第十一届高数竞赛经济类试题答案

南昌大学第十一届高等数学竞赛(经济类)试题答案

一、填空题

1、 a?2； 2、 1； 3、 （10，20）； 4、

?2x0f(t)dt?2xf(x)； 5、

11?. 22e二、单项选择题

1、C； 2、B； 3、B； 4、A； 5、D.

三、解：原式=

limx?0ln(1?x)?ln(x?1?x2)ln(x?1?x2)ln(1?x)

11x?(1?)21?xx?1?x21?x?limx?011ln(1?x)?ln(x?1?x2)1?x1?x2=limx?01?x2?(1?x)22(1?x)ln(1?x)?1?xln(x?1?x)x?1211?x?lim??2x?02ln(1?x)?1?xln(x?1?x)?121?x

ax

四、令y1?xx,y2?xa,y3?xx，则lny1?xalnx,lny2?axlnx,lny3?xlnx，所以

y1??y1(axa?1axalnx?)?xx(axa?1lnx?xa?1)

xxxxaaaxy2??y2(alnalnx?)?x(alnalnx?)

xxxy3??y3(lnx?1)?xx(lnx?1)

所以f?(x)=x(axxaa?1xaxlnx?x)+x(alnalnx?)+axlna[xx(lnx?1)].

xa?1axx五、显然x2?x1，假设n?k时xk?1?xk?0，则有

xk?2?xk?1?xk?1xxk?1?xk?k??0

1?xk?11?xk(1?xk?1)(1?xk)即n?k?1时也有xk?2?xk?1。由数学归纳法可知，xn?1?xn。又显然0?xn?2，由单调有界准则可知limxn存在。

n??设limxn?a，对xn?1?1?n??axn1?5两边求极限得a?1?，从而a1?，

1?a1?xn2a2?1?51?5（舍去），故limxn?.

n??222六、解：由于f(x)在(??,??)内连续且为偶函数，f?(x)?2x(2?x2)e?x， 令f?(x)?0得x?0或x??2 由于f(0)?0，f(?2)?又limf(x)?x???? 2 0(2?t)e?tdt?1?e?2

? +? 0(2?t)e?tdt?1，故f(x)在x?0处取最小值0，在x??2处取最大值1?e?2.

七、解：设S(x)???axnn?0?n，则

??S?(x)??nanxn?1n?1，S??(x)??n(n?1)anxn?2n?2??an?2xn?2?S(x)

n?2?S??(x)?S(x)?所以?S(0)?a0?3

?S?(0)?a?11?由特征方程r?1?0得r1?1,r2??1，故通解为

2S(x)?C1ex?C2e?x

再由初始条件可得C1?2,C2?1，所以该幂级数的和函数为

S(x)?2ex?e?x.

2八、解：记D1?{(x,y)|1?x?2,2x?x?y?x}，则

??Df(x,y)dxdy???xydxdy??xdx?D11222x2x?x2ydy?49. 20九、解：

?z?f1?g?(x)?f2? ?x?2z????f12??h?(y))?f21???f22??h?(y)?(f1?g?(x)?f2?)?g?(x)(?f11． ?x?y?y???(g?(x)h?(y)?1)f12???h?(y)f22?? =-g?(x)f11十、设过抛物线上点P所作的切线交x轴为A(a,0)，交y轴为B(0,b)。则该切线

2方程为y??2x0x?x0?1，故a?112(x0?),b?x0?1。 2x0当x0?0时，所围图形面积

111312S?ab??(?x2?1)dx?(x0?2x0?)?

024x03S?(x0)?0，得x0?3。 3函数S(x0)在区间(0,??)内只有一个驻点，而根据实际意义S(x0)在区间(0,??)内存在最小值，所以必在该点取得最小值。因此，所求切点为P(32,)。由对称性可知，另一切点33为P?(?32,). 33?十一、解：1、an??401tn1ntanxdx??dt?tdt?，所以 ?001?t2n?1ntanx?t1?an1110?k?k?k?1，由k?1?1可知?k?1收敛，从而由比较判别法可知

nn(n?1)nn?1n级数?an收敛. kn?1nnn?2、limun?limn??n??ln(n?2)1?limnln(n?2) 1an??a?nnn?1因为n?2时n?2?en，从而1?nln(n?2)?nn；又因为lim，所以

n??limnln(n?2)=1，故limnun?n??n??1 a1?1时，原级数收敛； a1当0?a?1，即?1时，原数发散；

a当a?1，即0?当a?1时，级数为

ln(n?2)ln(n?2)，因为lim???，则原级数发散. ?n??11nnn?1(1?)(1?)nn?

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