2011高考数学模拟压轴大题总结

2011高考数学模拟压轴大题总结+详细解析

2??aa?t,a?tn121.（重庆八中高2010级高三（上）第一次）已知在数列中，，其中t?0，

3x?t是函数f(x)?an?1x?3[(t?1)an?an?1]x?1(n?2)的一个极值点.

(1)求数列

?an?的通项公式；

n? 2an111*n1(n?N)?????2?22?t?2bn?2bb2bn1?an(2)若2，，求证：1.

'3at?3[(t?1)an?an?1]?0 f解答. (1) 由题意得：(t)?0 ，即n?1 故

an?1?an?t(an?an?1)(n?2)，则当t?1时，数列?an?1?an?是以

2n?1t2?t为首项，t为公比的等比数列，所以an?1?an?(t?t)t 由

an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?t?(t2?t)[1?t?t2???tn?2]1?tn?1?t?(t?t)??tn1?t2

n*a?t(n?N)――――――――6分 t?1n此式对也成立，所以

11111?(an?)?(tn?t?n)?t?2nnnb2a2(2t)?1,t?22nn（2），因为，所以， (2n?2?n)?(tn?t?n))?则

111nnnn(2?t)[(2t)?1]?0?(2?2?n)nb2(2t) ，有n

1111111?????[(2?)?(22?2)???(2n?n)]bb2bn2222 故111112(1?2n)?????[b1b2bn21?211(1?n)2]?2n?1(1?1)?2122n1?2

n?11111nn??????2??2n?2?22b1b2bn22―――――――12分

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2.（南充高中2010届高三第二次）已知函数

02n?112n?1rr2n?1?rn3n?112nCx??Cx?????C(?1)x?????Cx，其中n(n?N?)． Cxnnnnnf(x)=

（1）求函数f(x)的极大值和极小值； （2）设函数f(x)取得极大值时x= p≤

2n?10122rrrnn2n?1nf(x)?x[C?Cx?Cx?????C(?1)x????Cx]x(1?x)nnnnn解答（1） =，……1

an，令bn=2?3an，Sn=bb12?b2b3?????bnbn?1，若

Sn

N＋恒成立，求实数p和q的取值范围．

分

f?(x)?(2n?1)x2n?2(1?x)n?x2n?1?n(1?x)=x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。……2分

?令f(x)?0 x1?0,x2? x

2n?1,x3?13n?1，从而x1

（-∞，0） 0

2n?1（0，3n?1）

+

2n?13n?1

0

2n?1（3n?1，1）

—

1 （0，+∞）

f?(x) f(x)

+ 0 0 +

?

无极值

?

极大值

?

极小值

?

(2n?1)2n?1?nn2n?13n?1所以当x=3n?1时，y极大=(3n?1)；当x=1时，y极小=0. ……5分

当n为奇数时f(x)的增减如下表 x （-∞，0） 0

2n?1（0，3n?1）

+

2n?13n?1

0

2n?1（3n?1，1）

—

1 （0，+∞）

f?(x) f(x)

+ 0 0 —

?

无极值

?

极大值

?

无极值

?

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2n?1(2n?1)2n?1?nn所以当x=3n?1时，y极大=(3n?1)3n?1。……8分

2n?12n?1（2）由（1）知f(x)在x=3n?1时取得最大值。所以an=3n?1，

11111babnbn?1??(?1?3n?2)n=2?3n=3n?1，(3n?1)(3n?2)33n

S111111113[(2?5)?(5?8)?????(3n?1?3n?2)]?1?1n?=63(3n?2)6。 n?N??0?11111113(3n?2)?15????2)?0???1，153(3n即1063(3n?2)6；

p?(??,11所以实数p和q的取值范围分别是10]q?[.??)，6。……14

3.(2010届扬州市高三数学学情调研测试)

{a已知数列

n}是首项为a1?14,公比q?14的等比数列，bn?2?3log1an(n?N*)4，数列

{cn}满足cn?an?bn。

（1）求证：

{bn}是等差数列； （2）求数列{cn}的前n项和Sn；

c1 （3）若

n?4m2?m?1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。

a1n?()n(n?N*)?bn?3log1an?2,b1?3log1a1?2?1解答：（1）由题意知，444?bn?1?bn?3log1an?1?3logan?11an?3log1a?3log1q?3444n4

