2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题04 数列 693248

1.已知数列｛an-1

n｝满足a1=1，an=3+an-1(n≥2)． (1)求a2，a3；

(2)求通项an的表达式．

2．等差数列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( ) A.160 B．180 C. 200 D．220

3．设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn.

3 (Ⅰ)若首项a2

1=2，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)的正整数k;

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列｛an｝；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(S2

k)成立．

14.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=2an·(4-an),n?N.

(1)证明an＜an+1＜2,n∈N. (2)求数列{an

n}的通项公式a.

15.已知数列{a*

n}的前n项和为Sn,Sn=3(an-1)(n∈N).

(Ⅰ) 求a1,a2;

(Ⅱ)求证数列{an}是等比数列.

6.等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 ( )

1A. 4 或4

1541?338B. 4或

33?5418C. 4或-

1541?3333?54188D. 4或4或或

17.设数列{an}的首项a1=a≠4,且

?1a??2n??a?1?n4an+1=?n为偶数1,记bn?a2n?1?,n?1,2,3,?4n为奇数

(Ⅰ)求a2,a3;

(Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

lim(Ⅲ)求n??(b1+b2+b3+?+bn).

8.已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列. (Ⅰ) 证明12S3,S6,S12-S6成等比数列; (Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+?+na3n-2.

9.如图，△OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为

1（xn,yn）,an=2yn+yn+1+yn+2.

(Ⅰ)求a1,a2,a3及an;

yn*

(Ⅱ)证明yn+4=1-4,n∈N,

(Ⅲ)若记bn=y4n+4-y4n,n∈N,证明{bn}是等比数列.

10.在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,求数列{kn}的通项kn.

11.如图，直线l1:y=kx+1-k(k≠0，k≠

?12)与l2相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的

ak1,ak2*

,?,akn,?成等比数列,

垂线交于直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，?这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，?点Pn(n=1,2,?)的横坐标构成数列{xn}.

1*

(Ⅰ)证明xn+1-1=2k(xn-1)，(n∈N);

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅲ）比较2|PPn|与4k|PP1|+5的大小.

2

2

2

x?3(x??1).x?112.已知函数f(x)=设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-3|，

Sn=b1+b2+?+bn(n∈N).

(3?1)n*

（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤

23（Ⅱ）证明Sn＜3.

2n?1；

13．假设某市：2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?

(3)设几年后新建住房面积S为：400(1+8％)． 85％<25n+225n．

n

2

3n?1n-1n-1n-2

(2)由已知an-an-1=3，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=3+3+?+3+1=2.

2．【错误答案】 由通项公式an=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差数列求和，选C．

134.【错误答案】 用数学归纳法证明：（1）1°当n=1时，a0=1,a1=2a0（4-a0）=2,∴a0＜a1＜2,命题正

确.

2°假设n=k时有ak-1＜ak＜2.则n=k+1时，

1111ak-ak+1=2ak-1(4-ak-1)-2ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-2(ak-1-ak)(ak-1+ak)=2(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak＜0. 112

4-ak-1-ak＞0,∴ak-ak-1＜0.又ak-1=2ak(4-ak)=2[4-(ak-2)]＜2.∴n=k+1时命题正确.由1°、2°知，对

一切n∈N时有an＜an+1＜2.

111222

(2)an+1=2an(4-an)=2[-(an-2)+4].∴2(an+1-2)=-(an-2)∴an+1-2=2(an-2)令11112n1+2+?+2n-12n+2n-12n+2n-1

bn=-(2)·b1又∵b1=a1-2=-2.∴bn=-(2).即an=2-(2).

bn=an-2,∴

【正确解答】(Ⅰ)证明:由a1,2a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq=a+3aq.变形得(4q+1)(q-1)=0,

6333

133

所以q=-4或q=1(舍去)由

S612S3=

1?q31??,1216S12?S612a1(1?q3)1?qS6a1(1?q6)1?q=

S12?1??1?S6a1(1?q6)1?qa1(1?q12)1?q11+q-1=q=16,

6

6

得

S612S3=

S12?S6S6.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列.

