二次函数与几何综合类存在性问题

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二次函数与几何综合类存在性问 题

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二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综 合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把 “数”与“形”结合起来，互相渗透.存在探索型问题是 指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论 是否出现的问题.解决这类问题的一般思路是先假设结论 的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推 出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假 设.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

考向互动探究探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图41-1,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx

+c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(-3,0). (1)求点B的坐标； (2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点. ①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标； ②设点 Q 是线段 AC上的动点，作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D, 求线段QD长度的最大值.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

例题分层分析 (1)抛物线的解析式未知，不能通过解 方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数 的对称性，能求出B点的坐标吗？ (2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？

由a=1,A(-3,0),B(1,0)三个条件试一试；

图41-1

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

(3)根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求

出x的值；(4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？ (5)D点的坐标怎么用x来表示？ (6)QD怎样用含x的代数式来表示？ (7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求

出最大值？

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

解题方法点析 以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以 二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关

于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分.这类试题集代数、几何 知识于一体，数形结合，灵活多变.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题解：(1)由题意知：点 A 与点 B 关于直线 x =-1 对称，A( -3,0) , ∴B(1,0). (2)①当 a=1 时，则 b=2,把 A(-3,0) (3)代入 y=x 2+2x +c 中得 c=-3, ∴该抛物线解析式为 y=x2+2x -3. 1 1 3 3 ∵S△ BOC= ·OB·OC= ×1×3= ,∴S△POC=4S△BOC=4× =6. 2 2 2 2 1 又 S△POC = ·OC·|x p|=6,∴|x p| =4,∴x p=±4. 2考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

当 x p=4 时，yp =42+2×4-3=21; 当 x p=-4 时，y p=(-4)2 +2×(-4) -3=5. ∴点 P 的坐标为(4, 21)或(-4,5) . ②∵A (-3,0) ,C(0 ,-3),则直线 AC 的解析式为 y=-x -3. 设点 Q 为(a,-a-3) ,点 D 为( a,a2+2a-3), ∴QD=yQ -yD=- a-3-(a2+2a-3) =-a2-3a. -3 3 当 a=- =- 时，QD 有最大值，其最大值为： 2 2×(-1) 32 3 - - 9 - 2 -3× 2 = . 4考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题 探究二 例2 二次函数与四边形的结合 如图41-2,在平面直角坐标系中，二次函数y=x2

+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0), 与y轴交于C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.

(1)求这个二次函数的解析式；(2) 连接 PO 、 PC ,并将△ POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使得四边形 POP′C为菱形？若

存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点 P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？ 求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

图41-2

例题分层分析(1)图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

(2)画出四边形POP′C,若四边形POP′C为菱形，那么P 点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？

(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积. 解题方法点析 求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四

边形面积转化为三角形面积的和或差.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

解：(1)将 B、C 两点的坐标代入 y=x 2 +bx +c, 得 9+3b+c=0, c =-3, 解得 b=-2, c=-3.

∴这个二次函数的解析式为 y=x2-2x -3. (2)假设抛物线上存在点 P(x ,x 2-2x -3), 使得四边形 POP′ C 为菱形.连接 PP′ 交 CO 于点 E . ∵四边形 POP′ C 为菱形， 3 ∴PC=PO,PE⊥CO,∴OE=EC= , 2考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题3 3 ∴ P 点的纵坐标为- ,即 x 2- 2x - 3 =- ,解得 x 1= 2 2 2+ 10 2- 10 2+ 10 ,x 2= (不合题意，舍去).∴存在点 P( , 2 2 2 3 - ),使得四边形 POP ′ C 为菱形. 2 (3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q,交 OB 于点 F , 设 P(x ,x 2-2x -3).由 x 2-2x -3=0 得点 A 的坐标为(-1, 0).∵B 点的坐标为(3 ,0), C 点的坐标为 (0,- 3),∴直线 BC 的解析式为

:y=x -3,∴Q 点的坐标为(x ,x -3), ∴AB =4,CO =3,BO =3,PQ=- x 2+3x.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题1 1 =S △ABC+S △BPQ +S △CPQ = AB· CO+ PQ· 2 2 1 1 1 1 BF + PQ ·FO= AB· CO+ PQ·( BF+ FO)= AB· CO 2 2 2 2 1 1 1 3 2 9 2 + PQ· BO= ×4× 3+ (- x +3x ) ×3=- x + x + 6= 2 2 2 2 2 ∴S四边形 ABPC

32 x - 3 75 3 - + . ∴当 x = 时，四边形 ABPC 2 2 8 2 3 15 ,- 的面积最大.此时 P 点的坐标为 2 4 , 75 四边形 ABPC 的最大面积为 . 8考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

探究三

二次函数与相似三角形的结合

例3 如图41-3,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA 为边作矩形OADC交抛物线于点G. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移

动，分别交x轴于点 E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示 PM 的长；

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题 (3)在(2)的条件下，连接PC,则在CD上方的抛物线部

分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断 △PCM的形状；若不存在，请说明理由.

图41-3考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题 例题分层分析 (1)将____________代入y=ax2-2ax+c,求出抛物线的

解析式；(2)根据________的坐标，用待定系数法求出直线AC的 解析式；

(3)根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的坐标和PM的长？ (4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、 C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨 论：①△PFC∽________,②△PFC∽________.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函 数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是当相似三角形 的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题解：(1)∵C (0, 4),A (3,0)在抛物线 y=ax 2- 2ax +c (a≠0)上， 4 a =- , c=4, 3 ∴ 解得 9a-6a+c=0, c=4. 4 2 8 ∴所求抛物线的解析式为 y=- x + x +4. 3 3 (2)设直线 AC 的解析式为 y=kx +b(k ≠0), 4 k =- , 3k +b=0, 3 ∵A (3,0),C(0,4)在直线 AC

上，∴ 解得 b=4, b=4. 4 ∴直线 AC 的解析式为 y=- x +4, 3考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

4 4 2 8 m,- m +4 m ,- m + m +4 ∴M 3 ,P 3 3 . ∵点 P 在 M 的上方， 4 - m +4 4 2 8 ∴PM=- m + m +4- 3 3 3 4 2 8 4 =- m + m+4+ m -4 3 3 3 4 =- m 2+4m. 3考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题(3) ①若△PFC∽△AEM ,此时△ PCM 是直角三角形 PF CF PF AE 且∠PCM =90°.则 = ,即 = . AE ME CF ME AE ME AE AO 又∵△AEM ∽△AOC,∴ = ,即 = , AO CO ME CO PF AO 3 ∴ = = . CF CO 4 4 2 8 4 2 8 ∵PF =PE-EF =- m + m +4-4=- m + m , 3 3 3 3 4 8 - m 2+ m 3 3 = .∵m ≠0,∴m =23. CF=OE =m,∴ 3 4 16 m考点聚焦 归类探究 回归教材

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