∴数列

{bn}是首项b1?1,公差d?3的等差数列

a1,b12）由（1）知，n?()nn?3n?2(n?N*)?cn?(3n?2)?()n,(n?N*)（44

?Sn?1?14?4?(14)2?7?(14)3???(3n?5)??114)n?1?(3n?2)?(4)n,

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设

111111Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)??)n?(3n?2)?()n?144444于是4 311111Sn??3[()2?()3???()n]?(3n?2)?()n?144444两式相减得4

?11212n?81n?1?(3n?2)?()n?1.?Sn???()(n?N*)24334

111?cn?1?cn?(3n?1)?()n?1?(3n?2)?()n?9(1?n)?()n?1,(n?N*)444（3）

c2?c1?14

∴当n=1时，

当

n?2时,cn?1cn?1?cn,即c1?c2?c3?c4???cn∴当n=1时，cn取最大值是4

又

1211m?m?1对一切正整数n恒成立?m2?m?1?444

2m?4m?5?0得m?1或m??5 即

32fx??x?ax?b(a,b?R)??4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次)已知函数.

（1）若（2）若

f?x?f?x?在[0，2]上是增函数，x?2是方程

f?x??01)??2；的一个实根，求证：f(

的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数a的取值范围.

2f'()x??3x?2ax解答：（1）

2'(x)??3x?2ax?0 由题可知f在[0，2]上恒成立. 22?320x?ax??23ax?x

当x?0时此式显然成立，a?R；

a?3x恒成立，易见应当有2a?6?a?3当x?(0,2]时有2，

2'(x)??3x?2ax?0可见f在[0，2]上恒成立，须有a?3

(2)?0?b?8?4a又f ?f(1)?a?b?1?7?3a??2

（2）设

P(x,fx),Q(y,fy)f?x?????是图象上的两个不同点，则

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f?x??f?y?x?y3232(??xax??b)(??yay?b)?1??1xy?

22?(xyx??y)??a(xy)?1 ?

22?x?(y?a)x?(y?ay?1)?0此式对于x恒成立，从而

22??0?3y?2ay?a?4?0

2?'?0?a?3?a?(?3,3)y此式对于也恒成立，从而

注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.

13x?46a2f(x)＝2,g(x)?，ax?ax?15.(衡阳市八中2010届高三第二次数学（理科）设函数＞3，

(1) 求函数f(x)的极大值与极小值； (2) 若对函数的

x0??0,a?，总存在相应的x1,x2??0,a?，使得g(x1)?f(x0)?g(x2)成

立，求实数a的取值范围.

3(x2?1)?(3x?4)?2x?(3x?1)(x?3)f?(x)??2２22(x?1)(x?1)解答(1)定义域为R

令

1f?(x)?0,x1??3.x2?3，且

x f?(x) (??,?3) — ↘ -3 0 1(?3,)3 13 0 1(,??)3 + — f(x) 极小值 ↗ 极大值 ↘191f()?f(?3)??2，极小值为2 ∴f(x)：极大值为3 (2)依题意，只需在区间?0,a?上有

?f(x)?max??g(x)?max

?f(x)?min??g(x)?min

?1??1?190,,a???f(x)?f()?,f(x)?3??3?maxf(x)????32 ∴在↑，↓取小值f(0)或f(a)

f(0)＝４，f(a)? 又

3k?4a(3?4a),f(a)?f(0)?a2?1a2?1

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1333a?4?a?f(x)?min?f(a)?2?f(x)?min?f(0)?4,当4时，a?1 ∴当3＜a＜4时，

又g(x)在?0,a?↓

??g(x)?max?g(0)?6a,?g(x)?min?g(a)?3a

134

a?

3 ∴ 式即为 3＜a＜4

99?6a?6a22 或

4?

43a?4?3a3 a2?1

134

a?

3 3＜a＜4

a?

解的

4434a??a?33 3 （无解） 3 ∴ 4a?