(Ⅱ)解法

:Tn=a1+2a4+3a7+?+na3a-2=a+2aq+3aq+?+naq

3

6

3(n-2)

,

1112n-1

即Tn=a+2·(-4)a+3·(-4)a+?+n·(-4)a. ①

111111323n

①×(-4)a得:-4Tn=-4a+2·(-4)a+3·(-4)a+?+n·(-4)a ②

①-②有：

??1?n?a?1?????4???????1?51111114411?????4?-n·(-4)na=5a-(5+n)·(-4)na.4Tn=a+(-4)a+(-4)2a+(-4)3a+?(-4)n-1a-n·(-4)na=16?164?1a???n?n

所以Tn=25?255?·(-4)a.

139.【错误答案】（1）∵y1=y2=y4=1,y3=2,y5=4,可求得a1=a2=a3=2,由此类推可求得an=2 y41yn?1?yn?2,2(Ⅱ)将2yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=∴yn+4=1-4.

bn?1111(Ⅲ)bn+1=y4n+8-y4n+4=-4(y4n+4-y4n)=- 4bn.∴bn=-4.故{bn}是等比数列.

【易错点点睛】第(Ⅰ)问题运用不完全归纳法求出an的通项.理由不充分,第(Ⅲ)问中

bn?1bnbn?11=-4.要考虑b1是否为0.即bn有意义才更完整.

13【正确解答】(Ⅰ)因为y1=y2=y4=1,y3=2 ,y5=4,所以a1=a2=a3=2.又由题意可知yn?yn?12yn+3=.

11yn?yn?11*2∴an+1=2yn+1+yn+2+yn+3=2yn+1+yn+2+=2yn+yn+1+yn+2=an,∴{an}为常数列.∴an=a1=2,n∈N. yn1yn?1?yn?2yn?1?yn?2122(Ⅱ)将等式2yn+yn+1+yn+2=2两边除以2,得4yn+=1,又∵yn+4=,∴yn+4=1-4.

yy????111?1?4n?4??1?4n?4??4?(Ⅲ)∵bn+1=y4n+8-y4n+4=?-=-4(y4n+4-y4n)=- 4 bn,又∵b1=y8-y4=-4≠0,∴{bn}是公比为

1-4 的等比数列.

111（Ⅱ）解法：由题设知x1=1-k,x1-1=-k≠0,又由（Ⅰ）知xn+1-1=2k(xn-1), 所111n-1

以数列{xn-1}是首项为x1-1,公比为2k的等比数列.从而xn-1=-k×(2k),1n*

即xn=1-2×(2k),n∈N.

?y?kx?1?k,?11??y?2x?2,（Ⅲ）解法：由?得点P的坐标为（1，1）.所以

112222n2n-222

2|PPn|=2(xn-1)+2(kxn+1-k-1)=8×(2k)+2(22k),4k|PP1|＋5＝ 12222

4k[(1-k-1)(0-1)]+5=4k+9.

1111222

（i）当|k|＞2，即k＜-2或k＞2时，4k |PP1|+5＞1+9=10.D而此时0＜|2k|＜1，所以2|PPn|＜

8×1+2=10,故2|PPn|＜4k|PP1|+5.

11112122

(ii)当0＜|k|＜2，即k∈（-2，0）∪（0，2）时，4k|PP|+5＜1+9=10.而此时|2k|＞1，所以2|PPN|

222

＞8×1+2=10.故2|PPn|＞4k|PP1|+5.

222

(3?1)k (1)当n=1时，b1=3-1,不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤

(3?1)ak?32k?1.那么

bk-1=|ak+1-3|=

1?ak*

(3?1)??13?1?bk?22k.所以，当n=k+1时，不等式也成立.根据（1）和（2），

可知不等式对任意n∈N都成立.

