同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程

第三篇 常微分方程

第六章 常微分方程

函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节 微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1 引例

引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程．

解 设所求曲线方程为y?f(x)，且曲线上任意一点的坐标为(x,y)．根据题意以及导数的几何意义得

dy?2x. dx 两边同时积分得

y?x?c （c为任意常数）．

又因为曲线通过（1，2）点，把x?1，y?2代入上式，得c?1．故所求曲线方程为

2y?x2?1．

?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的

速度与温度T成正比，求物体的温度T与时间t之间的函数关系．

解 依照冷却定律，冷却方程为

dT， ??kt （k为比例常数）

dt所求函数关系满足t?0，T?100．

以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念．

1.2 微分方程的基本概念

定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方

1

程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．

例如 下列微分方程中，

（1） y??3x?1； （2）dy?ysinxdx?0； （3）y???1(y?)2?2?0 x?2u?2udy（4）2?2?1； （5）?cosy?3x．

?x?ydx都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．

本课程只讨论常微分方程．

定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n阶微分方程记为：

F(x, y, y?, ?, y(n))?0．

定义3 若将y?f(x)代入微分方程中使之恒成立，则称y?f(x)是微分方程的解（也称显式解）；若将?(x,y)?0代入微分方程中使之恒成立，则称关系式?(x,y)?0是微分方程的隐式解．

定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．

引例1中，积分后得到y?x?C为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．

设微分方程中未知函数y?y(x)，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是

2yx?x?y0；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是yx?x?y0，y?x?x?y1，上述

000这些条件叫做初始条件．

定义5 求解微分方程y??f(x,y)满足初始条件yx?x?y0的特解问题称为一阶微分

0方程的初值问题．记作

??y??f(x,y)． ?y?y0??x?x0

例1 验证x?c1cosat?c2sinat是微分方程

x???a2x?0

的解．

解 x?c1cosat?c2sinat的一阶导数x?和二阶导数x??分别是

2

x???c1asinat?c2acosat，

x????c1a2cosat?c2a2sinat ??a2?c1cosat?c2sinat?．

把x?和x??代入微分方程中，

?a2?c1cosat?c2sinat??a2?c1cosat?c2sinat??0．

因此，x?c1cosat?c2sinat是微分方程的解．

2如果c1、c2是任意常数，则解x?c1cosat?c2sinat是二阶微分方程x???ax?0的

通解．

d2ydy?y?0的通解，求满足初始条件例2 已知y?(C1?C2x)e是微分方程2?2dxdx?xyx?0?4，y?x?0??2的特解．

解 由题意得

y??[(C1?C2x)e?x]??(C2?C1?C2x)e?x，

把yx?0?4，y?x?0??2分别代入得

?C1?4, ??C2?C1??2即

?C1?4， ?C?2?2于是微分方程的特解为

y?(4?2x)e?x．

习题 6-1

1．指出下列各微分方程的阶数．

（1）xdy?ydx?0； （2）x(y?)?2y??xy?0；

2 （3）y???yy??2y?x ； （4）y?y???(y???)?x?y；

2 (5)y???y??2cosy??y； (6)

35dy?y2?x2； dxd?d2QdQQ???sin2?． ??0； （8） （7）L2?Rd?dtdtC

3

2. 验证下列函数是所给的微分方程的解．

sinx,xy??y?cosx； （2）y?ex,y???2y??y?0； x1222 （3）y??,xy??xy?xy?1 ； （4）y?x2?1,y??y2?(x2?1)y?2x．

x （1）y? 3．验证函数y?Ce特解．

4．写出下列条件确定的曲线y?y(x)所能满足的微分方程． （1）曲线在任一点M(x,y)处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍． （2）曲线在任一点M(x,y)处的切线斜率与该点横坐标成正比．

5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t表示时间（变量），x表示人口总数（依赖于时间变化），k表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件． 6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢， 渐渐地， 小树长高了并且长得越来越快， 几年之后， 绿荫底下已经可乘凉了； 但长到某一高度后， 它的生长速度趋于稳定， 然后再慢慢降下来． 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比， 又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),k?0的是比例常数）

?x并求满足初始条件y?x?1是微分方程y??y?x的解，

x?0?2的

4

第二节 可分离变量微分方程

本节我们讨论的是一阶微分方程y??f(x,y)的解法．

2.1 可分离变量微分方程 引例 微分方程

dy?ex?y，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形： dxeydy?exdx，

此时，方程右边是只含x的函数的微分，方程左边是只含y的函数的微分，对上式积分，得

yxedy?e??dx，

即

ey?ex?C（C为任意常数）．

这就是微分方程的通解．

一般地，一阶微分方程y??f(x,y)，如果能变形为

g(y)dy?f(x)dx

的形式，则方程y??f(x,y)称为可分离变量的微分方程．此处，f(x),g(y)为连续函数．

根据以上所述，解可分离变量的微分方程y??f(x,y)的步骤如下： 第一步：分离变量，将方程写成g(y)dy?f(x)dx的形式； 第二步：两端积分：g(y)dy???f(x)dx；

第三步：求得微分方程的通解G(y)?F(x)?C，其中G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的原函数．

例1 求微分方程

dy?2xy的通解． dxdy=2xdx， yx2?C1 解 将方程分离变量，得到

两边积分，即得ln|y|?x?C1 ，即y??eC2??ee．

C1x2由于?e1是任意非零常数，又y?0也是方程的解，故原方程的通解为

． y?Cex（C为任意常数）

注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：

2

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