44

a?33 3

6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理） 已知函数f(x)?ln1?2x?mx

（Ⅰ）f(x)为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当m??1时，求函数f(x)的最大值；

4f(a)?f(b)??2m?11?a?b?03a?b（Ⅲ）当时，且，证明：. 11(x??)f?(x)??mf(x)?ln1?2x?mx2 ∴1?2x解答：（1），

x??因为对

11?(0,??)2，有1?2x

f?(x)?11?m?0x??1?2x2恒成立 ………2分 ，对

∴不存在实数m使

f?(x)?由

11?m?0m??1?2x1?2x， 恒成立，∴

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1?01?2x而，所以m?0 ?f?(x)?11?m?0x??1?2x2恒成立。 对

经检验，当m?0时，

∴当m?0时，f(x)为定义域上的单调增函数 ………4分

（2）当m??1时，由

f?(x)?1?2x?1??01?2x1?2x，得x?0

1x?(?,0)2时，f?(x)?0，当x?(0,??)时，f?(x)?0 当

∴f(x)在x?0时取得最大值，∴此时函数f(x)的最大值为f(0)?0 ………7分

（3）由（2）得，ln1?2x?x对

x??12恒成立，当且仅当x?0时取等号

当m?1时，f(x)?ln1?2x?x，∵1?a?b?0，a?b?0

f(b)?f(a)?ln∴

1?2b2(b?a)?(b?a)?ln1??(b?a)1?2a1?2a

?b?a(a?b)(2?2a)?(b?a)??1?2a1?2a

f(a)?f(b)2?2a?a?b1?2a ∴

f(a)?f(b)2?2a?a?b1?2a 同理可得

2?2a14?1??1?a?b?0，1?2a1?2a3

2?2b1?1??21?2b1?2b 4f(a)?f(b)??2a?b∴3 ………12分

1(?,??)法二：当m?1时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），f(x)在2第 7 页 共 22 页

上递增

g(x)?f(x)?令

411x?ln(1?2x)?x323

g?(x)?112(1?x)??1?2x33(1?2x)在?0,1?上总有g?(x)?0，即g(x)在?0,1?上递增

当0?b?a?1时，g(a)?g(b)

44f(a)?f(b)4f(a)?a?f(b)?b??33a?b3 即

h(x)?f(x)?2x?令

1ln(1?2x)?x2由（2）它在?0,1?上递减 ∴h(a)?h(b)

即f(a)?2a?f(b)?2b

f(a)?f(b)?2(a?b) ∵a?b?0

f(a)?f(b)4f(a)?f(b)?2??2a?ba?b∴，综上3成立 ………12分

其中0?b?a?1

7.(银川一中2010届高三年级第二次) 已知

f(x)?logax,g(x)?2loga(2x?t?2),(a?0,a?1,t?R)

（Ⅰ）当t?4,x??1,2?,且F(x)?g(x)?f(x)有最小值为2时，求a的值；

1,2?时，有f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围 （Ⅱ）当0?a?1,x??4(x?1)22loga(2x?2)?logax?logaF(x)?g(x)?f(x)?t?4,x解答（1）=

又

?loga4(x?y?x?1?2)x

1在x??1,2?单调递增x，

?当a?1时F(x)在x??1,2?也单调递增?F(x)min?loga16?2，解得a?4

时当0?a?1

F(x)在x??1,2?也单调递减?F(x)min?loga18?2，

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解得a?18?32，舍去 所以a?4

2logx?2log(2x?t?2)?logx?log(2x?t?2)f(x)?g(x)aaaa（2），即 2??0?a?1,x?1,2?x?(2x?t?2)?，，?x?2x?t?2，?x?2x?2?t，

?x?2x?2?t，依题意有(x?2x?2)max?t

117y?x?2x?2??2(x?)2?48 而函数

1,2?,x?1,2，ymax?1，所以t?1 因为x??8.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科） 等比数列{

??an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N? ，点(n,Sn)，均在函数

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

bn?（11）当b=2时，记

n?1(n?N?){b}T4an 求数列n的前n项和n

x?(n,S)y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的n?Nn解答:因为对任意的,点，均在函数

nS?b?r, n图像上.所以得

当n?1时,

a1?S1?b?r,

nn?1nn?1n?1a?S?S?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)bn?2nnn?1当时,, n?1aa?(b?1)bbn又因为{}为等比数列, 所以r??1, 公比为, 所以n

n?1n?1a?(b?1)b?2n（2）当b=2时，,

bn?n?1n?1n?1??4an4?2n?12n?1

则

Tn?234n?1?????2223242n?1

1Tn?2234nn?1??????2324252n?12n?2

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121111n?1Tn?2?3?4?5???n?1?n?2222222 相减,得211?(1?)n?1123n?12??n?2122?3?1?n?11?42n?12n?2 2

所以

Tn?31n?13n?3????22n2n?122n?1

9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科） .设函数

f?x??x2?aIn?1?x?有两个极值点

x1、x2，且x1?x2

（I）求a的取值范围，并讨论

f?x?的单调性；

（II）证明：

f?x2??1?2In24

a2x2?2x?af??x??2x??(x??1)1?x1?x解答: （I）

令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为

2x??12。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均

???4?8a?01?0?a?g(?1)?a?0，得2 大于?1的不相等的实根，其充要条件为?⑴当⑵当⑶当

x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数；

x?(x2,??)时，

f??x??0,?f(x)在

(x2,??)内为增函数；

g(0)?a?0,??（II）由（I）

1?x2?02a??(2x22+2x2) ，

?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?1h?x??x2?(2x2?2x)ln?1?x?(x??)2， 设

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则

h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?

