固体物理习题与答案

《固体物理学》习题解答

黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）

第一章 晶体结构

1.1、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， x?（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

nV Vc43?r，Vc=a3，n=1 34343?r?r?33∴x????0.52 6a38r3a=2r， V=

（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a?4r?a?n=2, Vc=a3

43x 32?∴x?434?r2??r3333????0.68 8a3433(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a?4r,?a?22r n=4，Vc=a3

444??r34??r3233x?????0.74 336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6?S?ABO?6?晶胞的体积：V=S?C?a?asin60332a =223328a?a?32a3?242r3 23n=1212?11?2??3=6个 6246??r323x????0.74 36242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a?4?2r?a?8r3 n=8, Vc=a3

1

448??r38??r33?33x????0.34 6a3833r33

c81.2、试证：六方密排堆积结构中?()1/2?1.633

a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO构成一个正四面体。…

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

??a???a1?2(j?k)???a??证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?k)

2???a???a3?2(i?j)??2???(a2?a3) 由倒格子基矢的定义：b1??0,a??????a1?(a2?a3)?,2a,2a,20,a,2a?i,2aa3a???，a2?a3?,242a0,2?j,0,a,2?kaa2????(?i?j?k) 240?4a2???2?????b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j?k)

a4a?2????b2?(i?j?k)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

?2????b3?(i?j?k)a所以，面心立方的倒格子是体心立方。

??a????a1?2(?i?j?k)???a???（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?j?k)

2???a????a3?2(i?j?k)? 2

?2???(a2?a3) 由倒格子基矢的定义：b1??aaa????,,i,j,k222aaaa3???aaaa2???????a1?(a2?a3)?,?,?，a2?a3?,?,?(j?k)

22222222aaaaaa,,?,,?222222?2a2??2????b1?2??3?(j?k)?(j?k)

a2a?2???b2?(i?k)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

?2???b3?(i?j)a所以，体心立方的倒格子是面心立方。

????1.5、证明倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：

???????????a?a????aa3312因为CA??,CB??，G?hb11?h2b2?h3b3

h1h3h2h3?????Gh1h2h3?CA?0??利用ai?bj?2??ij，容易证明? ????Gh1h2h3?CB?0????所以，倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d?a(h?k?l)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 22222?????????解：简单立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak

?????????a2?a3a3?a1a1?a2由倒格子基矢的定义：b1?2????，b2?2????，b3?2????

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3

3

?2???2???2??i,b2?j,b3?k 倒格子基矢：b1?aaa?????2??2??2??i?kj?lk 倒格子矢量：G?hb1?kb2?lb3，G?haaa晶面族(hkl)的面间距：d???2?G1

hkl()2?()2?()2aaaa2 d?2(h?k2?l2)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：RB??aj?ak，

????????? (111)面与(100)面的交线的晶向AB??aj?ak，晶向指数[011]。

(111)

???2、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：RB??ai?aj，(111)面??????与(110)面的交线的晶向AB??ai?aj，晶向指数[110]。

4

第二章 固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（??2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

?r???j(?1)1111 ]?2[????...rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

??2[1????...]2342xx3x4??n(1?x)?x????...

x34当X=1时，有1?111???...??n2 ????n234

2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 u(r)???rm??rn

试求：（1）平衡间距r0；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV，计算?及?的值。 解：（1）求平衡间距r0

由

du(r)?0，有：

drr?r01m?n?m??m?n?????0?r?0??m?1n?1r0r0.?n???n??????m??1n?m

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）

（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin

即：W??U(r0)??（3）体弹性模量

?rm0??rn0 （可代入r0值，也可不代入）

5

r02由体弹性模量公式：k?9V0???2U????r2?? ??r0（4）m = 2，n = 10，r0?3A， w = 4eV，求α、β

r0???10???18?5????? ①

18?2????? U(r4?85?0)????r2?10??0r.5r2???(r0?0?代入)

?W??U(r0)?4?5r2?4eV 0A?将r，1eV?1.602?10?190?3J代入①②

??7.209?10?38N?m2???9.459?10?115N?m2 （1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)?N2(???rm?rn) 平衡条件

dUdr?0，?m?n?n?1n?m?1?)m r?r0rn?1?0，r0?(0r0m?（2）单个原子的结合能

W??1n12u(ru(r???0)，0)?(?n?rm?rn)，r0?()m r?r0m?1mn??mW??(1?)()n?m2nm?

