、拉普拉斯展开式：C

AO

C

AB、BB

AB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n阶行列式

式；

7. 证明A 0的方法：

①、A A； ②、反证法；

n

A，恒有： E A

n

k 1

( 1)Sk

kn k

，其中Sk为k阶主子

线代公式

③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A) n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A

是

n阶可逆矩阵：

A 0（是非奇异矩阵）；

r(A) n（是满秩矩阵）

A

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax 0有非零解；

b R，Ax b总有唯一解；

n

A

A

A

T

与

E

等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0；

AA是正定矩阵；

A

A

的行（列）向量组是R是R

n

n

的一组基；

中某两组基的过渡矩阵；

2.

*AAn对于阶矩阵A：

AA AE 无条件恒成立；

*

3. (A) (A)

T

T

1** 1T

(A) (A)(AB) BA

*

*

*

1TT 1

(A) (A) (AB)

1

*TT*

(AB) BA

BA

1 1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1 A

A2

As

若，则：

Ⅰ、A A1A2 As；

A1 1

； 1 As

Ⅱ、

A

1

A2

1

线代公式

A②、 O

O③、 B

A④、

O A⑤、

C

O B

A O

C B O B

1

A 1 O

O 1

A

O

1 ；（主对角分块） B

B

；（副对角分块） O

1

1

1

1

1

A 1 O

ACB

B

1

；（拉普拉斯）

1

1

A 1 1

BCA

O

1 ；（拉普拉斯） B

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个

m n

矩阵

A

，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

Er

F

OO ； O m n

等价类：所有与的矩阵；

A

等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单

对于同型矩阵A、B，若r(A) r(B) A B；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

r

①、

若(A , E) (E , X)，则

A

可逆，且X A

1

；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当

c

A

变为E时，

B

就变成A

1

B，即：

(A,B )(E,A

1

B；)

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

1

逆，且x Ab；

b，如果(A,b) (E,x)，则A可

r

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、

2

，左乘矩阵 n

A，

i乘A的各行元素；右乘， 乘A的

i

各列元素；

线代公式

(,)③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且Eij

Eij(,)

1

1，例如：

1

1

1

1

1

1

；

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且

1

1

1

E(i(k) )

1

1

(i())如：，例k

k

1

1k

(k 0)

；

1

1

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))

1

k 1

1

E(ij( k))，如：

1

1

1

k

(k 0) ； 1

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0

r(Am n) min(m,n)；

T

②、r(A) r(A)；

③、若A B，则r(A) r(B)； ④、若阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B)) r(A,B) r(A) r(B)；（※） ⑥、⑦、

P

、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩

r(A B) r(A) r(B)；（※）

r(AB) min(r(A),r(B))；（※）

m n

矩阵，B是n s矩阵，且AB 0，则：（※）

⑧、如果A是

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A) r(B) n

⑨、若

A

、

B均为

n阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1 0

②、型如

0

a10

c b

的矩阵：利用二项展开式； 1

线代公式

二

n

0n

n

1n

项

n 1

展

1

mn

n m

开

b

m

式

n

1

n 1

：

mn

(a b) Ca Cab Ca C

n 1n

ab Cb

nn

n

C

m 0

ab

mn m

；

注：Ⅰ、(a b)展开后有n

n

m

1项；

n!m!(n m)!

C

mn 1

Ⅱ、Cn

n(n 1) (n m 1)

1 2 3 m

mn

n mn

Cn Cn 1

n

m 1n

rn

n

r

r 1

0n

Ⅲ、组合的性质：C C

C

mn

C

C

2

rCn nCn 1；

r 0

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

nr(A) n r(A*

) r(A) n 1①、伴随矩阵的秩： 1

r(A) n 1

；

A

*

1

A

②、伴随矩阵的特征值：

(AX X,A AA A*

X

X)；

*

1

③、A AA、A

*

A

n 1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A) n，A中有

n阶子式不为0，n 1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A) n，A

中有n阶子式全部为0；

③、r(A)

