量子比特的含义、特性

关于量子比特的含义、特性、

实现及各种操作

一．绪论 (2)

二．量子比特的基本概念 (2)

2.1 经典比特 (2)

2.2 量子比特定义与表示 (3)

2.2.1 基本量子比特 (3)

2.2.2 复合量子比特 (4)

2.2.3 多进制量子比特 (5)

2.3 量子比特的实现 (5)

三．量子比特特性 (6)

3.1.量子比特的数学特性 (6)

3.2.量子比特的物理特性 (7)

3.2.1 叠加性和相干性 (7)

3.2.2 量子测不准性 (8)

3.2.3 不可克隆性 (10)

3.2.4 非正交态的不可区分性 (12)

3.2.5 量子纠缠性 (13)

3.2.6 量子互补性 (15)

四．量子比特的变换 (16)

4.1量子逻辑门. (16)

4.1.1 单量子比特逻辑门 (17)

4.1.2 多量子比特逻辑运算 (19)

4.2量子线路 (22)

五．量子比特信息的测度 (23)

5. 1 经典香农熵 (23)

5.2 量子冯?诺依曼熵 (25)

5.3 量子保真度 (26)

5.4 可获得的最大信息 (27)

六．量子寄存器 (27)

6.1量子寄存器的存储 (28)

6.2 量子寄存器量子态的测量 (30)

七．量子比特的存储 (31)

八．量子比特的制备 (32)

8.1光场量子比特的制备 (32)

8.2 多原子最大纠缠比特的制备 (33)

8.3、囚禁离子质心运动量子比特的制备 (34)

参考文献 (35)

一．绪论

1983年，Stephen wiesner在他量子货币的提案中第一次引入了量子比特的概念。而“量子比特”这个术语的问世应归功于Benjamin schumacher，在他论文的致谢辞中，schumacher 表示术语“量子比特”是他在同William wootters的一次谈话时提出的，只是因为它同古代的一种长度测量单位腕尺（cubit）的发音相似。

在量子计算中，作为量子信息单位的是量子比特，量子比特与经典比特相似，只是增加了物理原子的量子特性。量子计算机的物理结构是纠缠态原子自身的有序排列，量子比特在系统中表示状态记忆和纠缠态。量子计算是通过对具有量子算法的量子比特系统进行初始化而实现的，这里的初始化指的是把系统制备成纠缠态的一些先进的物理过程。在两态的量子力学系统中量子比特用量子态来描述，这个系统在形式上与复数范围内的二维矢量空间相同。两态量子力学系统的例子是单光子的偏振，这里的两个状态分别是垂直偏振光和水平偏振光。在经典力学系统中，一个比特的状态是唯一的，而量子力学允许量子比特是同一时刻两个状态的叠加，这是量子计算的基本性质。

本文将会首先阐述量子比特的基本概念，提出量子比特的几种实现方法，着重介绍量子比特的特性尤其是其物理特性，之后我们会研究对量子比特实施的几个重要的操作，最后提出了几种量子比特的制备方法。

二．量子比特的基本概念

信息、物质和能量被认为是构成一切系统的三大要素[王育民2005]。信息是一种抽象的、承载于具体消息之中的东西。信息是无形的，但大多可以定量描述，它与具体信宿的接收消息空间有关。信息的产生、传送、接收、处理和存贮等都离不开物质的运动，但它不是物质运动本身，而是借助于物质运动传递系统状态和变化的不确定性[王育民2005]。

在经典领域，信息的衡量和研究主要是基于Shannon提出的信息量定义，其单位为比特（bit），所以我们用经典比特表示经典通信系统和研究方法中对信息的表示，而用量子比特表示包含量子特性的量子通信和研究方法中对信息的表示。

2.1 经典比特

由前述可知，信息的一个基本特征是不确定性，即接收方不知道发送方发给自己消息的内容。因此，对信息的描述和衡量需要概率论和随机过程理论。Shannon首先将概率统计中

p x，该的观点和方法引入到通信理论中，给出了信息量的定义，若消息x的概率分布为()

消息携带的信息量为

2()log ()I x p x =- （3-1）

其单位为比特（bit ）。也可定义为奈特（nat ），将（3.1.1）中对数的底数换为e 即可。二者的关系为：1 nat=1.44 bit,1 bit=0.693 nat 。例如当符号“0”和“1”出现的概率均为1/2时，则每一个符号携带的信息量为1

22(0)(1)log 1I I ==-=，可见，符号“0”和“1”

