2019学年高中数学（北师大版）选修2-2教案：第1章 拓展资料：演绎推理的三种类型

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演绎推理的三种类型

“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种类型，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助． 一、显性三段论

在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的．也是演绎推理最为简单的应用． 例1 当a，b为正数时，求证：

a?b≥ab． 2 证明：因为一个实数的平方是非负数，

?aa?ba?bb? 而是一个实数的平方，所以?ab是非负数，即?ab??????22?2?2a?b?ab≥0． 22 所以，

a?b≥ab． 2 评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“

a?ba?b，结论：“?ab是一个实数的平方”?ab是非负22数”，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确．

二、隐性三段论

三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论． 例2 判断函数f(x)?1?x2?x?11?x?x?12的奇偶性．

f(x)1?x2?x?11?x2?x?12x 解：由于x?R，且 ?·???1?f(?x)??f(x)，22f(?x)?2x1?x?x?11?x?x?1 故函数为奇函数．

评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，只是大前提“若f(?x)??f(x)，则函数f(x)奇函数；若f(x)?f(?x)，则函数f(x)是偶函数”是大家熟悉的定义，推理过程中省略了．这是三段论推理的又一表现形式． 三、复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论． 例3 若数列?an?的前n项和为sn?n(a1?an)，求证：数列?an?为等差数列． 2 分析：本题的论证共有三层，即三次使用三段论推理，请看：

第一层，大前提“若sn是数列?an?的前n项和，则an?sn?sn?1”；小前提“数列

?an?的前n项和为sn?“

an?a1n?1?”；

an?1?a1n?2n(a1?an)n(a?a)(n?1)(a1?an?1)，则an?1n?”；结论222 第二层，大前提“对于非零数列?an?，则有an?a1?足

?a2??a?1??an?；小前提“满??”?an?1?an?a1a?aa?a1a?a1n?1?)31·4··n的数列?an?有an?a1?(a2?a1·”；结论

an?1?a1n?2a2?a1a3?a1an?1?a1“an?a1?(n?1)(a2?a1)”；

第三层，大前提“对于数列?an?，若an?an?1?常数，则?an?是等差数列”；小

a为常数”前提“由an?a1?(n?1)(a2?a1)，得an?an?1?a；结论“数列为等差数列”，2?1在这三层中，层层深入，步步逼近，慢慢的向我们要论证的结论靠拢，这是一种很重要且很实用的分析思维过程．

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