1-1线性空间

第一专题 线性空间和线性变换

矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。

§1 线性空间

一、线性空间的概念与性质

线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。

例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。

例2 为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组

(a1,a2,?,an)作为元素的n维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：

(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn), k(a1,a2,?,an)?(ka1,ka2,?,kan).

从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。

在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。

定义1 设F是一个数集，其中包含0和1。如果F中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F中的数，那么称F为数域。

显然，全体实数集R、全体复数集C、全体有理数集Q等都是数域。而全体正实数集R?，全体整数集Z等都不是数域。

定义2 设V是一非空集合,F是数域（本书特指实数域）,对V中任意两个元?,?,定义一个加法运算,记为“+”:????V（元???称为?与?的和）；定义一个数乘运算:k??V, k?F（元k?称为k与?的数积）。这两种运算（也称为V的线性运算）,满足下列规则,则称V为数域F上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) ???????；

(2) (???)?????(???)；

(3) 在V中存在零元素0；对任何??V，都有??0??； (4) 对任何??V，都有?的负元素??V，使????0，记

????；

数量乘法满足下面两条规则： (5) 1???； (6) ?(?α)?(??)α；

数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) (???)???????；

(8) ?(???)??????，

在以上运算中，?,?等表示数域F中的数，?,?,?等表示集合V中的元素。数域F上的线性空间V，记为V(F)，V中的元称为向量；当F是实数域时，称V为实线性空间；当F是复数域时，称V为复线性空间。在不需要强调数域时，就称V为线性空间。

下面再举几个例子。

例3 按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域F上的元素构成的全体m?n矩阵所成的集合，在数域F上构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为Fm?n，其中Rm?n为由一切m?n实矩阵构成的实线性空间。但秩为r(r?0)的全体矩阵所构成的集合

Fm?n不构成线性空间。事实上，零矩阵0?Fm?n。

例4 区间?a,b?上的连续函数的全体，对于通常意义的函数加法和数乘函数，构成线性空间，记为C?a,b?，而C1?a,b?表示由区间?a,b?上的连续可微函数的全体，对于通常的函数加法和数乘函数所构成的线性空间。

例5实数域R上的多项式全体，按通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为p(t)。如果只考虑次数不大于n的多项式全体，再添加零多项式（系数全是零的多项式）所构成的集，则对于通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为pn(t)。

例6数域F按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。全体实n维向量组成的集合，对于通常意义下的向量加法和数乘向量，构成一个实线性空间，记为Rn。全体复n维向量组成的集合，对于通常的向量加法和数乘向量，也构成线性空间。这时既可用实数乘向量，从而构成实线性空间；又可以用复数乘

向量，构成复线性空间，记为Cn。

由定义2可以证明线性空间的一些简单性质。 性质1 零向量是唯一的。 性质2 负向量是唯一的。

(?1)α??α； k0?0。 性质3 0α?0；性质4 若kα?0,则k?0或α?0。

注：

（1）线性空间V是一个集合（向量），它满足一定条件。 （2）线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。 例如：在正实数集R?中，F为实数域R，定义加法和数乘运算为： a?b?ab，k?a?ak

其中a,b?R?,k?R,“?”表示加法，“ 。”表示数乘。那么

R?构成实线性空间。R?中元素a此时加法零元素是R?中的数1，

的负元素是a?1。

二、线性空间的基、维数与坐标

定义3 设V是线性空间，若存在n个向量?1,?2,?,?n满足 (1)?1,?2,?,?n线性无关；

(2)V中任一向量?总可有?1,?2,?,?n线性表示， 则?1,?2,?,?n称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，记为dimV,并称该线性空间为n维线性空间，记作Vn。 按照这个定义，不难看出，几何空间中向量所构成的线性空间是3维的，n元数组构成的空间是n维，例3所述的线性空间