等概时，其携带的信息量均为1比特。若符号“0”出现的概率为1/4，符号1 出现的概率为3/4 时，符号0和1所携带的信息量分别为1

24(0)log 2I =-=，3

24(1)log 0.415I =-=。

在物理上，符号“0”和“1”可以用不同的物理信号来表示，如电压的高低、信号的有无、脉冲的强弱等，不同的物理信号有不同的特性，因而在不同的通信系统中这两个状态有不同的物理描述。但是一个经典的二进制比特在某个时刻只能处在一种可能的状态，即要么处在0 态上，要么处在1 态上，这是由经典物理的决定论所决定的。

2.2 量子比特定义与表示

参照Shannon 信息论中比特描述信号可能状态的特征，量子信息中引入了“量子比特”的概念。量子比特的英文名字为quantum bit ，简写为qubit 或qbit 。从物理上来说量子比特就是量子态，因此，量子比特具有量子态的属性。由于量子态的独特量子属性，量子比特具有许多不同于经典比特的特征，这是量子信息科学的基本特征之一。

目前，量子比特还没有一个明确的定义，不同的研究者采用不同的表达方式，例如，从物理学的角度，人们习惯于根据量子态的特性称为量子比特（qubit 或qbit ）、纠缠比特（ebit ）、三重比特（tribit ）、多重比特（multibit ）和经典比特（cbit ）等等。这种方式让人眼花缭乱，并且对量子比特的描述要根据具体的物理特性来描述。为了避免这些问题的困扰，这里从信息论的角度对量子比特做出统一的描述。

2.2.1 基本量子比特

这里给出量子比特的表示方法：若二维Hilbert 空间的基矢为0和1，

则量子比特ψ可表示为

10βαψ+= （3-2） 式（3-2）中α和β为复数，且122=+βα。可见，从第二章介绍的理论可知，量子比特既可能处于0态，也可能处于1 态，还可能处于这两个态的叠加态10βα+，其中以概率α2处于状态0 ，以概率β2处于状态1。要想获得准确结果必须测量该量子比特。对于确定的量子比特，α和β的值是确定的，例如当2/1==βα

时，对应的量子比特01)ψ=+，此时量子系统处于状态0和1的概率均为50%。

由线性代数可知，Hilbert 空间的基矢不唯一，一个量子比特也可以用不同的基矢表示，

并且这种基矢有无穷多组。在不同的基中同一个量子比特的表示形式可以有所不同，如定义基矢+和-

分别为01)+=+，

-0-1)=。容易验证δij j i =（δij

为狄拉克符号，{}-,，

+∈j i ），即+和-是正交归一的，因此它们可以作为Hilbert 空间的一组基矢，以这组基矢也可表示量子比特ψ：

-)-(2

2)(2210βαβαβαψ+++=+= （3-3） 2.2.2 复合量子比特

上述定义的量子比特，也可称为简单量子比特（single qubit ）。也可定义高阶量子比特，对应于多重量子态。高阶量子比特也可称为复合量子比特[Zeng ]。其一般表示形式为

0121000001++111n ψααα-=+ （3-6）

n 量子位复合量子比特可表示为2n 项之和。

复合量子比特可对应于直积态或纠缠态，若两个粒子的状态可分，则这种状态为直积态，如

00010(01)ψαβαβ=+=?+ （3-7）

若两个粒子的状态不可分，则这种状态称为纠缠态，如

1001ψαβ=+ （3-8）

纠缠系统构成的复合基量子比特中，最简单的是双基量子比特，其中，四个Bell

态是典型而常用的双基量子比特，它们在量子通信和量子计算中起着重要的作用。四个Bell 态是：

12121212121212120110)0110)0011)0011)

+-

+

-ψ=

+ψ=-Φ=+Φ=- Bell 态是Clauser 等人提出的Bell

算符的本征态，其中

-

ψ 为单重态，其它为三重态。容易验证，它们构成一组正交归一基。

此外，三基量子比特Green-Horne-Zeilinger(GHZ)三重态也常用于量子通信的协议和实验中，它有3 2 种可能的状态，其中常用的状态为

)000111ψ=+ （3-9）

2.2.3 多进制量子比特

除了简单量子比特和复合量子比特外，量子通信中还常用的一种称为多进制量子比特，这与经典通信中的多进制编码的字符相对应，如q 进制单基量子比特可表示为

11011

q q q ψααα=+++- （3-10） 其中2

22121q a a a +++= . 一个3进制量子比特可表示为

2103213αααψ++= （3-11） 也可定义q 进制复合基量子比特，如三进制双基量子比特可以表示为 22

2120 121110 02

010022212012111002010032αααααααααψ++++++++= （3-12） 式中220,01ij i j a ===∑，上标“3”表示3进制，下标“2”表示双基。

