三角形全等的判定_经典习题2221

三角形全等的判定

类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。 求证：△ABC≌△DEF。

类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。【答案】

A

B

C

证明：

类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF

类型之四:综合

已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。求证：∠B= ∠E。【答案】证明：

1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。 证明：

2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。

A

F

EC

D

B

1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相

等吗？说明你的理由．

【解析】审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．

本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了．

【答案】相等．

证明：∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB＝∠AOC＝90°

∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL） ∴BO＝CO

2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。

【解析】本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。

【答案】

AB

D

CE

证∠C+∠1=90°，而∠2+与△ADC全等，而这由

证明：∵AD⊥BC

∴∠BDA=∠ADC=90°

∴∠1+∠2=90°

在Rt△BDF和Rt△ADC中

BF AC

FD CD

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C

∴∠1+∠C=90°

∴∠BEC=90°

∴BE⊥AC

1. 已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。

【解析】由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。

【答案】

证明：在△ABC和△BAD中，

AB AB(公共边)

CAB DBA(已知) AC BD(已知)

∴△ABC≌△BAD（SAS）

∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等） 又∵∠CAB=∠DBA（已知）

∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等） ∴∠CAD=∠DBC。

2. 已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。求证：△BIH≌△

IBJ

【解析】从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。 【答案】 证明：∵HI∥BC

∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）

∵JI∥BA

∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）

HIB JBI(已证)

∴在△BIH与△BIJ中 BI BI(公共边)

HBI JIB(已证)

∴△BIH≌△BIJ（ASA）

1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。

【解析】要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。 【答案】 证明：∵CE=FB

∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：

A

F

EC

D

AB CD

AE DF BE CF

∴△AEB ≌△DFC（SSS） ∴∠B= ∠C

在△AFB和△DEC中：

B

AB CD

B C BF CE

∴△AFB ≌△DEC（SAS） ∴AF=DE

说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。 2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。

【解析】此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。

【答案】

证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵D是BC的中点 ∴BD=CD

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中

BD CD

DE DF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴BE=CF 同理可证AE=AF

∴AE+BE=AF+CF即AB=AC

课时作业：

A等级

1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 △ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥

AC

2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 OA=OB，

OC=OD

3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 △ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D

4、判断

( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.

( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.

5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件ABC≌△B′C′A′(ASA). 6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC上，且BE=EA. ∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____. 7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______. 8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠.

9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形.

10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在

.

B等级 11、判断

( )1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.

12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC于C，若∠ADP=35°，则∠。

13、若△ABC≌△A′B′C′,且AB=10cm，BC=6cm,则A′C′的取值范围为14、在△ABC和△DEF中，∠C=∠D，∠B=∠E，要使两三角形全等，需增加条件( ) A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. ∠A=∠F 15、下列条件能判断△ABC≌△DEF的是( )

A. ∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=∠E B. ∠A=∠D,AB+AC=DE+DF B. ∠A=∠D, ∠B=∠E,AC=DF D. ∠A=∠D,AC=DF,BC=EF

16、△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm

17、∠MON的边OM上有两点A、C，ON上有两点B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，则①△OAD≌△OBC，②△ACE≌△BDE，③连OE.则OE平分∠AOB，以上结论( )

A.只有一个正确 B.只有一个不正确 C.都正确 D.都不正确

18、△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD为角平分线，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为( ) A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm

19、B为AC上一点，在AC同侧作等边△EAB及等边△DBC,那么下列式子错误的是( ) A.△ABD≌△EBC B. ∠BDA=∠BCE C.△ABE≌△BCD

D.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么△NBC≌△MBD

20、线段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，∠COD=60°，∠C=25 ，AC，BC交于E，则∠BED的度数是( )

A.

C等级

21、已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。

求证：△ADE≌△EFC

60° B.70° C.80° D.50°

22、已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。 求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。

23、已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。

24、已知：AB=CD，AB∥DC。求证：△ABC≌△CDA。

25、已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD。求证：DE=BC。

26、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。求证：∠ABE=∠ACD。

27、已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。

28、如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD．

29、如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC， 求证：∠ABC=∠

DCB.

30、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.证明：△ABC≌⊿A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)

证明：分别过点B、B1，作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1， 则∠BDC=∠B1D1C1=90º.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1.

∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1.

⑵归纳与叙述：由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论.

A等级答案

1．3对，△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF，△BDA≌△CDA

2．3对，△OEC≌△OED，△ECA≌△EDB，△OEA≌△OEB

3．3对，△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABE≌△ACF 4．1.）× 2.）√ 3.）√ 4.）× 5．∠B=∠C′ 6．70° 7．5cm 8．140° 9．3 10．A、B B等级答案

11．1.）× 2.）× 3.）× 4.）√ 12．7.145° 13．4＜A′C′＜16 14．C 15．

C

16．C 17．C 18．B 19．C 20．B C等级答案

ADE EFC

21．在△ADE与△EFC中 DE FC

AED ACB

∴△ADE≌△EFC（ASA）

22．∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=CA

GAB HBC

在△ABG与△BCH中 AB BC

GBA HCB

∴△ABG≌△BCH（ASA）

同理可证：△BCH≌△CAD ∴△ABG≌△BCH≌△CAD

23．∵∠ABC与∠3互补，∠ABD与∠4互补，又∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD

1 2

在△ABC与△ABD中 AB AB

ABC ABD

∴△ABC≌△ABD（ASA）

24．∵AB∥CD ∴∠1=∠2

AB CD

在△ABC与△CDA中 1 2

AC CA

∴△ABC≌△CDA（SAS）

25．∵DA⊥AB，CA⊥AE ∴∠DAB=∠EAC ∴∠CAB=∠DAE ∴在△CAB与△EAD中

CA AD

CAB EAD AB AE

∴△CAB≌△EAD（SAS） ∴DE=BC

26．∵AB=AC

D、E分别为AB、AC中点 ∴AD=AE

∴在△ADC与△AEB中

AD AE

A A AC AB

∴△ADC≌△AEB（SAS） ∴∠ABE=∠ACD

AB AB(公共边)

27．证明：在△ABC和△BAD中， CAB DBA(已知)

AC BD(已知)

∴△ABC≌△BAD（SAS）

∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等） 又∵∠CAB=∠DBA（已知）

∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）

∴∠CAD=∠DBC。

28．因为CE=BF，所以CE+EF=BF+EF，即BE=CF，

AB CD, 在Rt△AEB和Rt△DCF中，

BE CF,

所以△ABE≌△DCF， 所以∠B=∠C， 所以AB∥CD．

29．因为AE⊥BC，DF⊥BC， 所以在Rt△ABE和Rt△DCF

中，所以Rt△ABE≌Rt△DCF， 所以∠ABC=∠DCB．

30．⑴又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°， ∴△ADB≌△A1D1B1 ，∠A＝∠A1， 又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1， ∴△ABC≌△A1B1C1。

⑵若△ABC与△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．则△ABC≌△A1B1C1．

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