(3?1)n(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知，bn≤

2n?1.所以

n(3?1)(3?1)???22n?12Sn=b1+b2+?+bn≤(3-1)+

23.*3任意n∈N,Sn＜

3?1)122?3?(3?1)?33?13?11?1?22＜（3-1）·.故对

1?(

易错起源1、等差数列

例1．若｛an｝是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )

A.4005 B．4006 C.4007 D.4008

【正确解答】 B ∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，且｛an｝为等差数列 ∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，

4006(a1?a4006)2且|a2003|＞|a2004|∴在等差数列｛an｝中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=＞0 ∴使Sn＞0成立

的最大自然数n是4006．

1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.

借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.

2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.

在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． 易错起源2、等比数列

n?2Snn例2．数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3?).证明: Sn(Ⅰ)数列{n}是等比数列；

(Ⅱ)Sn+1=4an.

【正确解答】

n?2Sn?1SnSn(Ⅰ) ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=nSn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)=Sn,所以n?1=2n故{n}是

以2为公比的等比数列.

Sn?1Sn?1Sn?1,,(Ⅱ)由(Ⅰ)知n?1=4·n?1(n2).于是Sn+1=4(n+1)·n?1=4an(n≥2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此

对于任意整数n≥1,都有Sn+1=4an.

1.证明等比数列时应运用定义证

an?1an为非0常数,而不能

2

anan?1(此时n≥2).

2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q.

3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则am·an=ap·ak”.

易错起源3、等差与等比数列的综合

11n-1n-1

例3．已知数列{an}的前n项和Sn=a[2-(2)]-b[2-(n+1)(2)](n=1,2,?),其中a,b是非零常数,则

存在数列{xn}、{yn}使得（ ）

A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列 B．an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都为等差数列

C．an=xn·yn,其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列 D．an=xn·yn,其中{xn}和{yn}都为等比数列

1n-1

【错误答案】∵a[2-(2)]=xn，

1n-1

b[2-(n-1)(2)]=yn,又∵xn,yn成等比数列，故选D.

【易错点点睛】应从数列{an}的前n项和Sn的表达式入手，而不能从形式上主观判断. 【正确解答】C.

11111n-1n+1n-2n-2n-1

a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a[2+(2)]-b[2-(n+1)·(2)]-a[2+(2)]+b[2-n(2)]=(bn-b-a)·(2)1n-1

∵{(2)}为等比数列,{bn-a-b}为等差数列.

1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.

2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.

3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.

(1)等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．

(2)在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．

(3)由一个数列构造生成的新数列，再判断其是否是等差或等比数列时，如果已经有通项公式，则可以直接由通项公式的特征判断，如果只有递推关系，则需要用定义来证明．

(4)数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究． 易错起源4、数列与解析几何、函数、不等式的综合 例4．已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：

a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,?),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,?),其中a为常数，k为非零常 数.

(Ⅰ)令bn=aa+1-an(n∈N),证明数列{bn}是等比数列； (Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

liman.*

(Ⅲ)当|k|＜1时，求n??

【错误答案】(Ⅰ)证明:由b1=a2-a1≠0,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.由数学归纳法可证bn=an+1-an≠0(n∈N).由题设条件，当n≥2时

bna?af(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1n??bn?1an?an?1an?an?1an?an?1*

=k

故数列{bn}是公比为k的等比数列.

函数、数列、解析几何三者的综合，展示了知识的交汇性，方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系，即数列是一种特殊函数，以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不等式的综合更显出问题的综合性. 易错起源5、数列的应用

例5．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N,且x1>0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与Xn成正比，死亡量与xn成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C，

(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式；

(Ⅱ)猜测：当且仅当x1,a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) (Ⅲ)设a=2，c=1，为保证对任意x1∈(0，2)，都有xn>0，n∈N，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论．

【错误答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cxn (axn，bxn，cxn分别为繁殖量、捕捞量，死亡量) (Ⅱ)xn=x1(n∈N)．由(Ⅰ)式得xn(a-b-cxn)=0．

a?b∴x1=c

+

2

2

+

2

+

(Ⅲ)∵x1 ∈(0，2)．a=2．c=1．∴0<2-b<2 0

【易错点点睛】 (Ⅲ)问中使用了第(Ⅱ)问的结论，而第(Ⅲ)中并不一定每年年初鱼群的总量不变． 【正确解答】 (1)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn，因此xx+1- xn=axn-bxn-cxn，n∈N．(*) 即xn+1=xn(a-b+1- cxn)，n∈N．(答案：)