2.3 量子比特的实现

目前，量子信息和量子计算实验研究中，用到的量子比特实现方法各种各样。归纳起来，承载量子比特的物理实体有光子、光学相干态、电子、原子核、光学栅格、约瑟夫结、单个充电的量子点对和量子点。其中对光子而言，可用偏振态、光脉冲中的光子数和光子出现的时间来表示量子比特0和1；对于光学相干态，可用其不同分量表示不同量子比特；对于电子，可用其自旋方向或电子的有无来表征量子比特；对于原子核，可采用不同的核自旋方向表示不同的量子态；对于光学栅格，可采用原子的自旋方向表示量子比特；对于约瑟森夫结，可采用超导量子岛（island ）是否带电、超导流（flux ）的电流方向或超导相位（基态/激发态）来表示量子比特；对于单个充电的量子点，可用电子的位置表示量子比特；对于量子点，可用量子点的自旋方向表示量子比特。

汇总起来，如表3.1所示。

表 3.1 量子比特的物理实现

三．量子比特特性

3.1.量子比特的数学特性

量子比特也可以用图形来表示，式（3-2）可改写为

cos 0sin 122i i e e γ?θθψβ??

=+ ???

（3-4）

式中， θ?γ，，均为实数, 0,02θπ?π≤≤≤≤ e i γ是相因子，不具任何可观

测效应，因此上式可简写为

cos

0sin 122

i e ?θθ

ψβ=+ （3-5） 可以验证，上式中的参数,θ?定义了三维单位球面上的一个点，这个三维单位球面称为Bloch 球，如图3.1所示。可知，球面上的每一个点代表二维Hilbert 空间中的一个矢量，即

一个基本量子比特。如图3.1所示。

图 3.1 量子比特的Bloch 球表示

Bloch 球为量子比特的数学意义提供了一个可视化的解释：量子比特的基矢是球的两极，而任意量子比特是Bloch 球上的一个几何点，该几何点与Z 轴间的夹角为θ ，而该几何点在XY 平面上的投影与X 轴间的夹角为φ 。图中画出了几个特殊的量子比特对应的几

何点，容易算出这些几何点（量子比特）所对应的参数φ和θ 的值。如，

=0θ

时，0ψ=位于球面顶部。=90θ 时，1ψ=位于球面底部。Bloch 球在量子计算中起着重要的作用，

常常作为测试量子通信和量子计算新思想的一个有效工具。

Bloch 球只能描述基本量子比特，对复合量子比特和多进制量子比特的描述显得无能为力，原因是复合基量子比特和多进制量子比特无法用三维空间表示。不过，数学上任意量子比特可表示为 2

I r σρ+?=

（3.3.3） 式中I 为单位矩阵，σ 为Paui 矩阵，r 为参数。 3.2.量子比特的物理特性

除了上一节提到的数学性质外，量子比特还具有丰富的物理性质，这些物理性质构成了量子密码和量子保密通信的基础。下面介绍量子比特的几个主要物理性质，包括叠加性、测不准性、不可克隆性、不可区分性、纠缠性、互不性、相干性等。

3.2.1 叠加性和相干性

由于每一个量子比特对应于一个量子态，量子比特也满足叠加原理，具有相干性。量子比特的叠加性表现在对量子比特尤其是对复合量子比特的存贮和运算大大提高了信息存贮和处理的效率，这一点我们可回顾一下第二章对量子力学基本假设的介绍。

对于（3-2）式所表示的量子比特，量子叠加性就是说量子比特既可能处在0态，也可能处在1态，或者其叠加态，观测到的结果由测量算子决定，以概率2α处于状态0，以概率β2处于状态1。例如，设用水平偏振的光子代表0，垂直方向偏振的光子代表1，

对于式（3-2）表示的量子态，若用沿水平方向的偏振片测量该光子的状态，测量的结果可

能是，即光子通过偏振片，也可能是，即光子不通过偏振片，两者概率均为50%。

但是，ψ经测量后只可能有一个测量结果，即光子要么通过，要么不通过。同样，纠缠比特也具有量子叠加性，要获得最终结果，同样需要测量。

如果测量算符为Q ，其本征态为),3,2,1n i q i ， =，本征值为，则有

i i i Q q q λ= (3-32) 任意量子比特ψ可按Q 的本征态展开

q c i i ∑=ψ （3-33）

由以上两式可得

i i i i i i i

Q c Q q c q c ψλψ==≠∑∑

其中c 为某一常数。

可见，ψ不是算子Q 的本征态。如果令ψ是测量算符L 的本征态，对应的本征值为λ，即

L ψλψ= （3-34） 因为),3,2,1n i q i ， =是一组正交规一基，具有线性独立性，张成一个线性空间。但是，ψ与),3,2,1n i q i ， =不能正交归一，因此，它们不能同时是Q 和L 的本征态，所以Q 和L 不对易，即

