16版《步步高》配套学案：§4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用

§4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 A 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示.

x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

ππ3π

(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－6221)，(2π，0)这五个点．( × )

ππ

(2)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．( × )

44πππ

(3)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位长度得到的．( √ )

4423ππ

(4)函数y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.( × )

44(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )

(6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T

.( √ ) 2

1．(2014·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )

1

A．向左平行移动个单位长度

21

B．向右平行移动个单位长度

2C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 答案 A

11

解析 y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin2(x＋)的图象，即函数y＝sin(2x

22＋1)的图象．

ππ

2．(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图

22所示，则ω，φ的值分别是( ) π

A．2，－ 3π

B．2，－

6π

C．4，－

6π

D．4，

3答案 A

π35π

－?，∴T＝π，∴ω＝2， 解析 ∵T＝－?412?3?5πππ

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，

1223πππ

－，?，∴φ＝－，故选A. 又φ∈??22?3

π

3．设函数f(x)＝cosωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图

3象重合，则ω的最小值等于( ) 1A. 3

B．3

C．6 答案 C

D．9

π

解析 由题意可知，nT＝ (n∈N*)，

32ππ

∴n·＝ (n∈N*)，

ω3

∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.

ππ2π

4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则

223下列说法正确的是________．(填序号) ①f(x)的图象过点(0，3

2)；

②f(x)在[π2π

12，3]上是减函数；

③f(x)的一个对称中心是(5π

12

，0)；

④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sinωx的图象． 答案 ①③

解析 ∵周期为π，∴2π

ω＝π?ω＝2，

∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f(23π)＝3sin(4π

3＋φ)，

则sin(4π

3

＋φ)＝1或－1.

又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，11

6π)，

∴4π3ππ

3＋φ＝2?φ＝6， ∴f(x)＝3sin(2x＋π6)．

①：令x＝0?f(x)＝3

2，正确．

②：令2kπ＋ππ3π

2<2x＋6<2kπ＋2，k∈Z

?kπ＋π6

3，k∈Z.

令k＝0?π6

，

即f(x)在(π2ππ

6，3π)上单调递减，而在(12，6)上单调递增，错误．

③：令x＝5π

12

?f(x)＝3sinπ＝0，正确．

π

④：应平移个单位长度，错误.

12

题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 设函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f(x)＝sinωx＋3cosωx

13π＝2(sinωx＋cosωx)＝2sin(ωx＋)，

2232π

又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.

ωπ

∴f(x)＝2sin(2x＋)．

3

π

∴函数f(x)＝sinωx＋3cosωx的振幅为2，初相为. 3ππ

2x＋?＝2sinX. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin?3??3列表，并描点画出图象：

x X y＝sinX π2x＋? y＝2sin?3??π－ 60 0 0 π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0

ππ

x＋?的图象，(3)方法一 把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin??3?3ππ1

x＋?的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin?2x＋?再把y＝sin?3??3??2π

2x＋?上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到的图象，最后把y＝sin?3??

π

2x＋?的图象． y＝2sin?3??

1

方法二 将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x

2πππ

x＋?＝sin?2x＋?的图象；的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin2?3??6??6π

2x＋?的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝再将y＝sin?3??π

2x＋?的图象． 2sin?3??

思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π3

设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描

22点后得出图象．

(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

π1

(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将

62

π

图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

3π

A．x＝－

2π

C．x＝

8

π

B．x＝－

4π

D．x＝

4

ππ

(2)(2014·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

32( )

π7π

A．在区间[，]上单调递减

1212π7π

B．在区间[，]上单调递增

1212ππ

C．在区间[－，]上单调递减

63ππ

D．在区间[－，]上单调递增

63答案 (1)A (2)B

π1

解析 (1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝

62πππππ

sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x

63362π

＝－是其图象的一条对称轴方程．

2

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