（3）体弹性模量K?(?2U?V2)V0?V0 晶体的体积V?NAr3，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)?N?2(??rm?rn) ?U?U?V??r?r?V?N2(m?n?1rm?1?rn?1)3NAr2 ?2UN?r?m?n?1?V2?2?V?r[(rm?1?rn?1)3NAr2] ?2U?N1m2?n2??V2V?V029V2[?m?n?m?n?m?n] 0r0r0r0r0

6

② 由平衡条件

?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n (m?1?n?1)?0m2rr02r0r03NAr00?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n) 2r0r0?V?V0mn(?U0) 29V0体弹性模量K?U0mn 9V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV

1?mn?n?1mn?r0?()m，W??(1?)()n?m

m?2nm???W10?r0，??r02[10?2W] 2r0??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2

2.6、bcc和fcc Ne的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．

＜解＞u(r)?4??()?()?,u(r)?N(4?)?An()?Al()?

r?2rr??r?2A6A1261?du(r)?6??u0??N????0?r0?2rA2A12??r6??12?6?1??12?6?

??bccu(r0)bccA62A612.252/9.11??()/()??0.957

??fccu(r0)fccA12A1214.452/12.13

2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为??50?10J,??2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计

算值比较．

＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，

7

?6?则晶体的总相互作用能为：

6???12???12?????6U?2N???Pij?????Pij???.

?R??R??j?i???j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji???50?10erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126因此，计??2.96??2.96??erg??12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16?????????16算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大

差别的原因．

8

第三章 固格振动与晶体的热学性质

3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，?nj?ajsin(?jt_naqj??j)，

?j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位

移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

?n???nj??ajsin(?jt?naqj??j) （1）

jj???*?2*?????nj????nj????nj???nj??nj?

j?j??j??j?j2n由于?nj??nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，

2可以忽略不计。所以?n???j2nj

由于?nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

?2j?1T0?T00a2jsin(?jt?naqj??j)dt?12aj （2） 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，?nj的动能时间平均值为

1Tnj?T0?L0dx?T00?1?d?nj?2??wja2T01j222dt?Lasin(?t?naq??)dt??wLa?????jjjjjj ?02?dt??2T04???其中L是原子链的长度，?使质量密度，T0为周期。 所以Tnj?112?w2KT （3） jLaj?422）式有?nj?2因此将此

KT 2PL?jKTKT1? ?2PL?2PL?jjj所以每个原子的平均位移为

22?n????nj??jj

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

??2n???(2?2n??2n?1??2n?1)m?

??2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)M?N个原胞，有2N个独立的方程

9

设方程的解

?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到

?(2??m?2)A?(2?cosaq)B?0? ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，

2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，则

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)两种不同的格波的色散关系

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM{1?[1?sin2aq]}2mM(m?M)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

???当M?m时

4?aqcosm24?aqsinm2，

???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa)?， 22???(2

?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如

H2这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

10

??2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?

??2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2nm?体系N个原胞，有2N个独立的方程

1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2方程的解：

?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，将解代入上述方程得：

?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222

2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0

1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0 )?0

因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0

2c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)

22当q?0时，???0(11?121)，

???22?0???0

当q??a时，???(11?81)，

220???20?0???2?0

（2）色散关系图：

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A

11

??0???12

依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2???V?ds，并带入上边结果有

?q?(q)?dsV1A1/2V11/2 f???????4?????????????00331/2223/2?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV

3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。

证明：在k到k?dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n?dn间圆环的面积2?ndn，且

2

L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?则

2?2?2?v?23s?kBT???2d??E?0e??/kBT?12?v?2?2?E)s?T2 ?T33sE?2?v?2??m0??DD??????????d??kBT??kBTe??/kBT?12?3?3skT??B??2?v?2?2?xDDx2dx， xe?1T?0时，E?T3,?Cv?(

3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F?U0?kBT??q?1????q证明:量子谐振子的自由能为F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT?????q??n?? ?q?kBT????? ????经典极限意味着（温度较高）kBT???g

x2应用e?1?x?x?...