LQ QL ≠ （3-35）

于是，Q 和L 不可同时测量。这样，以Q 为测量算符对应的测量基测量ψ和以L 为测量算符对应的测量基测量ψ得出的结果不同，即测不准性。量子比特的不可精确测量性是由海森堡测不准原理所决定的，这种性质在量子通信中起着重要的基础作用。

量子比特的相干性是指量子比特保持其原始叠加态的能力[尹浩 2006]。量子比特在传递过程中，由于信道的噪声（参见第四章）导致相干性减弱，或完全退相干。而量子通信是建立在相干性基础上的，如相位调制的光纤QKD 系统靠干涉进行测量。因此保持或恢复量子比特的相干性是量子信道的一个重要命题。

3.2.2 量子测不准性 由于量子比特ψ的叠加性，要获得关于量子比特ψ的最终结果必须测量该量子比特。测量中能否精确地获得该量子比特的有关信息依赖于该量子比特是否是测量所对应的算符的本征态。选定测量算符Q ，设该算符的本征态为(1,2,3,...,)i q i n =，则任意量子比

特ψ 可按Q 的本征态展开，

i i c q ψ=∑ （3.4.3） 令ψ是测量算符L 的本征态，即

L λψ=ψ （3.4.4） 因为(1,2,3,...,)i q i n = 是一组正交规一基，具有线性独立性，张成一个线性空间。

但是，由(3.4.3)式可知ψ与(1,2,3,...,)i q i n =不能正交归一，因此，它们不能

同时是Q 和L 的本征态，所以Q 和L 不对易，即

LQ QL ≠ （3.4.5）

于是，Q 和L 不可同时测量。这样，以Q 为测量算符对应的测量基测量ψ 和以 L 为测量算符对应的测量基测量ψ 得出的结果不同，即测不准性。

考虑一个例子，在基本量子比特的一般表达式(3.2.1)中，量子比特可能处于0 态，也可能处于1 态，对应的概率分别为2α和2

β ，另外，根据叠加原理该量子比特还可以处于这两个态的线性态01αβ+ ，但无法知道该量子比特具体处于哪一个状态，要获得确定的结果必须测量该量子比特。而量子测量与测量基（即测量坐标系）的选取有关，若测量基选得不合适，测量不能给出精确结果。在图3.2中，二维Hilbert 空间中的一个任意量子比特ψ 可表示为以基矢0 和1为坐标系的Hilbert 空间中的一个矢量01αβψ=+。于是，以基矢0和1构成的测量基00和11对ψ 测量，得到的结果要么为0 要么为1 ，但不能完全确定ψ ，因为量子比特ψ 的振幅能

完全确定，但相位完全不确定（振幅与相位是一对测不准量），因而不能完全确定该量子比特。但是，如果以{''0,1为测量基测量量子比特ψ （见图3.2），

图3.2 量子比特的测不准性 则该量子比特是完全确定的，因为这种情况下量子比特可表示为''0αψ= 。之所以量子比特ψ 在{}''0,1中能完全测定而在{}0,1中不能确定，是因为该量子比特的相位和振幅在{{}''0,1中是确定的而在{0,1中是不确定的，根据量子力学的测不准原理，在{0,1中量子比特ψ 的相位和振幅不能同时精确测定，因而无法精确测定该量子比特。

量子比特的不可精确测量性是由测不准原理所决定的。值得指出的是，量子比特的这种特性使得量子比特和经典比特的性质完全不同。对于经典比特，任何条件下的经典比特都能被精确测定，而对于量子比特，若测量基矢不合适（当量子比特不是测量算符的本征态时），不可能对该量子比特获取精确的信息。这种性质在量子计算中造成一定的困难，但在量子保密通信中起着基础而重要的作用。 3.2.3 不可克隆性

克隆（clone ）是遗传学上的术语，是指来自同一个祖先、经过无性繁殖所产生相同的分子(DNA 、RNA)、细胞的群体或遗传学上相同生物个体。能否克隆出一个与未知量子比特完全相同的新量子比特，而且同时不破坏原来的量子比特？1982年Wootters 和Zurek 在《Nature 》上发表了一篇题为“单量子态不可克隆”的论文，提出了著名的量子不可克隆定理[Wootters 1982]。

