高中数学人教版必修一知识点总结梳理

一 集合

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。 2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示：

（1）用大写字母表示集合：A,B? （2）集合的表示方法：

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??} b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，?x?Rx?2?3? c、韦恩图：用一条封闭曲线的内部表示.

4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合? 5、元素与集合的关系：a?A；a?A ? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集：（即自然数集）N 正整数集: N*或 N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R

6、集合间的基本关系 （1）“包含”关系—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含

关系，称集合A是集合B的子集。记作：A?B（或B?Ａ）

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?（2）“包含”关系—真子集

如果集合A?B，但存在元素x?B且x?A，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

（3“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”；如果A?B 同时 B?A 那么A=B

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 （4）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集，A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 定 义 由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属的元素所组成的集合,于集合B的元素所组成叫做A,B的交集．记作的集合，叫做A,B的并A?B（读作‘A交B’） 集．记作：A?B（读作‘A并B’） 补 集 全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作CSA， 韦恩图示 ABABS A 图1 图2 CU(CUA)?A 性 质 A ∩ A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B?A A ∩B?A A ∩B?B A U A=A A U Φ=A A U B=B U A A U B?Ａ A U B?B AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ． 二 函数 1.函数的概念：记法 y=f(x)，x∈A．

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法： 4.函数的基本性质

a、函数解析式的求法

（1）代入法：（2）待定系数法：

（3）换元法：（4)拼凑法： （5）方程组法。

b、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数（或式）大于等于零；

(3)对数式的真数必须大于零； （4）零次幂式的底数不等于零;

（5）分段函数的定义域为各段范围的并集;

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. c、相同函数的判断方法；?定义域一致，②对应法则一致

d.区间的概念：

e.值域 （先考虑其定义域） 5.分段函数 6．映射的概念

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 注意：函数是特殊的映射。 7、函数的单调性(局部性质) （1）增、减函数定义 （2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上是增函数的图象，从左到右是上升的；在单调区间上是减函数的图象，从左到右是下降的. （3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：○1 取值；○2 作差；○3 变形；○4 定号；○5 结论． (B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能随意把单调性相同的区间合在一起写成其并集.

8、函数的奇偶性（整体性质） （1）奇、偶函数定义

（2）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断； b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x) = f(x)， 则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x)，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. （4）函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 （5）若已知是奇、偶函数可以直接用特值 9、 基本初等函数

一、一次函数

二、二次函数：二次函数的图象与性质.(注意：二次函数值域求法：配方法) 三、指数函数 （一）指数

1、有理指数幂的运算法则 2、根式的概念 3、分数指数幂

正数的分数指数幂

a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)，amn?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1)

（二）指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，

函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质 a>1 6540

四、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，

记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○2 loga○

M?logaMN－logaN；

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

注意：换底公式

logab?logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logca利用换底公式推导下面的结论

nnlogb?logab；（2）logab?1． （1）amlogba（三）对数函数 1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，

函数的定义域是（0，+∞）．

2、对数函数的性质： a>1 0

五、幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右

边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 10、方程的根与函数的零点

（1）函数零点的概念：对于函数y?f?x? ，把使f?x??0成立的实数叫做函数的零点。 （2）函数零点个数的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． （3）二次函数的零点：?判断 （4）二分法可用来求变号零点.

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