所以e???qkBT???q??1?????...

kBT?kBT???q2因此F?U???q?????q?1??q??kBT?n?1?1???U0?kBT?n?? ?kBT?q2q??kBT?1??q ?2q1??，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2其中U0?U?

3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能

12

之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V??和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94???k?得E?NkB?D ，由于???N?mBD0mm816?2vs382一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

3.11、一维复式格子m?5?1.67?1000A学波?max，声学波?max。 ,?min?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。

0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10

o?max2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm ???5.99?1013s?124m5?1.67?10A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）??max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV

o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eV（3）nAmax?1eA??max/kBT?1?0.873,nOmax?1eO??max/kBT?1?0.221

Onmin?1eO??min/kBT?1?0.276

（4）??

2?c??28.1?m

13

第四章 能带理论

4.1、根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们的特性．说

2明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。

＜解＞令k???a，k????a，简并微扰波函数为??A?k0(x)?B?k0(x)

0*??E(k)?EA?VB?0 n??0E VnA????k???E??B?0 取E?E?

带入上式，其中E??E0(k)?Vn

V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是

A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An?asinx =e?e??aL??取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B

?n?x?ix?2An?A?inaa?cosx =???A??(x)??(x)?e?e????aLL??0k0k? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a?时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，

akn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?*k?的0级波函数。 2a?2?2?1?i2?mxiximxi(m?)x1ikx1ikx11e?eea?e2a?ea?ea4 ＜解＞?(x)?LLLL 14

?x1i2a第一能带：m??0,m?0,?(x)?e

2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a

aaL?2??xixx2?2?1i21i5*aa2a第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?e?e?e

aaLL

4.3、电子在周期场中的势能．

122?m?2?b?(x?n)a, 当na?b?x?na? b ??2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b

其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以

11a1a?bV(x)??V(x)??V(x)dx??V(x)dx

LLaba?b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是

1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx?a?b2a??b2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12??6m?b。 ?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V(x)?V0?m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02bm?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx

?2u2musinmu?2cosmu?????3sinmu得 2??mm 15

Eg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式

b22m?2Eg2?b 4.4、

?0(b?x)cos?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2

解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：

?E(k)??s?J0?sRs?近邻????ik??(Rs) J(Rs)e在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm?0，则这12个最近邻的坐标是： ①

?aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222②

③

?由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为???J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即?s(?r)??s(r)

????*??J(R)??(??R)U(?)?V(R∴在近邻重叠积分ss?s)??i??i(?)d?中，波函数的贡献为正

∴J1＞0。

??s于是，把近邻格矢RS代入E(RS)表达式得到： ??Es(k)??S?J0?J1Rs?近邻?e???ik?Rs

aaa(kx?ky)?i(kx?ky)?i(?kx?ky)?i(?kx?ky)??ia=?S?J0?J1?e2 ?e2?e2?e2??ea?i(ky?kz)2?ea?i(ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2+ea?i(kx?kz)2?ea?i(kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?? ?=?S

??aaaa????J0?2J1??cos(kx?ky)?cos(kx?ky)???cos(ky?kz)?cos(ky?kz)?

2222?????16

a?????cos(kz?kx)?cos(kz?kx)??

2????cos(???)?cos(???)?2cos?cos?

=?s?J0?4J1?cos??aaaaaa?kxcosky?coskycoskz?coskzcoskx? 222222?（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

aaaa(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) 2222aaaa(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1) 2222?aaaEs(k)??s?J0?8J1(coskxcoskycoskz)

222

4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的

00费米能级EF及EF处的能态密度。

?ika?ika＜解＞(1),E(k)??s?J0?J1(e?e)??s?J0?2J1coska?E0?2J1coska

????ik?Rs??E(k)?E?J0??J(ps)e? ??(2) ,N(E)?2?Ldk2Na1N?2??? 2?dE?2J1asinka?J1sinka(3), N??0kF00?2NakFNa?002?(k)?2dk?2??2kF??kF?

2??2a00EF?E(kF)?E?2J1cos?2a0?a?Es,N(EF)?N?J1sin?2a??aN ?J1

4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7

＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A?第一布里渊区如图所示

2??2??i,B?j aa 17

?a ??a 0 ??a ?