定理3.1：在量子力学中，一般情况下未知量子态不可能被克隆。

下面我们看这个定理的简单证明[Desurvire 2009]。

证明：给定系统A

，处于任意态ψ，另外一个系统B ，任意一个纯态

s ，如果通过酉算子U

将ψ复制到s ，即

(

)U s ψψψ

?=? （3-36） 如果存在这样一个克隆算子U ，那个对系统A 中的另一个态

φ

（有φψ≠）也可以

复制到系统B 中，即 ()U s φφφ

?=? （3-37）

由于上述变换是线性的，则对系统A 中的任意态

=+χλψμφ（λμ，是复数）

也有：

(

)U s χχχ

?=? （3-38） 将上式中的χ用ψφ，的线性组合表示，则式（3-38）左边可写为有

()(

)+U s U s U s U s χλψμφλψμφλψψμφφ

???=???

=???+???????=?+? （3-39）

式（3-38）右边可写为

(

)(

)()22=++=+++χχλψμφλψμφ

λψψμλψφφψ

μφφ?????? （3-40）

将（3-39）和（3-40）代入（3-38）有 (

)()()-1+++-1=0λλψψμλψφφψμμφφ???? （3-41） 由于ψφ，是纯态，要使（3-41）成立，需使=0μλ，

所以=χψ

或=χφ。也就是说，如果存在一个算子U 可以克隆ψφ，，但是该算子不能克隆其线性组合。也就是说，一般情况下未知量子态不能被克隆。 ■

如果两个量子态正交的话，则它可以用同一酉演化过程克隆；反过来就是说非正交量子态不可克隆。

定理3.2：如果克隆过程可表示成一幺正演化，只有两个态相互正交时，它们才可以被相同的物理过程克隆，亦即非正交量子态不可克隆。

证明：设有任意两个量子态ψ

和φ可以通过U 算子克隆，即

(

)U s ψψψ?=? （3-42）

()U s φφφ?=? （3-43）

取上面两个方程的内积，并考虑幺正算符U 的特性U

U I +=，对纯态s ，有1=s s ，

有 (

)()(

)()s U U s φψφφ

ψψ+??=??

=s s ψ

φψφψ?

（3-44）

()2

=

φψφψ

?（3-45）

上式有两个可能的解：=0

φψ

或=1

φψ，即=

ψφ

或者

?

ψ⊥

。即这两个特殊的量子态要么相等，要么正交。

3.2.4 非正交态的不可区分性

如果两个量子比特ψ和φ

（归一化向量）的内积0

φψ=则称这两个比特正交，

如果0

φψ≠

，则称这两个量子比特非正交。定义量子比特ψ和φ的不可区分度D为[zeng 2010]

=cos

φψθ（3-46）其中θ是两个量子比特的夹角，01

θ

≤≤。如果两个量子比特是正交的，则它们是可区分的；如果量子比特非正交，则称它们是不可区分的。

区分任意两个非正交量子比特(,)

ψφ是量子信息中的重要命题。目前已出现多种近似区分任意两个非正交量子比特的方法，大多是基于POVM测量，这里给出两种方法：Bennett 方法和Ekert方法[Zeng 2010]。

（1）Bennett方法

Bennett方法选取两个投影算子

ψ

ψ

ψ

-

=1

P (3-47) φ

φ

φ

-

=1

P (3-48) 对量子比特进行测量，获得正确结果的概率为

2

1

2

φ

ψ

-

=

p

c

(3-49) 则获得错误结果的概率为

2

1

2

φ

ψ

+

=

p

e

(3-50) 可见，对非正交量子态，测量结果错误概率大于12。

（2）Ekert方法

Ekert方法构造的算子为

φ

ψ

ψ

ψ

ψ

+

=

1

-1

A(3-51)

φ

ψ

φ

ψ

φ

+

=

1

-1

A(3-52)

A A A φψ--=1? (3-53)

