论文5

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 79

所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 梁文超

2. 陈海峰

3. 梁夏夏

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 竞赛指导组

日期： 2012年 07 月 18日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

最省用工方案

摘要

本文解决的是最省用工方案问题，通过分析我们建立了相应的数学模型，并通过模型对题给问题进行了求解与分析。

首先就问题一，我们根据B劳务公司的五个促销方案计算出人均优惠款，按照从高到低的顺序排列。用Excel绘制出优惠选择方案，将所聘用的人员按照所有可能的模式中人均优惠最多的方案进行逐步的组合，然后将对应项的职位人数减去。在剩余的聘任人数中再按照上面的操作步骤进行，直至主管聘任完毕。经过验证知道当优惠方案按照人均优惠款最多计算时付款总额优惠额度最大。即当A公司给出聘任数量时，就能按要求给出最优的组合方案。

当A公司的聘任数量及B公司提供的价格、模式优惠条件修改后，依然可以利用所给出的优惠模式先算出其人均优惠款，再利用系统程序自动排序，再结合所给出的方案，按照人均优惠款的排序，给能参加该模式的人员安排最优模式，后面的各个职位依次也能自动计算最优组合。以人均优惠款为目标能给出人员的合理安排模式。

当职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题的解决方案于此也相类似。首先职位的多少多模型影响不大，依然可以适用。对促销方案，现将其分类，将人均优惠款一样的促销方案归为一类，再整理出各个职位能参加哪种优惠模式，建立相应的0,1矩阵，使其参加模式的情况清晰的表现出来，再由人均优款的高低顺序，逐个安排各个职位的人数，按此顺序得到的就为最优的组合方案。

问题二，按照表一，我们利用问题一中人均优惠款最大顺序模型原则进行排序，从而建立Excel表格，通过表格我们可以很轻松的看出方案的最优组合方式和付款总额优惠额度（每日）。按 “表一”职位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优惠额度（每日），并提供最优组合明细，所得结果见图。

由建立的该模型为解决此类问题提供了一种很好的思路，对此类现实问题的求解也有一定的指导意义。

关键词：层次分析法 人均优惠款 最优组合方式

一、 问题重述

A公司为了节约成本，和B劳务公司签订劳务合同，提出“最省用工方案准则”，即同时满足多个节省方案时，以节省最多为准则。目前B劳务公司提供，1种主管职位，5种装配工职位，7种维修工职位。B劳务公司提供五种用工促销方案（计价为日工资）：

1). 主模式1：1个主管+任选1个装配工或维修工 优惠20元 2). 主模式2：1个主管+任选2个装配工或维修工（可以1个装配工，1个维修工） 优惠40元

注：优惠的意思是：如单聘任，总价为各单项的和，参加模式后，付款为总价减去优惠款。

3). 70元两人：付70元可以聘任参加“70元两人活动职位”中的两人 4). 100元两人：付100元可以聘任参加“100元两人活动职位”中的两人 5). 维修工第二人半价：第一人原价，第二人半价（两人价格不一样时，只能价格低的享受半价，高的是原价，两人可以相同）。

现要求我们通过数学建模来完成以下问题：

（1）为了帮助B公司实现“最省用工方案准则”，给出解决该问题的一般数学模型，在A公司提出聘任数量时，就能按要求给出最优组合方案。并且该方案最好具有一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，系统也能自动计算最优组合。另外，当职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题的解决方案。

（2）按 “表一”职位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优惠额度（每日），并提供最优组合明细。

二、 问题分析

2.1对问题一的分析：

用人公司向劳务公司提出用人要求，按照劳务公司提出的最省用工方案准则，同时满足多个节省方案时，以节省最多为原则。问题的解决方法就是寻找最佳的解决方案。

最省的用工方案，就是合理的安排各个职位之间的搭配，使整体能够得到优惠款的最大值。如何安排待聘人员之间的组合，就是解决该问题的方法。将每一个组合看作是一个步骤中决策，每一个步骤中，都要选择当前待聘人员中选择众多方案中最优惠的组合，按照这样的方法和步骤循环做下去，直到所有的人员都选聘完毕。