11x?(?,0)[?,0)h??x??0,?h(x)22⑴当时，在单调递增；

⑵当x?(0,??)时，

h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。

111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?224

故

f?x2??h(x2)?1?2In24．

www.ks5u.com

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，

f(a)?f(b)?0f(1)?1a、b?[?1,1]a?b?0a?b且，若任意的，当时，总有． （1）判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：

f(x?1)?f(1)x?1；

2f(x)≤m?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒成立，其中p?[?1,1]（p是常数）（3）若，求实

数m的取值范围．

?1,1?解答（1）f(x)在?上是增函数，证明如下：

f(x1)?f(x2)f(x1)?f(?x2)??0x1?x2x1?(?x2)任取

x1、x2???1,1?，且x1?x2，则x1?x2?0，于是有

，

?1,1?而x1?x2?0，故f(x1)?f(x2)，故f(x)在?上是增函数； ?1,1?（2）由f(x)在?上是增函数知：

???1≤x?1≤1??2≤x≤0??1?≤1??x≥2,或x≤0??2≤x??2??1≤x?1???x??2,或1?x?2?1x?1??x?1?，

故不等式的解集为（3）由（1）知

?x?2≤x??2?．

最大值为

f(1)?12f(x)≤m?2pm?1对所有的x?[?1,1]恒，所以要使

f(x)第 11 页 共 22 页

21≤m?2pm?1成立，即m(m?2p)≥0成立． 成立，只需

①当p?[?1,0)时，m的取值范围为(??,2p]?[0,??)； ②当p?(0,1]时，m的取值范围为(??,0]?[2p,??)； ③当p?0时，m的取值范围为R． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2f(x)?x?bx?2,x?R. 11.(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知

（1）若函数F(x)?f[f(x)]与f(x)在x?R时有相同的值域，求b的取值范围；

2f(x)?|x?1|?2在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并（2）若方程

11??4.xx2证明1

解答（1）当x?R时，f(x)?x?bx?2的图象是开口向上对称轴为

2x??b2的抛物线，

?8?b2??8?b2?,??,??????44f(x)F(x)?f[f(x)]???的充要条件 ∴的值域为，∴的值域也为?8?b2b≤?,即b2?2b?8≥0,?b≤?2,或b≥42是4，

即b的取值范围为(??,?2]?[4,??).

222f(x)?|x?1|?2,即x?bx?|x?1|?0，由分析知b?0 （2）

?bx?1,|x|≤1,0?x1?x2?2,令H(x)?x2?bx?|x2?1|??2?2x?bx?1,|x|?1, 不妨设

因为H(x)在(0,1]上是单调函数，所以H(x)?0在(0,1]上至多有一个解.

1xx???0212x,x?(1,2)2x?bx?1?0122若，即x1、x2就是的解，，与题设矛盾.

H(x1)?0得b??1x1因此，x1?(0,1],x2?(1,2).由

，所以b≤?1；

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H(x2)?0得b?由

1?2x2,x27??b??1.所以2

7??b??12f(x)?|x?1|?2在(0,2)上有两个解. 2故当时，方程b??由

11和b??2x2x1x2消去b，得

11??2x2.x1x2x2?(1,2),得 由

11??4.x1x2

12.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份)

已知数列

{an}中，a1?1，且

an?nan?1?2n?3n?2(n?2,n?N*)． n?1(Ⅰ) 求数列

{an}的通项公式；

3n?1bn?*a(n?N)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小； n(Ⅱ) 令2cnan?1{}cn?2**T(c?1)n?1(n?N)，数列n(Ⅲ) 令的前n项和为n．求证：对任意n?N，