式中A ?表示非确定性算符。利用这些测量算子对量子比特进行操作，获得非确定性结

果的概率 θφψcos = (3-54) 即表明非正交量子比特,ψφ是不可区分的。

3.2.5 量子纠缠性

本章第2节介绍了复合基量子比特，它可以表示成(3.2.5)式的形式。复合基量子比特中

有一类特殊的量子比特—纠缠比特。从物理意义上来说，纠缠比特中的n 个单基对应n 个“系

统”（这里n 个“系统”指n 个粒子或同一个粒子的n 个状态），因此，在纠缠比特的情况下（3.2.5）

式的物理意义是：n 个系统通过（3.2.5）式的方式纠集在一起而构成一个总体。量子信息和

量子力学中称量子比特的这种性质为纠缠性，具有纠缠性的量子比特称为纠缠比特或纠缠

态。 纠 缠比特是量子计算的基础，但不是量子通信的基础，却发挥重要作用。纠缠量

子比特具有一个重要性质—关联性，下面以量子信息中常用的2粒子系统和3粒子系统中的

EPR 纠缠比特和GHZ 纠缠比特为例说明这种独特的性质。

两个粒子组成的纠缠量子比特中最为典型的是EPR 纠缠对，EPR 纠缠对可用下面的形式

表示，

1212121212(0011)(0011)ψ>=+=+ （3.4.22）

其中脚标“1”和“2”对应于两个粒子。这个系统的特征是：当粒子“1”处于状态0 时，

粒子“2”也必定处于状态0 ，而当粒子“1”处于状态1 时，粒子“2”也必定处于状态1 ，其概率均为50%。因此在对粒子“1”和“2”的测量过程中，若测得粒子“1”得结果是0（或1）态，即使没有测量粒子“2”也可以断定该粒子状态必定为0 （或1 ）

态，而不管两个粒子相距多远。但是，一旦这个系统被测量，两粒子间的纠缠特性不复存在。 上面介绍的是两个粒子处于相同状态的情况，这种情况下两个粒子称为是相干的。另外也存

在反相干的纠缠量子比特。例如下面纠缠比特的纠缠性，

'121212(0110)ψ=+ （3.4.23）

实验上已能制备纠缠量子比特。在光学参量下转换过程中，一个入射到适当非线性光学

材料的泵浦光子会同时产生出一对光子(称为孪生光子对)，在 型参量过程中，这两个光子

具有相同的频率但其偏振态彼此正交。因此，使用 型参量下转换非线性光学过程，其中

所产生的自发辐射孪生光子对即为EPR 粒子对，它可表示为(3.4.23)的形式。这种情况下0 和1 表示光子的两个相互正交的光子偏振态。例如,假设光子的极化是线偏振型的, 对其进

行

测量时, 若一个是水平方向, 则另一个是垂直方向, 因此记录的时侯,一方(如Alice)记录为水平方向,另一方(Bob)记录必为垂直方向, 反之亦然。

如前所述，GHZ 三重态是一个典型的三粒子纠缠系统，这种纠缠比特具有如下的特征和性质：

定理3.3 以共轭子空间表示的GHZ 三重态中，已知其中两个粒子的态，在该

GHZ 三重态未与其它任何粒子相互作用时，一定能知道第三个粒子的状态。

证明：GHZ 三重态可表示为如下形式

123123(000111)ψ=

+ （3.4.24）

式中脚标1,2,3分别代表三个粒子。定义两个本征态x , y ，用基矢0 ,

1 表示为如下形式，

)

)

))

010

1

10

1

x x y i y i +=

+-=-+=+-=-

注意到

)0x x =

++-，

)1x x =+-- GHZ 三重纠缠态可表示为

)()1

21

2

3

30

1x x x

x

ψ=

+++--+

()()1

21

2

3

301x

x x

x

+++--- (3.4.25)

上式说明可根据对粒子1和2的测量基来判定粒子3的测量结果，例如，若沿+x 方向测量粒子1和2，则粒子3的量子态为(

)

01/+若分别沿+x 和-x 方向测

量粒子1和2，则粒子3的量子态为(

)

01/

-(3.4.25)式的推导，可以

得出其它情况下的关联性，如下表所列，

表3.1 GHZ 三重态中三粒子的相干性

由表3.1可见,联合粒子1和2的测量结果可以确定粒子3的量子态。

定理3.4 以共轭子空间表示的GHZ 三重态中，已知其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态，但可以知道两个粒子的量子态是否相同。

证明：不失一般性，设GHZ 三重态中第三个粒子被测量而被人知道其状态。

因为对GHZ 三重态中的任意一个粒子测量或后，三粒子纠缠被解除，但未被操作

的另外两个粒子构成两粒子纠缠系统，其可能的取值有四个：

1

12)x x x x ψ=+++-- (3.4.26) 212()x x x x ψ=+-+-+ (3.4.27) 312()y y y y ψ=+-+-+ (3.4.28) 4

12()y y y y ψ=+++-- (3.4.29)

