2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1习题课 正弦定理和余弦定理

[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．

知识点一 正弦定理及其变形

1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R ． 2．a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ．(化角为边)

3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R

．(化边为角) 知识点二 余弦定理及其推论

1．a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos__A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ．(边角互化) 2．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2?C 为直角，c 2>a 2＋b 2?C 为钝角；c 2

知识点四 三角形内的角的函数关系

在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则有

(1)sin(A ＋B )＝sin__C ，cos(A ＋B )＝－cos__C ，tan(A ＋B )＝－tan__C ，

(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2

．

题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值

例1 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4

. (1)求AB 的长；

(2)cos ?

???A －π6的值． 解 (1)由cos B ＝45

， 则sin B ＝1－cos 2B ＝35

， 又∵C ＝π4

，AC ＝6，由正弦定理， 得AC sin B ＝AB sin π4

， 即635＝AB 22

?AB ＝5 2. (2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝22

， 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210

， cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－

210，则cos ????A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝72－620

. 反思与感悟 应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化．

跟踪训练1 如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC

＝223

，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为

________． 答案 3

解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223

， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝18＋9－2·32·3·223

＝3. ∴BD ＝ 3.

题型二 判断三角形的形状

例2 在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．

解 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

， 代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 2

2ac

， 所以c 2＋b 2＝a 2，

所以△ABC 是以A 为直角的直角三角形．

又因为b ＝a sin C ，所以b ＝a ·c a

，所以b ＝c ， 所以△ABC 也是等腰三角形．

综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．

反思与感悟 (1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定．

(2)常用的几种转化形式：

①若cos A ＝0，则A ＝90°，△ABC 为直角三角形；

②若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形；

③若cos A >0且 cos B >0且cos C >0，则△ABC 为锐角三角形；

④若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C ＝90°，△ABC 为直角三角形；

⑤若sin A ＝sin B 或sin(A －B )＝0，则A ＝B ，△ABC 为等腰三角形；

⑥若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝90°，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

跟踪训练2 在△ABC 中，cos A ＝45

，且(a －2)∶b ∶(c ＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状． 解 由已知设a －2＝x ，则b ＝2x ，c ＋2＝3x ，

所以a ＝2＋x ，c ＝3x －2，

由余弦定理得cos A ＝4x 2＋（3x －2）2－（x ＋2）24x （3x －2）

＝45. 解得x ＝4，所以a ＝6，b ＝8，c ＝10，

所以a 2＋b 2＝c 2，所以三角形为直角三角形．

题型三 有关创新型问题

例3 已知x >0，y >0，且x 2－xy ＋y 2＝1，求x 2－y 2的最大值与最小值．

解 构造△ABC ，使AB ＝1，BC ＝x ，AC ＝y ，C ＝60°，

由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，

∴1＝x 2＋y 2－xy ，即x ，y 满足已知条件，

由正弦定理得x sin A ＝y sin B ＝1sin 60°＝233

. ∴x ＝233sin A ，y ＝233

sin B ， x 2－y 2＝43

(sin 2A －sin 2B ) ＝23

(1－cos 2A －1＋cos 2B ) ＝23

(cos 2B －cos 2A ) ＝23

[cos(240°－2A )－cos 2A ] ＝23(－32cos 2A －32

sin 2A ) ＝－233

sin(2A ＋60°)． ∵0°

当2A ＋60°＝90°时，x 2－y 2有最小值－233.

当2A ＋60°＝270°时，x 2－y 2有最大值233

. 反思与感悟 解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化．如本题中将x 2－y 2转化为三角恒等变换及y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域的问题． 跟踪训练3 已知x ，y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．

解 构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x ，y 满足已知条件．

∵x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°

＝2， ∴x ＝2sin A ，y ＝2sin B ，

∴x ＋y ＝2(sin A ＋sin B )

＝2[sin A ＋sin(120°－A )]

＝2(sin A ＋

32cos A ＋12sin A ) ＝23(32sin A ＋12

cos A ) ＝23sin(A ＋30°)．

∵0°

∴当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.

例4 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B

，试判断三角形的形状．

错解 由已知得1＋b a ＝1＋cos A cos B

， 即a cos A ＝b cos B .

由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ，

得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 2

2ac

， 整理得c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)，

∴c 2＝a 2＋b 2，

∴△ABC 为直角三角形．

错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0得a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，而不是a ＝b 且a 2＋b 2＝c 2.

正解 由已知得1＋b a ＝1＋cos A cos B

， 即a cos A ＝b cos B .

由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

， 得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 2

2ac

， 整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，

所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，

即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

误区警示 在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性．

跟踪训练4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

解 (1)由2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C 得

2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，

即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，

由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12

， ∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.

(2)由(1)得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由正弦定理得

sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .

∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34

， 又sin B ＋sin C ＝1，

∴sin B ＝sin C ＝12

， ∵B ，C ∈(0°，90°)，∴B ＝C ＝30°，

∴△ABC 为等腰三角形．

1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )

A ．1＜c ＜3

B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3 D ．22＜c ＜3

答案 C

解析 在钝角△ABC 中，由于最大边为c ，所以角C 为钝角．所以c 2＞a 2＋b 2＝1＋4＝5，即c ＞5，又因c ＜a ＋b ＝1＋2＝3，所以5＜c ＜3.

2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( )

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

答案 C

解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得

2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，

∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，

又∵－π

∴△ABC 是等腰三角形．

3．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )

A ．19

B ．14

C ．－18

D ．－19

答案 D

解析 由余弦定理的推论知：

cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC

＝1935. 所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )

＝7×5×(－1935

)＝－19，故选D. 4．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝

32，则c sin C ＝________． 答案 2

解析 S △＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32

， ∴c ＝2，

∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2·1·2·(12

)＝3， ∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝33

2

＝2. 5．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C

，则△ABC 是________三角形． 答案 等边

解析 ∵a cos A ＝b cos B

， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0，

∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)，

∴A －B ＝0，∴A ＝B .

同理B＝C，∴A＝B＝C，

∴△ABC为等边三角形．

1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．

对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．

2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．

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