都有

Tn?2．

an?anan?1nan?1?2n?3n?2??2?3n?2n?1n?1知， n，

解：(Ⅰ)由题

ana1??2?2?3?2?32???2?3n?21由累加法，当n?2时，n

an2(1?3n?1)?1??3n?1a?1，得n?2时，n1?3代入1

n?1*a?1a?n?3(n?N)． ．1又，故n．．．．．．．．．．．．．．．4分

3n?11bn??*an． n（II）n?N时，

方法1：当n?1时，

S21?1?1111?1S22?1????22234；当n?2时，；

当n?3时，

S23?1?1111111???????32345678．

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猜想当n?3时，

S2n?n． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用数学归纳法证明： ①当n?3时，由上可知

S23?3成立；

②假设n?k(k?3)时，上式成立，即

1?111????k?k232.

当n?k?1时，左边

?1?11111????k?k???k?12322?12

112k?k?k???k?1?k?k?k?12?122?1，所以当n?k?1时成立．

*S?nn?3,n?N由①②可知当时,2n．

综上所述：当n?1时,

S21?1；当n?2时,

S22?2；

*n?3(n?N)时,S2n?n． ．当．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

S2n?1?111????n232

111????n)?n232

记函数

f(n)?S2n?n?(1?f(n?1)?(1?所以

111????n?1)?(n?1)232 ．．．．．．．．．6分

1112nf(n?1)?f(n)?(n?n???n?1)?1?n?1?02?12?222?1则

所以f(n?1)?f(n)．

1f(1)?S21?1?(1?)?1?0S?12由于，此时21； f(2)?S22?2?(1?111??)?2?0S?2234，此时22；

1111111??????)?3?0S?32345678，此时23；

f(3)?S23?3?(1?第 14 页 共 22 页

S?n由于，f(n?1)?f(n)，故n?3时，f(n)?f(3)?0，此时2n．

*S2n?nn?1,2n?3(n?N)时,S2n?n． ．综上所述：当时，；当．．．．．．．．．．10分

（III）

cn?an?1?3nn?1

2?3n2?3n2?3n?111????.n2nnnn?1n?1n(3?1)(3?3)(3?1)(3?1)3?13?1 当n?2时，(3?1)32?322?3n31111Tn??2?????(?)?(?)2n22232(3?1)(3?1)223?13?13?1所以当n?2时

??(＋

11)?2??23n?1?13n?13n?1．

?1且

T1?3?22

*故对n?N，

Tn?2得证． ．

．．．．．．．．．．．．．．．．14分

2f(x)?ax?bx（a,b为13.(湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理）已知二次函数

常数且a?0），满足条件f(1?x)?f(1?x)，且方程f(x)?x有等根． (Ⅰ)求f(x)的解析式；

?1?12xxg(x)?1?2f(x)(x?1)g(2)?m(3?2)对x?[1,2]恒成g(x)(Ⅱ)设的反函数为,若

立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出

m,n的值，如果不存在，说明理由．

?b?122a，又方程f(x)?x有等根 ?ax?(b?1)x?0有等根，

解：(Ⅰ) ∵f(1?x)?f(1?x)，∴

11??(b?1)2?0?b?1,?a??,?f(x)??x2?x22∴ …………………3分

2（Ⅱ）由（I）得g(x)?x?2x?1?当x?1时,y?(x?1)2(y?0),?x?1?y,即x?1?y.

?y?g?1(x)?1?x(x?0)．

………………5

第 15 页 共 22 页

分

g?1(22x)?m(3?2x)对x?[1,2]恒成立?1?2x?m(3?2x),对x?[1,2]恒成立.?(m?1)2x?1?3m?0.

?g(2)?2(1?m)?1?3m?0??x设t?2,则2?t?4,且g(t)?(m?1)t?1?3m?0,对t?[2,4]恒成立?g(4)?4(1?m)?1?3m?0解得，

?5?m?3

?m的取值范围是?5?m?3 ………………9分

（Ⅲ）∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x?1，

13m?f(x)min?f(n)??n2?n21? 当m?1时，f(x)在[m,n]上是减函数，∴ (*)，

13n?f(x)max?f(m)??m2?m2

13(m?n)??(n2?m2)?(n?m)2两式相减得：，∵1?m?n，上式除以m?n得：m?n?8，代入 (*)