式(3.4.26-29)表明，GHZ 纠缠比特坍塌后的两粒子纠缠系统的状态是不确定的，

其状态取上述四个态中任意一个态的概率相同。即使两粒子系统的纠缠状态确定 （假设取1

12ψ 态），两粒子系统中每一个粒子的状态仍然是不确定的，因为粒

子1可以处在x + 态，也可以处在x - ，其概率各占1/2。因此，在GHZ 三重态中，已知其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态。但可以知道两个粒子的量子态是否相同，从表1中可知这一结论。

3.2.6 量子互补性

共轭性是量子比特的另一个基本属性。下面以光子的偏振来说明量子比特的共轭性。每

个光子都有一个偏振方向, 其偏振方向即是电场的振荡方向。在量子密码学中用到光子的线偏振和圆偏振两种光子偏振, 其中线偏振可取两个方向: 水平方向和垂直方向; 圆偏振包括左旋和右旋两种情况。在量子力学中, 光子的线偏振和圆偏振是一对共轭量,也就是说,光子的线偏振态与圆偏振态是不可同时测量的。值得说明的是, 在同一种偏振态下的两个不同 的方向是可完全区分的, 例如, 在线偏振态中的水平方向和垂直方向是可完全区分的，在圆偏振中取两个垂直方向如/4π和3/4π也是完全可区分的。实际上任意的正交量子态都是可区分的，因而可同时测量，但任何两个非正交态是不可区分的。在对光子的偏振态进行测量时, 可用晶片来测量光子的偏振方向。如果用于测量用的晶片(体)的轴与光子的偏振方向平行,光子能够完全通过,否则完全不能通过;如果光子的偏振方向与晶轴成一定的夹角θ , 则在与晶轴平行的方向有光子的偏振态以一定的几率出现,即光子的偏振态发生改变。用量 子力学中Dirac 算符来表示光子，两个线偏振光子态0 、/2π , 其中前者表示水平方向，后者表示垂直方向，在圆偏振光子态中取两个方向/4π、3/4π，这两个态可用光子线偏振态表示

(04π

=+

(3.4.30) 304π=- (3.4.31) 如果晶轴的方向与光子线偏振态的方向相同，则当所测量的光子是0 、/2π 中任意一个时，晶片能精确测出光子态，光子能完全通过。当所测量的光子是π / 4 、3/4π中任意一个时，晶片不能精确测量光子态，因为光子被测成0 态和/2π 态的几率各为一半，这实际上是由测不准原理所决定。光子的一对共轭偏振态是互补的,正是这一本质特征为BB84协议提供了实现的物理基础。

四．量子比特的变换

在一个量子系统中，经常会涉及到对量子比特的变换，包括对单个量子比特

的变换和对多个量子比特的变换。在量子力学中，一种变换对应一个量子力学算

符，而在量子信息领域中，一种变换就是一个量子逻辑门。下面介绍几种典型的

量子逻辑门和它们组成的简单量子线路的原理。

4.1量子逻辑门.

量子比特逻辑门是构成量子器件及量子逻辑运算单元的基本单位，广泛应用于量子计算、量子编码、量子通信和量子信息处理中。本节介绍单量子比特逻辑门和多量子比特逻辑门。

4.1.1 单量子比特逻辑门

单量子比特逻辑门包括Pauli-X 门、Pauli-Y 门、Pauli-Z 门、量子Hadamard 门、相位门和8π门。下面分别讲述。

1.Pauli-X 门

Pauli-X 门又称为量子非门，简称X 门，其将量子比特中的状态0和1交换，即把状态0+1αβ 变为0+1βα。若用矩阵表示这一变换，对应于Pauli-X 矩阵，这里用X 表示该变换矩阵

??????≡0110X (3-13 ) 若把量子态01αβ+写成向量形式[]T

αβ，则量子非门的输出为 ??

????=??????a a X ββ （3-14） 2.Pauli-Y 门

Pauli-Y 门（简称Y 门）即对量子比特施行Pauli-Y 矩阵（算子）运算，用Y 表示该算子，即

00i Y i -??=????

(3-15) 若把量子态01αβ+写成向量形式[]T

αβ，则Pauli-Y 门的输出为 2=e i Y παββα-????????????

（3-16） 3.Pauli-Z 门

Pauli-Z 门（简称Z 门）即对量子比特施行Pauli-Z 矩阵（算子）运算，用Z 表示该算子，即

1001Z ??=??-??

（3-17） 若把量子态01αβ+写成向量形式[]T

αβ，则Pauli-Z 门的输出为 =Z ααββ????????-????