?a

区边中点的波矢为KA???????????i,角顶B点的波矢为KB???i???j.a?a??a??22自由电子能量??Kx2?Ky?Kz2?,?2m22222A点能量?A??????????2Kx??????, 2m2m?a?2m?a?

222?2?2?????????2?????22B点能量?B?Kx?Ky????????????2???,所以?B/?A?2

2m2m???a??a???2m???a???b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为A??第一布里渊区如图7—2所示．

?2??a???2?i,B?????a???2?j,C?????a???k, ?

?2???A点能量?A????;2m?a?2222?2?2????????????2?????222B点能量?B?Kx?Ky?Kz???????????????3???,

2m2m???a??a??a???2m???a???2所以?B/?A?3

(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理论，自由

18

?22Kx2?Ky?Kz2?，FerM面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体电子的能量为???2m4?积

34????V?????2??N?1.047N ，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为??3??3a3???a??2??33其中V?Na3

二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953

个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．

4.10、

解：设晶体中有N个Cu原子，向其中掺入x个锌原子。则晶体中电子的总数为： (N-x)+2x=N+x

由于Cu是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为：

N 4其倒格子为体心立方，倒格子的边长为：

4?43?，对角线的长度为： aa于是：布里渊区边界到原点的距离为：

143?3? ??4aa3? a即：当Fermi球与第一布里渊区边界相切时，kF?又由：2?43??kF?N?x 33?2??V3N?xkF33?33???2?? 233V3?3?aa于是有：

N?x3?N?x3??3?? N3aN4a4 19

?x3???1?0.3597 N4x0.35970.3597???0.56 N?x1?0.35970.6403?即：当锌原子与铜原子之比为0.56时，Fermi球与第一布里渊区边界相接触。

4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???.

?a??a?用基本方程，近似求出布里渊区角?????,?处的能隙． aa???,b??,? ＜解＞以ij表示位置矢量的单位矢量，以b12表示倒易矢量的单位矢量，则有，

??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi 12211?g2b2,g1,g2为整数。a??晶体势能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???. aa?????i2??x?i2??x??i2??y?i2??y?iG?11?U?r???U?e?ee?eUe????G?11?????G?11?其中UG?11???U，而其他势能傅氏系数UG?10??UG?20??...?0。这样基本方程

??k???C?K???UGG(K?G)?0变为

G??K???C?K??UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???0求布里

渊区角顶?111????,?，即k?G(,)?G?11?处的能隙，可利用双项平面波近似

222?aa???C(K)eiKr?C(K?G)ei(K?G)r来处理。

当K?11G?11?,K??G?11?时依次有 2211K?G?11???G?11?,K?G?11???G?11?而其他的K?G?11?，

22K?G?11??G?11?，所以在双项平面波近似下上式中只有

?1??1?C?G?11??,C?K?G?11???C??G?11??;?2??2? ?1??1?C?G?11??,CK?G?11??C??G?11??;?2??2??? 20

???1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u

?u ??1?? =0，因为

2G?11?2?1????2?1??222G?11????12G?11?2m??2G?11?????ma2?2(???)2?U2?0解得?=??U??2由行列式有ma2?U, 所以在（?,-?aa）处的能隙为??=?+????2u.

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka)，是电子的质量。

试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

解：（1） E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka) ?2 =1ma2?78－coska+2

8(2coska－1)] ＝?24ma2?(coska－2)2

－1? 当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2?

E(k)?2?2maxma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?E?2?2minma2

21

其中a为晶格常数，m

（2）??*1dE(k)?1?(sinka?sin2ka)

?dkma4??2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1

2???k2?? 当k?0时,带底，m*?2m 当k??

