高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作

n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．

??n?a?0④根据法向量定义建立方程组?.

??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即

a?kb(k?R).

⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明

a?u，即a?u?0.

⑶面面平行。若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1?l2，只需证明a?b，即

a?b?0.

⑵线面垂直

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l??，只需证明a∥u，即a??u.

②（法二）设直线l的方向向量是a，平面?内的两个相交向量分别为m、n，若

??a?m?0,则l??. ???a?n?0⑶面面垂直。 若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证???，只需证u?v，即证u?v?0.

4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角

已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为?，

则cos??AC?BDACBD.

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为u，直线与平面所成的角为?，a与u的夹角为?， 则?为?的余角或?的补角

的余角.即有：sin??cos??⑶求二面角

a?uau.

二面角的平面角是指在二面角??l??的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO?l,BO?l，则?AOB为二面角??l??的平面角.

如图：

A B O l B O A 求法：设二面角??l??的两个半平面的法向量分别为m、n，再设m、n的夹角为?，二面角??l??的平面角为?，则二面角?为m、n的夹角?或其补角???. 根据具体图形确定?是锐角或是钝角：

如果?是锐角，则cos??cos??m?nmn， 即??arccosm?nmn；

?m?n??. 如果?是钝角，则cos???cos???， 即??arccos???mn?mn??m?n5、利用法向量求空间距离

⑴点Q到直线l距离

若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点Q到直线l1距离为 h?(|a||b|)2?(a?b)2 |a|⑵点A到平面?的距离

若点P为平面?外一点，点M为平面?内任一点，平面?的法向量为n，则P到平面?的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.

即d?MPcosn,MP?MP?n?MPnMP?n?MPn

⑶直线a与平面?之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即d?⑷两平行平面?,?之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

n?MPn.

d?n?MPn.

⑸异面直线间的距离

设向量n与两异面直线a,b都垂直，M?a,P?b,则两异面直线a,b间的距离d就是

MP在向量n方向上投影的绝对值。 即d?n?MPn.

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