（3-18） 在二维坐标平面看的话，Z 门的结果是将量子比特进行旋转。

4.量子Hadamard 门

量子Hadamard 门，简称H 门。其变换矩阵H 为

??????-≡111121

H (3-19) 若把量子态01αβ+写成向量形式[]T

αβ，则H 门的输出为

+-H ααβαβαββαβ+???=++???-???

(3-20) 可见，H 门是将以0和1为基矢的Hilbert 空间转化为以+和-为基矢的Hilbert 空间。由于2H I =，可见对量子比特连续进行两次H 门变换相当于没有进行任何逻辑运算。

5.相位门

我们先定义相移门（phase shift gate ），对应的矩阵R θ为

100i R e θθ??=????

（3-21） 若把量子态01αβ+写成向量形式[]T

αβ，则R θ门的输出为 =i R e θθααββ????????????

（3-22）

可见，R θ门不改变基矢0，将基矢映射为1i e θ，等效于在Bloch 球面上水平旋转θ度。当2=πθ时，相移门称作相位门，变换矩阵S 为

100S i ??=????

（3-23） S 门等效于在Bloch 球面上将量子比特水平旋转90度。 6. 8π门 相位门中，当4=πθ时，称作8π门，其变换矩阵T 可写为

4100i T e π??=??????

（3-24）

量子比特经过T 门后，输出为

4=i T e πααββ??????????????

（3-25）

在Bloch 球面上相当于绕水平面上旋转45度。

上述但量子比特逻辑门对应的矩阵均为酉矩阵。虽然存在无穷多个2×2酉矩阵,但是任

一单量子比特酉门都可以分解成一个旋转运算和绕z 轴旋转的门再加上一个全局相移ia e 的乘积,即[Neilsen 2000]

??

??????????????-??????=--2/2/2/2/0

02cos 2sin 2sin 2cos 00δδββγγ

γγi i i i ia e e e e e U （3-26） 其中, β,a ,γ和δ是实数。其中，第二个矩阵是普通的旋转，第一和最后一个矩阵为在不同平面内的旋转。通过该分解可精确描述任意单量子比特逻辑门的操作。

4.1.2 多量子比特逻辑运算

多量子比特量子逻辑门有很多种，如受控非(controlled-NOT ，简写为CNOT)门、交换门（swap gate ）、受控U 门、Toffoli 门和Fredkin 门[Neilsen 2000]。

1.受控非(CNOT)门

CNOT 门为两量子比特门，当第一个量子比特（称为控制量子比特）为1时，对第二个比特（称为目标量子比特）执行非操作，否则维持不变。其对应的变换矩阵为

（3-27）

CNOT 门的线路示意图如图3.2所示。

图3.2 CNOT 门 受控非门可以表示为如下映射：b →⊕a,b a,a ，其中⊕是模2加法，

2.交换门

交换门实现两个输入量子比特的互换，其线路符号如图3.3(a)所示。交换门的变换矩阵可写为：

（3-28）

(a) SWAP门的线路符号 (b)用CNOT门构建SWAP门

图3.3 SWAP门

交换门可由CNOT门构成，如图3.3(b)所示。设输入态为

b

a,

，可用映射关系来分析：

b

a

a

b

a⊕

→,

,

b

a

b

b

a

b

a

a⊕

=

⊕

⊕

⊕

→,

),

(

a

b

b

b

a

b,

)

(,=

⊕

⊕

→

可见，该线路能实现两个量子比特的交换。

3.受控U门

受控U门的输入有两个量子比特，如图3.4所示。

图3.4 受控U门

第一个量子比特是控制比特，其对输入的映射关系为

受控U门对应的矩阵为

（3-29）例如U门可以三个Pauli算子X、Y、Z，则可称为受控X门、受控Y门和受控Z门。

4.Toffoli门

Toffoli门也叫CCNOT(controlled-controlled-not)门，如图3.5所示，与CNOT门相比，它有两个量子比特的控制端。

图3.5 Toffoli门的线路示意图

Toffoli门是一个3量子比特门。如果前两个量子比特均为时，对第三个量子比特执行Pauli-X门操作。其真值表如表3.2所示。

INPUT OUTPUT

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 0

Toffoli门也可表示为如下映射：

?⊕?

→ (3-30)

a b c a b c ab

|,,|,,

5.Fredkin门

Fredkin门也称为受控置换（Controlled SWAP, CSWAP)门，是一个3量子比特门，如图3.6所示。

图3.6 Fredkin门的线路图

其真值表如表3. 所示。

表 Fredkin门的真值表

INPUT OUTPUT

C I1I2C O1O2

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

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