2013年美国数学建模竞赛B题

水资源计划 摘要

本文是要设计一个有效的，可行的，低成本的用水计划，来满足某国2025年的用水需求。我们选择中国为研究对象，根据中国各地区历年的水资源总量并求出其均值，参考各地区历年用水总量来预测2025年的用水总量，将两者相减得出差值，并以此为依据将中国各地区分为缺水地区，不缺水地区，水资源丰富地区三类。经研究分析有两种可行性高的方案。第一种，由水资源丰富地区向缺水地区提供水。第二种，是由沿海缺水城市进行海水淡化并运往其他缺水城市。我们主要考虑经济因素对两种方案进行分析研究，最终得出结论由水资源丰富地区铺设管道向缺水地区提供水为最优方案。并以各省的省会作为核心城市，说明全省的需水和调水情况，并以省会城市或直辖市为顶点构成一个赋权图，即把问题转换为求水资源丰富地区到缺水地区的最短路问题，并用图论的知识来解决问题。在此基础上考虑到此方案会改变就业，生产力，水资源利用等因素，从而对经济，物理，环境产生不同程度的影响，并用层次分析加以研究，最终以报告的方式向政府反映。

关键词：回归分析 最小生成树 层次分析法

一、问题重述

淡水是世界大部分地区的发展限制。试建立一个数学模型，用来确定一个有效的、可行的和低成本的水资源战略，以满足2025年预计的用水需求，特别是，您的数学模型必须解决存储和输送，去盐碱化和环境保护等问题。如果可能的话，用你的模型探讨此战略在经济，物理和环境等方面的影响。试提供一个非技术性的文件，向政府相关部门介绍你的方法以及其可行性和成本，并说明为什么它是“最好的水战略” 。

二、符号说明

?：预测得出的2025年用水量； y

S1：输水的造价； S2：海水淡化的造价；

d1: 输水工程的单位造价； d2：海水淡化的单位造价；

R2：拟合度.

三、模型假设

1.从2013年到2025年各外部因素对水资源总量无影响，例如：雪灾、地震、洪水、战争等对环境的影响； 2.各地区海水淡化单位费用相同； 3.不同地区淡水转移的单位费用相同；

4.人们的消费水平及劳动力费用不会随意外事故发生明显改变。

四、问题分析

以下内容以中国为例，考虑到中国的实际国情，我国是世界上12个贫水国家之一，淡水资源还不到世界人均水量的1/4。全国600多个城市半数以上缺

水,其中108个城市严重缺水。地表水资源的稀缺造成对地下水的过量的开采。50年代，北京的水井在地表下约5米处就能打出水来，现北京4万口井平均深达49米，地下水资源已近枯竭。据环境监测,全国每天约有1亿吨污水直接排入水体。全国七大水系 中一半以上河段水质受到污染。35个重点湖泊中，有17个被严重污染， 全国1/3的水体不适于灌溉。90%以上的城市水域污染严重,50%以上城镇的水源不符合饮用水标准，40%的水源已不能饮用,南方城市总缺水量的 60%-70%是由于水源污染造成的。地球表面的70%是被水覆盖着的，约有14千亿立方米的水量,其中有 96.5%是海水。剩下的虽是淡水，但其中一半以上是冰,江河湖泊等可直 接利用的水资源，仅占整个水量的0.0003%左右。首先我们对中国的水资源的总量及用水的各部分做出统计，并能其做出折线图，下面即是对水资源总量及用水量的统计（2003-2011年）

图1关于全国用水量与总资源的统计

我们对水资源（包括农业用水，工业用水，生态用水，生活用水等）的几大用处进行统计分析，因为水资源的使用大致集中在这几个方面，可以用这四个方面的平均值代替人均用水，并对人均用水情况进行进一步分析。下图即为我们作出的相关图像。

图2水资源在生活中的各种应用

从数表中可以看出，用水量逐年增加，而水资源却在缓慢枯竭，制定有效、经济、可持续的水资源战略刻不容缓。

对2003-2011年全国各省的用水量和可利用的水资源做出统计（数据来源均来自官方网站），经过Excel等软件的处理，初步得出各省的用水量随时间变化的数据及各省的水资源供给量随时间变化的数据。考虑到是制定2025年的用水战略问题，所以需要得出各省在2025年水资源的匮乏及丰沛情况。下面用到回归分析的方法，用回归模型预测出各省在2025年的水资源供给量及居民的用水量。因为可利用的数据量偏少，水资源供给量在拟合过程中拟合度较低，所以没用它的线性拟合值，我们用2003-2011年水资源供给量的均值来代替。

