1.2.3导数的四则运算法则

高中数学B版选修2-2

1.2.3 导数的四则运 算法则

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一.函数和(或差)的求导法则 函数和(或差) 设f(x),g(x)是可导的，则(f(x)±g(x)) '= 是可导的， = f ' (x)±g' (x). 即两个函数的和(或差)的导数， 即两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差). 个函数的导数的和(或差). 即 (u ± v )' = u '± v '

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证明： )+g 证明：令y=f(x)+g(x),则y = f ( x + x) + g ( x + x) [ f ( x ) + g ( x )]= [ f ( x + x ) f ( x )] + [ g ( x + x ) g ( x )] = f + g

y f g = + x x xy f g f g lim = lim + lim + lim = x → 0 x → 0 x x → 0 x x x x →0 x

即 y ' = ( f + g ) ' = f '+ g '

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同理可证 y ' = ( f g ) ' = f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 ± f 2 ± ± f n ) ' = f1 '± f 2 '± ± f n ' 二.函数积的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数，则 是可导的函数，[ f ( x ) g ( x )]' = f '( x ) g ( x ) + f ( x ) g '( x )

两个函数的积的导数 两个函数的积的导数，等于第一个函 积的导数， 数的导数乘以第二个函数， 数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数， 函数乘以第二个函数的导数，

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即 (uv )' = u ' v + uv '证:y = f ( x ) = u( x)v( x ),

y = u( x + x)v( x + x ) u( x )v( x ) = u( x + x)v( x + x) u( x)v( x + x) + u( x )v( x + x ) u( x)v( x),y u( x + x ) u( x ) v ( x + x ) v ( x ) v ( x + x ) + u( x ) . = x x x

因为v 在点x处可导, 所以它在点x处连续, 因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当 ).从而 从而: 于是当x→0时, v(x+x)→ v(x).从而:u( x + x ) u( x ) y lim v ( x + x ) = lim x → 0 x x → 0 x v ( x + x ) v ( x ) + u( x ) lim = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x ); x → 0 x

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推论:常数与函数的积的导数, 推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 数的导数, 即: (Cu)′ = Cu′. 三.函数的商的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数，g(x)≠0, 是可导的函数， )≠0, 两个函数的商的导数， 两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方， 再除以分母的平方， 即f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' = 2 g ( x) g ( x)

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例1.求多项式函数 f(x)= a0 x + a1 xn n 1

+ + an 1 x + an 的导数。 的导数。n 1

解：f ' (x)= ( a0 x + a1 xn

+ + an 1 x + an ) 'n2

= a0 nx

n 1

+ a1 ( n 1) x

+ + an 1

例2.求y=xsinx的导数。 sinx的导数。 解：y '=(xsinx) ' =(xsinx =x ' sinx+x(sinx) ' sinx (sinx =sinx cosx =sinx+xcosx.

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例3.求y=sin2x的导数。 =sin2x的导数。 =(2sinxcosx 解：y ' =(2sinxcosx) ' =2(cosxcosx sinxsinx =2(cosxcosx-sinxsinx) =2cos2x =2cos2x. 例4.求y=tanx的导数。 =tanx的导数。sin x )' 解：y ' = ( cos x cos x cos x + sin x s

in x 1 = = 2 2 cos x cos x

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1 cosx的导数. cosx的导数. 例5.求y= x 1 解法一： cosx cosx) ' 解法一：y ' =( x 1 1 =( ) ' cosx+ cosx (cosx (cosx) ' x x1 1 3 1 2 sin x = x cos x sin x = ( x )′ cos x 2 x x cos x 1 cos x + 2 x sin x sin x = = 3 x 2x x 2 x 1 2

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1 cos x 解法二： cosx =( cosx) '=( )' 解法二：y ' =( x x1 1 sin x x cos x x 2 (cos x)′ x cos x( x )′ 2 = = x ( x )2

2 x = x cos x + 2 x sin x = 2x x

x sin x +

1

cos x

2 x sin x + cos x = 2x x

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1+ x 的导数. 例6.求y= 的导数. 3 x1+ x (1 + x)′(3 x 2 ) (1 + x)(3 x 2 )′ 解： y ' = ( )' = 3 x (3 x 2 ) 2

3 x (1 + x)(2 x) x + 2 x + 3 = = 2 2 (3 x ) (3 x 2 ) 22 2

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练习题 1.函数y=sin2x的导数为( B ) 函数y=sin2x的导数为( (A)y'=cos2x =cos2x (B)y'=2cos2x =2cos2x (C)y'=2(sin2x-cos2x) =2(sin2x cos2x (D)y'=-sin2x = sin2x

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2.下列曲线在点x=0处没有切线的是 下列曲线在点x=0处没有切线的是 (D) (A)y=x3+sinx sinx (B)y=x2-cosx cosx (C)y=x3

x +1

(D)y= x + cos x

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3.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导 g(x 是定义在R 函数， g(x 满足f )=g' 函数，且f(x),g(x)满足f' (x)=g (x),则f(x) 与g(x)满足( B ) g(x 满足( (A)f(x)=g(x) g(x (B)f(x)-g(x)为常数函数 g(x (C)f(x)=g(x)=0 )=g(x (D)f(x)+g(x)为常数函数 )+g(x

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4.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切 曲线y 在点P 1)处的切 线方程为 y=x+2 + .

π 5.曲线y=sinx在点P( , 2 )处的切线的 曲线y=sinx在点P )处的切线的 4 2 2 . 倾斜角为 arctan 2

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6.函数 y=sinx(cosx+1)的导数为 =sinx(cosx 1)的导数为 y’=cos2x+cosx .

7.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处 已知抛物线y bx+ 在点(1,2)处 与直线y 与直线y=x+1相切，求b,c的值. 相切， 的值.b = 1 c=2

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8.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相 若直线y kx与曲线 与曲线y 试求k的值. 切，试求k的值. 解： ∵ y=x3-3x2+2x, ∴ y'=3x2-6x+2,y'|x=0=2, =3x +2, | =2, 又∵直线与曲线均过原点， 直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相 当直线y kx与曲线 与曲线y 切于原点时， =2. 切于原点时，k=2.

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若直线与曲线切于点( 若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0). ≠0)y0 则k= x0

又点( 又点(x0,y0)也在曲线y=x3-3x2+2x上, 也在曲线y ∴ y0=x03-3x02+2x0, +2xy0 2 = x0 3 x0 + 2 x0

又∵ y′=3x2-6x+2, =3x ∴ k=3x02-6x0+2, =3x ∴ x02-3x0+2=3x02-6x0+2, 2=3x

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∴ 2x02-3x0=0. =0. ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x0 =3x2-6x

3 2

1 2=- 0+2=- 4

,

1 综上所述， =2或 综上所述，k=2或k=- 4

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