Fm?n是m?n维的。因为Fm?n中的任一矩阵A?(aij)可表示为

A?(aij)???aijEij

i?1j?1mn其中Eij表示第i行第j列处的元素为1，其余元素为0的m?n矩阵，并且Eij,i?1,?,m,j?1,?,n显然是线性无关的，是Fm?n的一个基。而例5中的p(t)则是无限维的。 注:

(1)基就是线性空间Vn的最大无关组，因为最大无关组不唯一，所以基不唯一，但基与基之间是等价的。基可以看成空间直角坐标系的推广，从而线性空间Vn的维数n是唯一的。 (2)线性空间Vn可用基?1,?2,?,?n表示：

??Vn????x1?1?x2?2???xn?n|x1,x2,?,xn?R?，从而显示出

Vn的构造。

定义4 若?1,?2,?,?n是线性空间Vn的一个基，?β?Vn，

?x1??x???x1?1?x2?2???xn?n??xi?i?(?1 ?2 ? ?n)?2?，

??i?1?x???n?n则称数x1,x2,?,xn是?在基?1,?2,?,?n下的坐标向量(或坐标)，记为x?(x1,x2,?,xn)T，xi(1?i?n)称为?在基?1,?2,?,?n下的第i个坐标。

?32?例7 求R2?2中向量??15??在基E11,E12,E21,E22下的坐标。

??

?121??? P??011???111????1?0?11??011??????112???-1-3-2?. ?101??244?????(2)由???1?2?2?3?3,得?在基?1,?2,?,?n下的坐标为

x?(1,2,?3)T,由y?P?1x,得 ?011??1???7?????1???1 y?Px??-1-3-2??2????1?.

?244???3?2?3???????(3)设??(?1,?2,?3)T是所求的向量，它在基?1,?2,?3和基

?1?1,?2,?3下的坐标下相同，不妨设为x?(x1,x2,x3)T。由题意容

易得出：

(?1,?2,?3)x???(?1,?2,?3)x?(?1,?2,?3)Px 又因为?1,?2,?3线性无关，所以 x?Px， 即

?1-1-1? ?142?x?0

??2-4-3???解得

x?(0, 0, 0)T， 从而得到 ??(0, 0, 0)T.

例11 在所有2?2矩阵构成的4维线性空间P2?2中，证明

?1???11??, ?2???-1-1??, ?3???1-1??, ?4???1????????11??11??1-1??-11??, 构成一-1???12?个基，并求矩阵????34??在这个基下的坐标。

??解

由例7易知E11, E12, E21, E22 是P2?2的一个基，因此有

(?1, ?2, ?3, ?4)?(E11,E12,E21,E22)P (4)

其中

?111?1???11?11?? P??1?111????1?1?1?1???经计算P?16?0，故P可逆，从而?1, ?2, ?3, ?4线性无关，因此它构成一个基,且(4)式就是由基E11, E12, E21, E22 到基

?1, ?2, ?3, ?4的基变换矩阵。

设?在基?1, ?2, ?3, ?4下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T，而已知

?在基E11, E12, E21, E22 下的坐标为(1, 2, 3, 4)T，由坐标变换公式得

?5??y1??1??1111??1????????????2?1?11?1?1??2???1??y2??1?2??P??y??3?4?1?11?1??3???1?

?3?????????????????y?2?4???111?1??4??0??4???另解

设?在基?1, ?2, ?3, ?4下的坐标为y?(y1,y2,y3,y4)T，则

????34???y1?1?y2 ?2?y3?3?y4 ?4

???11??11??1-1??-11?????????y1??y2??y3??y4?????? 11-1-11-11-1?????????12??y1?y2?y3?y4???y?y?y?y234?1得到

y1?y2?y3?y4?? ?y1?y2?y3?y4?11??y1??1??11??????211?11?????y2? ????

31?111??y3????????4??1?1?1?1??y??????4?所以

1?5?y???1?0?.

2?2?T

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s8z7.html