2

*

*

2

本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。

1. 已知公比为q的等比数列{an}，若bn=an+2an+2，n∈N，则数列{bn}是 ( ) A.公比为q的等比数列 B．公比为q的等比数列 C.公差为q的等差数列 D．公差为q的等差数列

2. 若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1} ( ) A.一定是等比数列

B．可能是等比数列，也可能是等差数列 C.一定是等差数列 D．一定不是等比数列

13 . 已知无穷等比数列{an}的各项和为2，则a1的范围是 ( )

22

*

A．-1

B．0

11 c．0

D．所给条件不足以确定a1，的范围

14. 等比数列{an}中，a1=512，公比q=-2,用Ⅱn表示它的前n项之积：Ⅱn=a1·a2?an，则Ⅱ1，Ⅱ2?中最

大的是 ( )

A．Ⅱ11 B．Ⅱ10 C．Ⅱ9 D．Ⅱ8

5. 互不相等的三个正数x1、x2、x3成等比数列，且点P1(logax1，logby1)、P2(logax2，logby2)、P3(logax3，logby3)共线(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则y1、y2、y3成 ( ) A.等差数列，但不成等比数列 B．等比数列而非等差数列 C．等比数列，也可能成等差数列 D．既不是等比数列，又不是等差数列

6. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，那么一定有 ( ) A．an+1≤bn+1 B．an+1≥bn+1 C．an+1bn+1

7. 在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2，n∈N)，如果x1=1，x2=a(a∈R，a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列前2005项的和是( ) A．668 B．669 C．1336 D．1337

18. 在等差数列{an}中，首项a1=25，从第10项起开始大于1，那么此等差数列公差d的取值范围

为 ．

则由已知可得不等式组

9. 已知函数f(n)=

2??n,n为奇数,?2???n,n为偶数, 且an=f(n)+f(n+1)，那么a1+a2+a3+?+a200= .

10. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2，表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×2+1×2+0×2+1×2=13，那么将二进制数（是 .

bn3

2

1

0

111?1???20）2转换成十进制数

11. 已知点Pn(an，bn)满足：对任意的 (1)求过点P0、P1的直线l的方程;

(2)证明点Pn(n≥2)在直线l上;

(3)求点Pn的极限位置．

2n∈N，an+1=anbn+1，bn+1=1?an12,3,又知P0(3)．

112.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=2(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．

(1)证明数列{3+an}是等比数列；

(2)数列{an}中是否存在构成等差数列的四项?

1. 答案： A

解析：由bn=an+2an+2=a1q+2a1qn+1=a1(1+2q)·q,∴{bn}是公比为吁的等比数列． 2. 答案： B

解析：an=a1g(a1≠0，q≠0)，an+an+1=a1q(1+q)，当q=-1时，{an+an+1}为等差数列，当q≠-1时，{an+an+1}为等比数列，选B．

n-1

n-1

n-1

2

n-1

83,7525) 8. 答案：(

解析：设等差数列{an}公差为d． 则由已知可得不等式组

(2)答案：已知p0、p1，在直线l上，假设pk(ak,bk)在l上，则有ak+bk=1，则

bnbk?11?akak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1=(ak+1)·1?ak2?．

∴pk+1(ak+1,bk+1)也在直线l上，∴点pn∈l，(n∈N，n≥2)．

bn21?an?1?an1?,(1?an)(1?an)a?an (3) 答案：∵bn+1=

?an?1?anbn?1??1an?1?1?1anan,1?an

?1?1??a ∴?n?构成等差数列，公差d=1，首项a0=3，

∴

1an1liman3?n=3+n，an=,∴n??=0，

1an?13?(n?1)3?n?1an4?n3?n ∵bn+1=

limbn ∴n??=1，∴pn的极限位置为(0，1)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s8vx.html