图1

对于问题一：

如何建立数学模型，使得劳务公司在劳务准则的框架下取得最优惠的价格，按照人均优惠最多的组合进行聘任，选择的标准就是人均的优惠款最多。

根据目前劳务公司提供的服务，按照如下的流程进行操作，可以得到最优的组合方案，使得整体的优惠款最多。 图2

在聘任的数量、价格、模式优惠条件发生改变时，系统能够自动的计算最优组合，体现出良好的性，还是以当前众多的方案所组成的组合中选取人均优惠款最多的组合先进行选任。然后再在剩余的待聘人员中按同样的方法进行循环操作，直到所有的职位全部聘任。运算的流程如下：

表

2.2 对问题二的分析：

按照表一，我们利用方法一中人均优惠款最大顺序原则进行排序，从而列出一个Excel表格，通过表格我们可以很轻松的看出方案的最优组合方式和付款总额优惠额度（每日）。

三、模型假设

1、在选派之前，先约定主管单聘或者与其他工种搭配的时候，自身不涉及优惠款，将优惠款计算在所带的职工身上；

2、在劳务公司所提供的促销方案中，所有的优惠组合都是可以实现的，是符合真实的情况；

3、当整体取得最优惠款的极大值时，所对应的组合并非只有一种，可以有多种组合路径达到最优惠款的极大值；

4、 假设职工都服从安排；

5、假设短期内A公司聘任数量不会发生变化； 6、假设短期内促销方案不发生改变。

四、符号系统 序号 1 2 3

符号 A B C 符号说明 代表选择主模式 代表选择70元两人方案 代表选择100元两人方案 4 D 代表选择维修工第二人半价的方案 五、模型的建立与求解

5.1 对模型一的建立与分析求解； 总体的最省，就是在单聘的假设基础之上，将所聘用的人员进行逐步的组合，组合的步骤是按照所有可能的模式中人均优惠最多的方案进行选择的，然后将对应组合的职位人数减去。在剩余的聘任人数中再按照上述的操作步骤重复进行选择组合。

以节省最多为目的，根据劳务公司提供的促销方案，进行选择职位间的组合时，要依据当前的聘任数量及工种能参加的模式，选择人均优惠款最多的原则进行选择与组合。

对劳务公司的促销方案进行分析：

1、主模式一或主模式二，在约定的条件下，职工每人的平均优惠款都是20元；

2、在70元两人的方案中，根据日工资可以得到该组合在下的人均优惠款为10—25元；

3、在100元两人的方案中，根据日工资条件可以得到该组合下的人均优惠款为10—35元；

4、在维修工半价的方案中，根据日工资条件，可以得知该条件下的人均优惠款为12.5—25元。 在进行组合式，应该按照优惠款从高到低的顺序进行，先进行100元两人的方案，在进行70元两人的方案，在组合的过程中遇到优惠款不足20元的情况，运用主模式进行组合，直至主管聘任完毕。

在70元两人、100元两人、维修工半价的方案下，按照如下的步骤进行组合。将该模式下满足条件的职位按照单价进行由高到低的排序，按照两个一组结合的方法进行组合，直到出现组合的人均优惠款小于其他两组中最大值的情况，然后对其他两组中优惠款最高的一组进行运算。

对于70元两人或100元两人的方案，以70元两人为例，在满足条件的职位中，若任选两个职位，单价分别是 x1 x2 ，则整体的优惠款是x1+x2-70，只要整体的优惠款达到最大值，那么人均的优惠款也将达到最大值。因此x1 x2的值要尽量的大，才能够满足条件，按职位的单价进行由高到低的排序，按照排列的顺序两两组合，能够得到最优解。同理对于维修工半价的方案中按照排序的方法能得到最优解也可以按照类似的方法证明。

表5.1

5.2对模型二的建立与分析求解； 5.2.1

在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，在优惠条件增多的情况下，只是在各种优惠模式下的人均优惠款的上限需要比较数量增加了，而聘任数量的增加，只是将需要计算的次数增加，需要搭配的组合增加，需要人均最优惠款的上限比较的次数增加。

在主模式的条件下，人均优惠款作为整体人均优惠款的下限，如果其它的优惠方案中出现人均优惠款低于主模式条件下的人均优惠款，则运算切换到主模式条件下进行，直至条件不在满足为止。在主模式条件下，要选择最有利的情况。比如主模式一和主模式二，在人均优惠款相同的条件下，一个主管可以带一个或两个，则首选一个主管带两个，留下足够多的主管为后面聘任人员提供该条件下的组合，以达到主管的最大的效用。