2化简得：n?8n?48?0无实数解．

2? 当n?1时，f(x)在[m,n]上是增函数，∴

13n?f(x)max?f(n)??n2?n2

?m??4,n?013m?f(x)min?f(m)??m2?m2，

3n?f(x)max?f(1)?11?n?26与n?1矛盾综合上述知，存

3? 当m?1?n时，对称轴x?1?[m,n]，

在?m??4,n?0满足条件． …………………13分

xf(x)?e14. (湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理已知函数（其中e?2.71828?为自然对数的底数），

g?x??nx?m(m,n?R)2。

y?x平行，试用n表示m，并求

（Ⅰ）若T(x)?f(x)?g(x)在(0,T(0))处的切线与直线

此时T(x)在[0,1]上的最大值；

（Ⅱ）若n?4时方程f(x)?g(x)在[0,2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；

m??（Ⅲ）在

152，n?N?时,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大自然数n。

第 16 页 共 22 页

nnnnnT(x)?ex(x?m)T?(x)?ex(x?m)?ex?m??1m?1?222，由22，………2分 解：（Ⅰ），得nT?(x)?ex(x?1)2此时，

x①当n?0时，T?(x)?e?0，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；

n22T?(x)?ex?(x?)(?,??)2n，T(x)在n②当n?0时，上为增函数，故T(x)在[0,1]上为增函数，则

此时T(x)max?T(1)?e；

n222T?(x)?ex?(x?)(??,?)(?,??)2n，T(x)在n上为增函数，在n③当n?0时，上为减函数， 2220???1[0,?][?,1]nn上为增函数，在n上为减函数，则此时若，即n??2时，故T(x)在

T(x)max?22?22?nn?T(?)?e(?1?m)???enn，

2?1n若，即?2?n?0时，T(x)在[0,1]上为增函数，则此时T(x)max?T(1)?e；

T(x)maxT(x)max?T(1)?en??2n??2综上所述：当时；当时

22?n???en； ………………6分

xx（Ⅱ）F(x)?f(x)?g(x)?e?2x?m，F?(x)?e?2，故F(x)在(0,ln2)上单调递减；在(ln2,??)上

x单调递增；故F(x)?e?2x?m在[0,2]上恰有两个相异实根，

?F(0)?1?m?0???F(ln2)?2?2ln2?m?0?2?F(2)?e?4?m?0?2?2ln2?m?1………10分

（Ⅲ）

?p(x)?f(x)?g(x)?ex?n15nnx??0p?(x)?ex?(0,ln)222故p(x)在2上单恒成立（?），因为

nnnnn151n(ln,??)?p(x)min?p(ln)??ln??(n?nln?15)?02222222调递减；在2上单调递增；故（?），

设

h(x)?x?xlnxxx?15h?(x)?1?ln?1??ln222，故h(x)在(0,2)上单调递增；在(2,??)上单调，则

151515?15?15(2?ln)?15(lne2?ln)?0222，

?h)1(61n?l?01?2递减；

而h(2e)?2e?2elne?15?15?2e?0，且

222222h(15)?15?15ln[)x0x?(x0,??)故存在x0?(2e,15)使h(x0)?0，且x?,2时h(x)?0，时h(x)?0，又

第 17 页 共 22 页

?故n?N时使f(x)的图象恒在g(x)图象的上方的最大自然数n?14； ………14分

15.(湖北省荆州中学2010届高三九月数学卷（理科） 如果

f?x0?是函数f?x?的一个极值，称点?x0,f?x0??是函数f?x?的一个极值点.已知函数

axf?x???ax?b?e?x?0且a?0?

（1）若函数f?x?总存在有两个极值点A,B，求a,b所满足的关系；

x?1（2）若函数f?x?有两个极值点A,B，且存在a?R，求A,B在不等式表示的区域

内时实数b的范围.

?x?1?y?e??fx（3）若函数恰有一个极值点A，且存在a?R，使A在不等式?表示的区域内，

证明：0?b?1.

af'(x)?a?e?(ax?b)(?2)?exx解：（1）

令

axaf??x??0得x?ax?b?0 ?a?4b?0 又 ?a?0且x?0

22a2?b?且b?04 ………………3分

（2）x?ax?b?0在(?1,1)有两个不相等的实根.

2???a2?4b?0?a???1??12??1?a?b?0??1?a?b?0 得 即??4b?a2?2?a?4?b??1?