5.5、

?2时,带顶，m*??m a3?1解：（1）电子的运动速度：v??kE(k)

??dvd1?1dE?(?kE)??k?∴ 加速度： dtdt??dt由于单位时间内能量的增加=力在单位时间内作的功

??dE?ds??1??F??F?v??kE?F 即：dtdt??dv1???1?E?E?E∴?2?k[?kE?F]?2?k?[F1?F2?F3] dt???k1?k2?k3写成分量的形式：

?1dv11??2E?2E?2E11?2?2F1?F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k1?k2?k1?k3?m11m12m13?1dv21??2E?2E?2E11?2?F1?2F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k2?k2?k2?k3?m21m22m23dv31??2E?2E?2E?111?2?F1?F2?2F3??F1?F2?F3 dt???k3?k1?k3?k2?k3mmm313233?11?2E其中： （i,j=1,2,3） ?2mij??ki?kj2?k32?2k12?2k2由题知：E? ??2m12m22m3 22

111111?2E1容易得出： ?,??22? 同理：

m22m2m33m3m11??k1m11111111?2E?????0 ?2?0 同理：

m13m21m23m31m31m12??k1?k2?dv1?m1dt?F1??dv故运动方程为：?m22?F2

dt??dv3?m3dt?F3?（2）当存在磁场B作用时，电子将受到洛仑兹力作用

????F??ev?B

?当B相对于椭球主轴的方向余弦为?,?,?时，电子的运动方程可写成：

??v?B?v1?i?jv2???v3?(v2B??v3B?)i?(V3B??V1B?)j?(V1B??V2B?)k

?kB?B?B?∴ 电子的运动方程可写成：

?dv1?v32??vB3?)??v2?3?m1dt?F1??e(vB??dv?v 1∴ ?m22?F2??e(vB3??VB1?)??v3?1dt??dv3?v21??VB1?)??v1?2?m3dt?F3??e(vB?其中：?1?eB?,?2?eB?,?3?eB?

231?由于电子在磁场B作用下作周期性运动，故可设试探解：

v1?v10ei?tv2?v20ei?t 代入上述方程组可得： v3?v30ei?t 23

?i?m1v1??2v3??3v2?i?m1v1??3v2??2v3?0???i?m2v2??3v1??1v3 即??3v1?i?m2v2??1v3?0 ?i?mv??v??v??v??v?i?mv?0331221233??21v1,v2,v3有非零解的条件是

i?m1?3?2?3i?m2??1??2??1?0 i?m3222 ?im1m2m3?3?i?m1?1?i?m2?2?i?m3?3222222m1?1?m2?2?m3?322m1??m2??m3?即：??=eB

m2m2m3m1m2m32mmme2B22∴?=*2 m*?221222322

mm1??m2??m3?2

??m1m2m3eB即：?? 其中：m*??22 证毕 2222?m*m??m??m?23?1?

1/2第六章 金属电子论

24

第七章 半导体电子论

7.1、InSb电子有效质量me?0.015m，介电常数??18，晶格常数a?6.49A。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态轨道的半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交叠时掺有的施主浓度应该高于多少？

＜解＞（1）由于施主电离能ED是氢原子电离能Ei的

?m* 倍，m0?2?ED?m*Ei0.014?13.6?4?(eV)?6.59?10(eV) 2m0?(17)?4??2?0?m0?17?0.52?2?a0?(A)?6.31?10(A)6.31?10?8(m) （2），a0?2m*em*0.014（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度ND就一定满足

(2a)3ND?1,?ND?(

13120?2)??4.98?10(m) ?832a(2?6.31?10)25

第十二章 晶体中的缺陷和扩散

例1．假设把一个钠原子从钠晶体内部移到边界上所需要的能量为1ev(1)，试计算室温（300k）时，sckottky空位的浓度？（已知：?Na=0.97克/原米3，原子量为23）

解：（1）设N为单位体积内的Na原子数，则在温度T时，schottky定位的浓度n可写成：n?Ne由题知：u=1ev=1.602 ×10-19J

?uKBT

?Na=0.97克/厘米3?每cm3含Na的mol数为：

?每cm3Na中所含的原子数为：

N=

0.97 230.97?6.02?1023 23?u于是：n?NeKBT?0.97?6.02?1023?e23?1.6?10?191.38?10?23?300

?4.2?105个厘米3。

例2. 如果u代表形成一个Frenkel缺陷所需的能量，证明在温度T时，达到热平衡的晶体中，Frenkel

u缺陷的数目为：n?NN'e?2KBT.

解：达到热平衡时，在N个原子的晶体中形成n个空位的可能方式数为：

nw1?CN?N!

(N?n)!n!这n个原子排列在N＇个间隙位置上的可能方式数为：

nw2?CN'?N'!