如果还有人员剩余，且任意的组合不再满足优惠条件，则进行单聘。 在众多的促销方案中，每种方案中都有人均优惠款的上限，人均优惠款的上限计算，先对满足该方案的待聘人员按照日工资从高到低排序，然后按照该方案的条件进行组合，得到所有的优惠款，从中选择人均优惠款最高的，确定该方案的人均优惠款上限。

图3 5.2.2对问题二的求解

职 位 职位1 职位2 职位3 职位4 职位5 职位6 职位7 职位8 职位9 职位10 职位11 职位12 职位13 属 性 装配工1 装配工2 装配工3 装配工4 装配工5 维修工1 维修工2 维修工3 维修工4 维修工5 维修工6 维修工7 主管职位 人数 优惠款 人均优惠款 人 每一个步骤的最优方案组合（自左向右为步骤顺序） 数 C C B D C A A 6 6 5 4 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 8 2 2 2 6 2 2 8 3 70 60 150 50 40 160 60 35 30 25 25 20 20 20 表1

在 众多的促销方案中，每种方案中都有人均优惠款的上限，人均优惠款的

上限计算，先对满足该方案的待聘人员按照日工资从高到低排序，然后按照该方案的条件进行组合，得到所有的优惠款，从中选择人均优惠款最高的，确定该方案的人均优惠款上限 人数 职位1 职位 属性 促销方案 剩余 2 2 1 3 2 0 0 装配工1 6 6 职位2 装配工2 5 4 1 职位3 装配工3 3 2 1 职位4 装配工4 1 1 职位5 装配工5 1 1 职位6 维修工1 2 2 职位7 维修工2 2

职位8 维修工3 1 1 职位9 维修工4 1 1 职位10 维修工5 1 1 职位11 维修工6 1 1 职位12 维修工7 1 职位13 主管职

位 10

8 人数 2 2 6 2 2 8 优惠款 70 60 150 50 40 160

人均优

惠款

35

30

25

25

20

20 表2

六、模型的评价与改进 1模型的评价

该模型以人均优惠款为标准进行最优方案的组合，按照从高到低的顺序排列。用Excel绘制出优惠选择方案，将所聘用的人员按照所有可能的模式中人均优惠最多的方案进行逐步的组合，然后将对应项的职位人数减去。在剩余的聘任人数中再按照上面的操作步骤进行，直至主管聘任完毕。经过验证知道当优惠方案按照人均优惠款最多计算时付款总额优惠额度最大。即当A公司给出聘任数量时，就能按要求给出最优的组合方案。

当A公司的聘任数量及B公司提供的价格、模式优惠条件修改后，依然可以利用所给出的优惠模式先算出其人均优惠款，再利用系统程序自动排序，再结合所给出的方案，按照人均优惠款的排序，给能参加该模式的人员安排最优模式，后面的各个职位依次也能自动计算最优组合。以人均优惠款为目标能给出人员的合理安排模式。很简单明了，具有很好的实用意义，而且有很好的的推广价值。

由于只是建立了一个评价标准，可能会使最优的组合方案具有一定的偏差，又由于题中所给的数据较少，自己又没能模拟出足够的数据进行检验，所以有一定的局限性。

2 1

2

3 60 590 20

七、参考文献

【1】 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京：高等教育出版社，2009.6 第

二版。

【2】 赛贝尔资讯，《Excel公式与函数应用实例解析》，北京：清华大学出版社，

2008.1。 【3】 肖华勇，《基于MATLAB和LINGO的数学实验》，西安：2009.3 第一版。

七、附录

表一 职位情况和A公司聘任人员数量

职位 单价（日工资） 属性 主模式 70元两人 100元两人 维修工第二人半价 职位1 职位2 职位3 职位4 职位5 职位6 职位7 职位8 职位9 职位10 职位11 职位12 职位13 45 60 80 110 80 60 50 90 80 100 100 120 190 装配工1 装配工2 装配工3 装配工4 装配工5 维修工1 维修工2 维修工3 维修工4 维修工5 维修工6 维修工7 主管职位 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 聘任数量（人） 6 5 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 10 注：表中“Y”表示参加该模式或优惠方案

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