??1?b?1且b?0 ………………7分

2?f(x)?0?x?ax?b?0(x?0) （3）由①

x2?ax?bb?0f??x??a?e?x2①当在x?a左右两边异号 ?(a,f(a))是y?f?x?的唯一的一个极值点

ax第 18 页 共 22 页

1?a?1且a?0?－?2?e?(a?b)e?e 即 ?由题意知

?0?a2?1?2??1?a?1 即 0?a2?1

存在这样的a的满足题意 ?b?0符合题意 ………………9分 ②当b?0时，??a?4b?0即4b?a

22aa(,f())2 这里函数y?f(x)唯一的一个极值点为2?a?2?1且a?0??1??e?(a?b)e2?e?2由题意?

?0?a2?4?11?2a2??e??b?e22即 ? 即

0?4b?4??1?122???e?b?e

?0?b?1 ………………………………13分

综上知：满足题意 b的范围为b?[0,1). ……………………………14分 16.(湖南省师大附中2010届高三第二次数学理试题

21.(本小题满分13分) 已知数列满足

{am}是首项为，公差为b的等差数列，{bn}是首项为b，公比为的等比数列，且

a1?b1?a2?b2?a3，其中a、b、m、n?N*.

{1?am}与数列{bn}有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列

（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若数列

{cn}，求数列{cn}的通项公式；

（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列

{cn}的前项之和为Sn，求证：

999919??????(n?3)S1S2S2S3S3S4SnSn?142.

n?1a?a?(m?1)b,b?b?amn【解】（Ⅰ）由题设. （1

分）

由已知a?b?a?b?ab?a?2b，所以ab?a?2b?3b.又b＞0，所以a＜3. （2

第 19 页 共 22 页

分）

因为ab?a?b,b?a，则ab?2a.又a＞0，所以b＞2，从而有分）

因为a?N*，故a?2. （4分）

n?11?a?b1?a?(m?1)b?b?amn（Ⅱ）设，即. （5分）

a?b?1b?1. （3

因为a?2，则3?(m?1)b?b?2分）

因为b?a?2，且b∈N*，所以2分）

n?1b?，所以

32n?1?(m?1). （6

n?1?(m?1)?1，即m?2n?1，且b＝3. （7

n?1c?b?3?2nn故. （8

分）

n?1nS?3(1?2???2)?3(2?1). （9分）n（Ⅲ）由题设， n01n?1n01n?1n2?1?C?C?L?C?C?1?C?C?C?C?1?2n?1，当且n?3nnnnnnnn当时，

仅当

n?3时等号成立，所以

Sn?3(2n?1).

（11分）

911111?n??[?](n?3)n?1Ss(2?1)(2?1)(2n?1)(2n?3)22n?12n?3于是nn?1. （12

分）

因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则

9999111111111????????[??????]S1S2S2S3S3S4SnSn?13212799112n?12n?3 ?1111111119??(?)????3211442. (13321272n?3分)

17.(湖南师大附中2010届高三第三次试卷)

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程； D 第 20 页 共 22 页

A O P B

（Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F， 若△OEF的面积不小于22，求直线l的斜率的取值范围. 【解】（Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别 为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则

点A(－2，0），B(2，0），P(3，1). （2分）

设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 2a＝｜PA｜－｜PB｜＝分）

所以a＝2，c＝2，从而b2＝c2－a2＝2. （4分）

2(2?3)2?12?（2?3）?12＝22，2c＝|AB|＝4. （3

x2y2??12故双曲线C的方程是2. （5

分）

方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则 点A(－2，0），B(2，0），P(3，1). （2分）

x2y2?2?1(a2b设双曲线C的方程为a＞0，b＞0），则

分）

?(3)21?2?2?1b?a?a2?b2?4?. （3

x2y2??1.2解得a2＝b2＝2，故双曲线C的方程是2 （5

分）

22x?(kx?2)?2，即 (Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，

(1－k2)x2－4kx－6＝0. （6

分）

因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则

1?k2?0,22k??1,3. （7

??(?4k)?4?6(1?k)?0, 即 ?3?k?分）

4k6,xx??1221?k. （8设点E(x1，y1），F(x2，y2)，则x1＋x2＝1?k第 21 页 共 22 页

分） 所以｜EF｜＝＝ 分）

(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2

221?k又原点O到直线l的距离d＝. （10

分）

2112223?k22223?kd?EF???1?k??.222221?k1?k1?k所（

以11

S△DEF=

分

）因为S△OEF

?22，则

223?k21?k2?22?k4?k2?2?0,解得?2?k?2.　（12分）

综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－2，－1)U(－1，1)U(1，2]. （13分）

第 22 页 共 22 页

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