16.电磁感应习题思考题

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习题

16-1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中，已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量.求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势. 解：B??I 2?xd?ad ????Ild?a?I ?ldx?ln2?x2?d ???N

N?I0?ld?ad???lnco?st dt2?d16-2. 如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距

d?0.5cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的

方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？ 解：εab?NB2lv εdc?NB1lv ε?εdc?εab ?NB1lv?NB2lv??0IN1?0IalvN1(?)lv??1.92?10?4 2?dd?a2?d(d?a)16-3. 电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长120，

直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解：连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB形成闭合回

路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 εAO???v?B?dl???522Rμ0Iv2πxRdx??μ0Iv2πln2

εOB??v?B?dl???Rμ0Iv2πx2Rdx??μ0Iv2πln54

εAB?εAO?εOB??μ0Iv2πln52

16-4. 电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图所示，

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将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按B?B0sin?t的规律变化。已知

a?10cm，B0?2?10?2T，??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。

I??R?1R?d?dt2?1R?[??a??(2a)]?22dBdt?50?3?aB0?cos?tR2

Imax?

3?aB0?R?3??0.1?2?10102?2?9.42?10?3A

16-5. 如图所示，半径为a的长直螺线管中，有

dBdt?0的磁场，一直

导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为

2a，求：（1）AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；（2）B、C两

点间的电势差UB?UC。

解：

?E?dl??r2?2dΦdt

E1??dBdt r?a

E2??εAD?a2r?dBdt r?a

?Ea1?dl??Ecosθdl

22a?(a)2 ??2a?2rdB2dt2rdBdtdl

?34?a

2同理 εBC??E2?dl?πa6dBdt

整个闭合回路的电动势 ε?εBC?εAD?(UB?UC??(πa62?3a42)dBdt 逆时针方向

??103)a2dB dt

16-6. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h，电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以

dBdt?k(k?0,k为恒量)的规律变化，

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求圆柱体内涡电流的热功率.

解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁 ε?dΦdt?πr2dB 电阻 R?ρε2dt2πrhdr

dP?RR0?hdBρdt?rdr

P?

?πhdB23πhkR()?rdr?2ρdt8ρ24

16-7. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为a的圆柱面，中间是边长为l，间隔为d的两正方形平面，且l??a，a??d.（1）试求该回路的自感系数；（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场B?B0?kt，试求回路中的电流I(t).（回路中的电阻很小，可忽略不计）

解：（1） B?μ0nI?μ0 W?wV?2? ?Il

1B21B22??a2l??ld 2?02?0?0I2l12?a2?LI21?0I2d 2根据 W? L?

2?0?a2ldIdt??0d

?dΦdt（2）ε?LS I?L dΦ?S?dB

2?a2?ldlktkdt?kt?? ?2?0?a2?0??0dl

216-8. 一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积3.0cm，磁导率

??200?0，绕组中通有电流5.0mA，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）

两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在0.10s内由5.0A降低到0，次级绕组中的互感电动势。

解：（1）B?μnI Φ?NBS?NμnIS

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M?ΦI?NμnS?2?200?4π?10dIdt?6.03?10?4?7?40?10?3?10?22?4?6.03?10?4H

（2）ε?M?5?00.1?3.02?10V

16-9. 如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90?时，小线圈所受的磁力矩的大小；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：B?μ0I2b 任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ?Bπa2cosωt

小线圈的感应电流 i?εR?1dΦRdt?BωπaR42sinωt

当 ωt?π2时 pm?iπa?BωπaR222422BωπaR222

4 M?Bpm??μ0Iωπa4Rb2π2

W??iπa2Bdθ?BωπaR?20sin2θdθ??BωπaR224?μ0Iωπa16Rb22234

16-10. 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，导体圆柱的磁导率为?1，筒与圆柱之间充以磁导率为?2的磁介质。电流I可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解： B1?μ1Ir2πR21 r?R1

B2?μ2I2πr R1?r?R2

B121Wm??B2dV?2??2?dV??2?B222dV

??1?R1?1Ir2()?2?rdr2???02?1?2?R?1??1?2??2?R2R1(?2I2?)?2?rdr? 2?r??1I2?2I2R??ln2 16?4?R1Wm?LI2/2

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单位长度自感 L??1?2R?ln2 8?2?R116-11. 一电感为2.0H，电阻为10Ω的线圈突然接到电动势??100V，内阻不计的电

源上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。

解：（1）I(t)? W(t)?dW(t)dtεR12(1?e2?RLt)?3.9A

LI

?LI?dIdt?εIe?RLt?ε2R(1?e?RLt)e?RLt?238Js

（2）P?I2R?3.92?10?152Js

（3）电池组放出能量的速率 P?Iε?390Js

16-12. 在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?10?12F）上，加上频率为50Hz，峰值为1.74?105V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解：ID?CdUdt??ωCUmsinωt ω?2πf

?2??5?0 IDm??CUm?2?fCUm1?.0?121?05?1.74?10??55.4 6A10

思考题

16-1. 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为A，匝数为N，电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解：q???Idt?1RRq?εdt?

ΔΦR?NBAR

B?

NA16-2. 图中abcda电路有电阻R，其中bc段的一部分绕成圆形，圆形区域有一与回路平面垂直的均匀磁场B，在圆形导线的一边施加恒力F，由于a端固定，假定该圆开始的半径为r0，并维持以圆形的方式收缩，设导线非常柔软，忽略导线的质量，问需要多长的时间圆形部分完全闭合？

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答：t?

2πB23r0

3RF16-3. 在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为

，线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。 R（忽略自感）

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？

答：Φ?BScosφ?BScosωt I?εR?1RBSωsinωt 1RBSωsinωt

1R22 pm?IS? M?Bpmsinωt? W?BSωsin22222ωt

1RBSωπ

22?Mdθ??2π1R0BSωsinθdθ?16-4. 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样? 答：Id?CdUdt，

16-5. 图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场，均匀分布在圆柱形区域内.试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。

答： 略

16-6. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾；

（3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。 解：（1） （2）

?D?dS??qSi

?B?dSS?0

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（3）?H?dl?SS?SIc??D?t??D?tS?dS

（4）?E?dl????dS

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