内蒙古自治区人教A版数学（理科）2012届高三单元测试21

内蒙古自治区新人教A版数学高三单元测试21

【双曲线】

本卷共100分，考试时间90分钟

一、选择题 (每小题4分，共40分)

4x2y21. 已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离心率为（ ）

3abA.

5453 B. C. D. 3342x2y22. 双曲线2?2?1的离心率为3，则它的渐近线方程是（ ）

abA．y??2x B．

y??21xy??x2 C．y??2x D．2

x2y23. 双曲线C1:2?2?1的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准

ab线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，线段PF2的中点为M，O是坐标原点，则

OF1PF1?OMPF2?

11 D． 22 A．?1 B．1 C．?x2y23??1(a?0,b?0)2b24. 已知双曲线a的右焦点为F，若过点且斜率为3的直线与双曲

线渐近线平行，则此双曲线离心率是

（ ）

23A．3

B．3 C．2 D．23

x2y225. 已知双曲线2?2?1的一个焦点与抛物线y?4x的焦点重合，且双曲线的离心率等

ab于5，则该双曲线的方程为（ ）

5y2x2y2?1 B．??1 A．5x?4542y2x24y22??1 D．5x??1 C．

545

x2y26. 已知F1、F2分别是双曲线2?2?1（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，

ab若?F1PF2?90?,且?F1PF2的则三边长成等差数列，则双曲线的离心率是

A．2

B． 3 C．

4

D． 5

x2y27. 若双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线y?2x无交点，则离心率e的取值范围是（ ）

ab A．(1,2)

B．(1,2]

C．(1,5)

D． (1,5]

x2y28. 设O为坐标原点，F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点，若在双曲线上存在点P，

ab满足?F1PF2?60,|OP|?7a，则该双曲线渐近线方程为（ ） A. x?3y?0

B. 3x?y?0

2C. x?2y?0 D. 2x?y?0

y2?1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率9. 若双曲线的顶点为椭圆x?2的积为1，则双曲线的方程是

A．x2?y2?1 B．y2?x2?2 C．x2?y2?2 D．y2?x2?1 10. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y??4x,则该双曲线的离心率是( )

A．17 B．15 C．二、填空题 (共4小题，每小题4分)

1715 D． 4411. 以F1（-3，0）、F2（3，0）为焦点，渐近线方程为y??2x的双曲线的标准方程是

x2y212. 过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ

ab到直线ＦＢ的距离等于b，则双曲线的离心率e? 7x2y213. 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线与其右准线交于A,B，右焦点在以ABab为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围是

14. 双曲线2x?y?m的一个焦点是(0,3)，则m的值是__________．

22

三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)

y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 15. （本小题满分10分） 设双曲线2?3a（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（Ⅲ）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP?OQ?0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

16. （本小题满分10分）设点P在以F1、F2为左、右焦点的双曲线C：

x2y2??1(a?0,b?0)上，PF2?x轴，PF2?3，点D为其右顶点，且F1D?3DF2. a2b2（Ⅰ）求双曲线C方程；

（Ⅱ）设过点M(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且满足

OA?OB?22AB, (其中O为原点)，求直线l的斜率的取值范围.

217. （本小题满分12分）设点P在以F1、F2为左、右焦点的双曲线C：

x2y2?2?1(a?0,b?0)上，PF2?x轴，PF2?3，点D为其右顶点，且F1D?3DF2. 2ab（Ⅰ）求双曲线C方程；

（Ⅱ）设过点M(2,0)的直线l与交于双曲线C不同的两点A、B，且满足

OA?OB?22AB, (其中O为原点)，求直线l的斜率的取值范围.

218. （本小题满分12分）已知双曲线C的渐近线方程为y??3x，右焦点F(c,0)到渐近线的距离为3. （1）求双曲线C的方程；

（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，

求证：

|AB|为定值. |FD|

答案

一、选择题 1. A2. A3. C 4. A

3323bb

依题意，应有=3，又＝e2－1，∴e2－1=3，解得e=3．

a

a

5. A6. D7. D8. D9. B10. A 二、填空题

x2y2??112. 213. (1,2)14. －2 11. 36三、解答题

15. 解：（Ⅰ）?e?2，?c2?4a2 ?c2?a2?3，?a?1，c?2

x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y? x 332 （Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

???2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10 又y1?33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y2 3333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33??3(y1?y2)2?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即37525 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为

103的椭圆。 3

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2

?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0y??1 ? 3?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.

2b2?3,a?c?3(c?a)且c2?a2?b2， 16. 解：（Ⅰ）由题意，得a解得a?1,b?3,c?2，

y2?1 则双曲线C的方程为x?32（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由OA?OB?AB，有

2220???AOB?90??cos?AOB?0?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0

显然，kAB?0不合题意；

当AB?x轴时，A(2,3),B(2,?3)，OA?OB??5，也不合题意

?y?k(x?2)2222y于是，由?2，消去，整理得：(3?k)x?4kx?4k?3?0 2?3x?y?3??(4k2)2?4(3?k2)(?4k2?3)?0?k2?0，

?4k2?4k2?3x1?x2?，x1x2? 223?k3?k由x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?2)k(x2?2)?0

?(1?k2)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2?0

2?4k2?332?4k2(1?k)?2k?4k?0??k2?3 2253?k3?k2故l斜率的取值范围是(?3,?1515)?(,3). 53b2?3,a?c?3(c?a)且c2?a2?b2， 17. 解：（Ⅰ）由题意，得a解得a?1,b?3,c?2，

y2?1 ……（4分）则双曲线C的方程为x? 32（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由OA?OB?AB，有

（6分） 0???AOB?90??cos?AOB?0?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0 …显然，kAB?0不合题意；

当AB?x轴时，A(2,3),B(2,?3)，OA?OB??5，也不合题意 …（8分）

222?y?k(x?2)2222于是，由?2，消去y，整理得：(3?k)x?4kx?4k?3?0 2?3x?y?3??(4k2)2?4(3?k2)(?4k2?3)?0?k2?0，

?4k2?4k2?3x1?x2?， x1x2? ………（10分）

3?k23?k2由x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?2)k(x2?2)?0

?(1?k2)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2?0

2?4k2?332?4k2(1?k)?2k?4k?0??k2?3 2253?k3?k2故l斜率的取值范围是(?3,?1515)?(,3). ………（12分） 532218. 解：（1）设双曲线方程为3x?y??(??0)………………（2分）

由题知c?2,??3???4,???3…………………………………（4分）

2y2?1………………………………（5分） ?双曲线方程为：x?3y2?1 （2）设直线l的方程为y?k(x?2)代入x?32整理得(3?k2)x2?4k2x?4k2?3?0……………………（6分） 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点P(x0,y0)

2k2?6kly?,则x0??代入得：……………………………（7分） 0223?k3?k|AB|?1?k|x1?x2|?26(k2?1)……………………（8分） ?2|3?k|12k26k)?AB的垂直平分线方程为y??(x?…………………（9分） 22k3?k3?k?8k2令y?0得xD?……………………………（10分）

3?k2?8k2?6(1?k2)6(1?k2)……………………（11分） ?|FD|?|?2|?||?2223?k3?k|3?k|?

|AB|?1为定值. |FD|

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