因为中国的省会城市流动人口太大，所以用预测出的人均水量来代表地区的水资源的丰匮情况误差太大。所以我们直接用预测出的水资源供给量与用水量的差值来给出一个地区的缺水等级。根据差值的情况以及本地区居民的水使用情况，我们大致将全国的省会城市划分为三个等级，然后在三个等级中找出具有代表性的城市，再以其为代表，考虑水资源的调度问题。

在有关水的供给问题上，即各地区之间的输送，考虑三个方案，即富水区向匮水区的输送、海水的淡化、雨水的补给。而在水资源的相互输送问题上，

通过分析，选出以北京市为代表的7个匮水区，以广东省为代表的5个富水区，然后再由图论中的prim算法得出最短路径。

考虑到中国已有的“南水北调”工程，参考它的单位造价，我们计算由水资源丰富区向水资源缺乏区的输水造价。同时我们考虑其它补水方案，包括海水淡化和雨水补给以及它们的造价，经过比较所有方案，我们给出最佳水策略。给出最佳水策略后，我们采用层次分析法（AHP）分析我们给出的水策略对于经济、物理和环境的影响。最后，通过综合分析，我们写一篇最佳水策略的报告。

为了表达方便，以下建模过程中用到的省会及城市名称均采用缩写形式。

Province 缩写 Beijing Tianjin Hebei Shanxi Neimenggu Bj Tj Hb Sx Nmg 省会简称 Bj Tj Sjz Ty Sh Nj Nc Province 缩写 Hubei Hub Hunan Hun Guangdong Gd Guangxi Gx Hainan Hain Chongqing Cq Sichuan Sc Guizhou Gz Yunnan Yn Xizang Xz Shaanxi Sax Gansu Gs Qinghai Qh Ningxia Nx 省会简称 Cs Gz Cd Km Yc Liaoning Ln Jilin Jl Heilongjiang Hlj Shanghai Sh Jiangsu Js Zhejiang Zj Anhui Fujian Jiangxi Ah Fj Jx

Shandong Sd Henan Hen Xinjiang Xj 表1 省及省会城市的简称 五、模型的建立与求解

（1）首先我们找出各地区2003-2011年的水资源总量及用水总量的数据，考虑到水资源总量的相对稳定性，我们求出各地区水资源总量的均值作为2025年预测值：

Area Average Area Average Area Bj Tj Hb Sx Nmg Ln Jl Hlj 23.86 12.78 140.81 99.16 410.48 304.94 393.57 708.61 Sh Js Zj Ah Fj Jx Sd Hen 29.20 Hub 427.16 Hun 887.82 Gd 728.17 Gx 1097.96 Hain 1387.43 Cq 345.77 Sc 445.87 Gz Average Area Average 959.41 Yn 1593.59 Xz 1720.18 Sax 1714.90 Gs 349.44 Qh 523.81 Nx 2416.57 Xj 915.94 1881.33 4437.44 428.83 217.32 708.40 9.71 902.66 表2各地区水资源总量的均值

图3 均值的条形图

由图及数据分析可知，西藏、四川、云南等地的水资源总量较多，上海、北京、天津等地的水资源总量较少。

下面是我们统计的各地区2003-2011年用水总量，年份用x来示，各地每年的用水总量用y来表示，利用这些数据来建立y的预测模型，为了分析y与x之间的关系，可用已统计好的数据来作y和x的散点图，并拟合出各省相应的线性模型。 黑龙江 Year Hlj 2003 245.8 2004 259.4 2005 2006 2007 2008 2009 2010 325 2011 352.36 271.5 286.21 291.4 297.01 316.25 由表中数据建立假设模型y??0??1?x，经拟合得出：模型的散点图拟合曲线和回归系数估计值及其置信区间、检验统计量R2、F、P、s2的结果见表1