n

，

A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax b，其中

A

为m n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程； ②、

n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程；

10. 线性方程组Ax b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由

n个未知数m个方程的方程组构成n

元线性方程：

a11x1 a12x2 a1nxn b

1 a 21x1 a22x2 a2nxn b2

①、

；

am1x1

am2x2 anmxn b

n

线代公式

a11 a 21

②、

am1

a12a22 am2

a1n

a2n

amn x1 b1 x2b2

Ax b

（向量方程，

xm bm

A为m n矩阵，m个

方程，

n个未知数）

an

x1

x2

xn

③、 a1

a2

b1 b2

（全部按列分块，其中

bn

）；

④、a1x1 a2x2 anxn （线性表出） ⑤、有解的充要条件：r(A)

r(A, ) n（

n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m个

n

维列向量所组成的向量组A： 1, 2, , m构成n m矩阵

A ( 1, 2, , m)；

1T T 2 B 矩阵

T m

；

T

m个n维行向量所组成的向量组B： 1T, 2T, , m构成m n

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关

②、向量的线性表出

Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组）

Ax b是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 AX B是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵

Am n

T

与

Bl n

行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax 0和

Bx 0

5.

同解；(P101例14)

4. r(AA) r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义：

①、 线性相关 ②、 , 线性相关

0

；

, 坐标成比例或共线（平行）；

③、 , , 线性相关 , , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理：

若 1, 2, , s线性相关，则 1, 2, , s, s 1必线性相关；

线代公式

若 1, 2, , s线性无关，则 1, 2, , s 1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若若

r

维向量组A的每个向量上添上n r个分量，构成n维向量组

B

：

A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维

数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A) r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组线性表示

AX B有解；

r(A) r(A,B)（P85定理2） 向量组

s(二

B

A能由向量组B等价 r(A) r(B) r(A,B)（P定理2推论）

85

8. 方阵

A

可逆 存在有限个初等矩阵P1,P2, ,Pl，使A P1P2 Pl；

rc

①、矩阵行等价：A~B PA B（左乘，P可逆） Ax 0与Bx 0同解 ②、矩阵列等价：A~B AQ B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B PAQ B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am n与Bl n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 若Am sBs n Cm n则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组Bx 0的解一定是ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需

证明；

①、ABx 0 只有零解 Bx 0只有零解；

②、Bx 0 有非零解 ABx 0一定存在非零解；

12. 设向量组Bn r:b1,b2, ,br可由向量组An s:a1,a2, ,as线性表示为：（P110题19结论）

T

(b1,b2, ,br) (a1,a2, ,as)K（B AK）

其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关 r(K) r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性： r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r；充分性：反证法）

线代公式

注：当r s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Am n，存在Qn m，AQ Em r(A) m、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵

Am n，存在Pn m，PA En r(A) n、P的行向量线性无关；

14. 1, 2, , s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2, ,ks，使得k1 1 k2 2 ks s 0成立；（定义）

x1

x2

0

有非零解，即Ax 0有非零解； xs

( 1, 2, , s)

r( 1, 2, , s) s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m n的矩阵A的秩为

r(S) n r； 16. 若

*

r

，则n元齐次线性方程组Ax 0的解集S的秩为：

*

为Ax b的一个解，

1, 2, , n r为

Ax 0的一个基础解系，则

, 1, 2, , n r线性无关；（P111题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1T

1. 正交矩阵 AA E或A A（定义），性质：

T

①、A

1T

aa 的列向量都是单位向量，且两两正交，即ij

0

1

i ji j

(i,j 1,2, n)

；

②、若A为正交矩阵，则A

T

A也为正交阵，且A 1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2, ,ar)

；

b1 a1

[b1,a2][b1,b1]

b1

b2 a2

br ar

[b1,ar][b1,b1]

b1

[b2,ar][b2,b2]

b2

[br 1,ar][br 1,br 1]

br 1;

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQ B，P、Q可逆；

r(A) r(B)，A、B同型；

T

②、A与B合同 CAC B，其中可逆；

T

xAx与xBx有相同的正、负惯性指数；

T

线代公式

③、A与B相似 PAP B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CAC B T

1

A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严

格）；

6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.

n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与

E合同，即存在可逆矩阵C，使CT

AC E；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

aii 0,A 0；(必要条件)

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