(N'?n)!n!这样，从N个原子中取出n个原子并把它们排n＇个间隙位置上的总方式数为：

26

?2=?=?1?N!N＇! ?(N?n)!n!(N＇?n)!n!由此引起的熵的增量为：

??N!N'!?s?kBlnw?kB?ln?ln?

(N?n)!n!((N'?n)!n!??利用斯特令公式:luN!=NlnN-N

得?s?kB?NlnN?(N?n)ln(N?n)?nlnn??kB?N'lnN'?(N'?n)ln(N'?n)?nlnn? 系统的自由能改变：F?nu?T?s

U为形成一个Frenkel缺陷所需的能量。

由热平衡条件：???F???0有： ??n?Tu?KBTln(N?n)(N'?n) 2n?un2即：?eKBT

(N'?n)(N?n)?n?N,n?N＇

u?有：n?NN＇e证毕

?2KBT.

例3．铁一碳合金是面心立方结构，晶体常数为3.61A，设碳占的比重为1.7%试计算当碳是填隙式或替代式渗入时，合金的密度各等于多少？

?解：C的mol质量：12g，C：含量为：1.7%

27

Fe的mol质量：55.85g,Fe：应为：98.3%

因此：在100克合余中，如果C是替代式溶入，则

C的mol数?1.7?0.1415(mol) 12Fe的mol数?98.3?1.76(mol) 55.85100g合金的总mol数=0.1415+1.76=1.9015(mol)

?在1mol的合金中：C的mol数=

Fe的 mol数=

0.1415?0.0745mol

1.90151.76?0.9255mol.

1.9015于是替代式的合金密度：

??原胞质量?原胞体积4?(0.9255?55.85?0.0745?12)6.02?1023 ?83(3.61?10)=7.43克/厘米3。

如果C以填隙方式溶入铁的晶格中

7.45??55.85??12??92.554???236.02?10????=7.88克/厘米3

则??3?3.61?10?8?显然，C以不同的方式存在于Fe中，其密度的差别较大，因此，可以用实验的方法确定碳原子在合余中的存在方式。

例4．设t=0时，在晶体表面每单位面积上集中着扩散粒子N，试求径过t时间后，扩散粒子的均方位移？

28

?x2?2Dt? ??解：本题属于有源扩散问题。t时刻，x处扩散粒子的浓度是：

n(x,t)?N2?Dte?x24Dt

扩散粒子的均方位移可按下式求出：

x2?4Dt22x2?xn(x,t)dx?xe??????n(x,t)dx??e??2?dxx??4Dt

dx??4(4Dt)32??2Dt?P549(12?15)?

2(4Dt)y2例5．已知c在??Fe中的扩散系数D与温度关系的实验数据为：当温度为200℃时，扩散系数D200℃=10-11cm2/秒。温度为760℃时，D760℃=10-6cm2/秒，试求扩散过程的激活能Q（千焦耳/摩尔）。 气体常数R= 8.31J/mol·K.[华工99年研究生入学考试三（15分）] 解：由D=Doe-Q/RT有：D0?DeQ/RT

?D200?CeQ/RT1?D760?CeQ/RT2.

Q11(?)RT1T2e?D760?cD200?c?105

Q11(?)?5ln10 RT1T25ln10R5?8.31?2.3?

1111??T1T24731033Q??5?8.31?2.3?473?1033

560=83.38kJ/mol.

29

作业：

（1）对于铜，形成一个肖脱基空位的能量为1.2ev，在接近熔点时（1300K），估算空位的浓度。形成一个填隙原子所需的能量约为4ev，估算接近熔点时填隙原子的浓度。试比较这两种浓度的数量级差多少？ （2）在离子晶体中，由于电中性的要求，Schottky缺陷都是成对地产生的。令n代表正、负离子空位的对数，E是形成一对缺陷所需要的能量，N为整个离子晶体中正、负离子对的数目；证明：

?En≈Ne

(3)已知C在T/℃ D/（cm2/s） 2KBT.

?铁中的扩散系数D和温度T的关系一组实验数据如下 -10 5×10-19 27 10-16 200 10-11 760 10-6 求1mol原子的激活能Q=N0?和频率因子D0.

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