表1

参数 参数估计值 参数置信区间 [-27624,-20280] [10,14] ?0?1 -23902 12 R2=0.9727, F=249.5264,p<0.0001,s2=34.9476 结果分析：表1显示，R2=0.9727指因变量97.27%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于?，因而模型从整体来看是可用的。表中的回归系数给出了模型中?0，?1的估计值，即?0=-23902，?1=12。检查它们的置信区间发现，都不包含零点，即参数估计值可用于该模型得：

?= -23902+12 ，R2=0.9727 y重庆 年份 Cq 由表中数据建立假设模型y??0??1?x，经拟合得出：模型的散点图拟合曲线和回归系数估计值及其置信区间、检验统计量R2、F、P、s2的结果见

表2

2003 63.2 2004 67.5 2005 71.2 2006 73.2 2007 77.4 2008 82.77 2009 85.3 2010 86.39 2011 86.79

表2

参数 参数估计值 -6238.3 3.1 参数置信区间 [-7298.9,-5177.7] [2.6,3.7] ?0 ?1 R2=0.9659 ,F=198.2574 ,p<0.0001,s2=2.9966 结果分析：表2显示，R2=0.9659指因变量96.59%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值， p远小于?(0.05)，因而模型从整体来看是可用的。表中的回归系数给出了模型中?0，?1的估计值，即?0=-6238.3，?1=3.1。检查它们的置信区间发现，都不包含零点，即参数估计值可用于该模型得：

?= -6238.3+3.1?x，R2= 0.9659 y同上分析方法得： 湖北 年份 Hb 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 245.1 242.7 253.4 258.79 258.7 270.71 281.41 287.99 296.7

?= -13455+7x，R2=0.9574 y福建 年份 Fj 2003 182.8 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 184.9 186.9 187.25 196.3 198.04 201.44 202.45 208.82

?= -6381.9+3.3x，R2= 0.9596 y安徽 年份 Ah 2003 2004 2005 208 2006 2007 2008 2009 2010 2011 178.6 209.7 241.87 232.1 266.36 291.86 293.12 294.63

?= -30079+15x，R2=0.9372 y江 西

年份 Jx 2003 172.5 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 203.5 208.1 205.68 234.9 234.21 241.25 239.75 262.86

?= -18677+9x，R2=0.8988 y内蒙古 年份 Nmg 2003 166.9 2004 171.5 2005 2006 2007 180 2008 2009 2010 2011 184.7 174.8 178.69 175.78 181.25 181.9

?= -3582.2+1.90x，R2=0.8384 y辽宁 年份 Ln 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 128.3 130.2 133.3 141.24 142.9 142.78 142.79 143.67 144.53

?= -4070.80+2.10x，R2= 0.8110 y新疆

年份 Xj 2003 500.7 2004 497.1 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 508.5 513.43 517.7 528.22 530.9 535.08 523.51

?= -8339.3+4.4x，R2= 0.8142 y陕西 年份 Sx 2003 75.1 2004 75.5 2005 78.8 2006 84.08 2007 81.5 2008 85.46 2009 84.34 2010 83.4 2011 87.76

?= -2821.7+1.4*x R2= 0.80090 y上海 年份 Sh 2003 109 2004 118.1 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 121.3 118.57 120.2 119.77 125.2 126.29 124.5

?= -3076.50+1.6*x R2 =0.7102 y吉 林 年份 Jl 2003 104 2004 99.2 2005 98.4 2006 102.9 2007 2008 2009 2010 2011 100.8 104.08 111.09 120.04 131.24

?= -6516.5+3.3*x R2=0.6715 y河 南 年份 Hen 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 187.6 200.7 197.8 226.98 209.3 227.53 233.71 224.61 229.05

?= -10151+5*x R2=0.7199 y四川 年份 Sc 2003 209.9 2004 2005 2006 2007 214 2008 2009 2010 2011 210.4 212.3 215.13 207.64 223.46 230.27 233.47

?= -5426.3+2.8*x R2= 0.6741 y山 西 年份 Sx 2003 56.2 2004 55.9 2005 55.7 2006 59.29 2007 58.7 2008 56.92 2009 56.27 2010 63.78 2011 74.18

?= -3095.7+1.6*x R2= 0.5120 y北京 年份 Bj 2003 35 2004 34.6 2005 34.5 2006 34.3 2007 34.8 2008 35.08 2009 35.5 2010 35.2 2011 35.96

?= -246.66+0.14*x R2=0.5476 y江苏 年份 Js 2003 433.5 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 525.6 519.7 546.38 558.3 558.32 549.23 552.19 556.17

?= -20923+11*x R2 =0.5374 y广东 年份 Gd 2003 457.5 2004 464.8 2005 459 2006 459.4 2007 2008 2009 2010 2011 462.5 461.53 463.41 469.01 464.22

?= -1225.5+0.8*x R2= 0.4282 y天津 年份 Tj 2003 20.5 2004 22.1 2005 23.1 2006 22.96 2007 23.4 2008 22.33 2009 23.37 2010 22.49 2011 23.09

?= -360+0.19*x R2= 0.3306 y海南 年份 Hain 2003 46.3 2004 46.3 2005 44.1 2006 46.46 2007 46.7 2008 46.89 2009 44.46 2010 44.35 2011 44.48

?=446.29-0.20*x R2=0.2185 y贵州 年份 Gz 2003 93.7 2004 94.3 2005 97.2 2006 99.97 2007 98 2008 2009 2010 2011 101.89 100.38 101.45 95.93

?=-1194.8+0.6*x R2=0.3382 y西藏 年份 Xz 2003 25.3 2004 28 2005 33.2 2006 35.03 2007 36.7 2008 37.53 2009 30.85 2010 35.2 2011 30.97

?= -1375+0.7*x R2= 0.2198 y山东 年份 Sd 2003 219.4 2004 214.9 2005 211 2006 2007 2008 2009 2010 2011 225.82 219.5 219.89 219.99 222.47 224.05

?= -1565.2+0.90*x R2 = 0.2911 y浙江 年份 Zj 2003 206 2004 207.8 2005 2006 2007 211 2008 2009 2010 2011 209.9 208.26 216.62 197.76 203.04 198.54

?= 2214.9 -x R2= 0.2065 y

广西 年份 Gx 2003 278.4 2004 290.8 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 312.9 314.42 310.4 310.1 303.36 301.58 301.81

n=3，RI=0.58，Calculated by Matlab,we get the answer:

对应的归一化向量为：WB?3?=(0.50 0.33 0.17)T 由计算我们得出 CI?CR???nn?1?3?3=0 3?1CI0=0<0.1 ?RI0.58so the coherence of the matrix is qualified

由以上计算得出WB(1)?0.36??0.27??0.50??????(2)??(3)??0.550.180.33 WWBB?????? ?0.09??0.55??0.17???????我们以WB(k)为列向量构成矩阵WB(k)

WB(k)?(WB(1),WB(2),WB(3))

?0.360.270.50?????0.550.180.33??0.090.550.17???

WB(k)最后算出组合权重W

?0.360.270.50??0.32??0.32???????W=WB(k)W(1)=?0.550.180.33??0.60?=?0.31?

?0.090.550.17??0.08??0.37???????由计算我们得出结论：采用管道输水的方法对环境的影响最大，对经济的影响次之，对物理的影响最小。

模型评价

我们最初的模型是“线性回归”模型。在我们的模型中R2均比较理想，这说明我们的模型有较好的预测效果。利用我们的模型可以预测出未来数年的各地区的用水情况。并可以根据预测合理安排水资源。

在接下来的“最小生成树”模型中，我们列举出各城市之间的距离，用Prim模型，得出最短输水方案。我们的模型简单、易懂、也符合实际情况。模型对以后解决此类求最短路问题及其他类似问题提供了有效地方法。

最后的模型中，我们采用“层次分析法”。在方法中通过构造成对比较矩阵来判断我们的运水方案对经济、物理和环境的影响。该方法对决策性问题给出一个可行的解决方法。

报告

综合以上分析我们建议：

2025年的水计划可以分为以下四个部分：

1、 根据预测的2025年我国各地区水资源总量与该地区用水总量

的差值，把我国分为三个区域，差值<0为缺水地区，差值在0-1000之间为自给地区，差值>0为富水地区。

2、 采用由富水地区向缺水地区调水的方法解决缺水地区的用水问

题。

3、 加强废水的净化来提高水资源的利用率。 4、 提高水费来控制用水总量。 为什么选择我们的模型？

我们的模型是经计算得出的最具可靠性、可行性、节约成本的方法。并且可以估算出该方案对经济、物理、环境的影响大小，这样有利于水资源的合理利用和分配。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s882.html