圆、相似、锐角三角函数测试题（含答案）

圆、相似、锐角三角函数练习题

一、选择题：（每小题4分，本题共40分）

1.如图，在Rt△ABC中，?ACB?90o，BC?1，AB?2，则下列结论正确的是（ ）

13A．sinA? B．tanA?

22B 3C．cosB? D．tanB?3 2A （第1题）

C 2．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距是6cm，?则两圆的位置关系是（ ）

A．内含 B．外离 C．内切 D．相交

3.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙O与x轴相切于点Q，与y轴交于

8)两点，则点P的坐标是（ ） M(0，2)，N(0，3) A．(5，

5) B．(3，

4) C．(5，5) D．(4，yNPO MOQx第3题 第5题 CD4.如图，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么等

第4题

AB于（ ）

A．sinα B．COSα C．tanα D．

1 tan?5.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )

A．2 B.23 C.3 D.3

6.如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m

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第6题

第8题

7.在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ） A．12? B．10? C．6? D．3?

8.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为（ ）

400800?cm2 C．800?cm2 ?cm2 D．339.如图，△ABC内接于⊙O，若?OAB?28°，则?C的大小为（ ）

A． 28° B．56° C．60° D．62°

A．100?cm

2B．

C O A B

第10题 第9题

10．已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若?CAB?30°，则BD的长为（ ） A．2R

B．3R

C．R

D．3R 2二、填空题：（每小题4分，本题共20分）

11.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=_________

A度．

OP

C第12题 第11题 B12.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．

13.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，

现测得PB?4cm，AB?5cm．⊙O的半径R?4.5cm，此时P点到圆心O的距离是

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c cm．

A B O 第13题

P

14.锐角△ABC中，BC＝6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ , 15.如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式 是 ．

第14题

三、解答题：（每小题6分，本题共30分） 16.计算:4sin30??2cos45??3tan60?．

第15题

17.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的长．

18.已知：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝43cm．

（1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．

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A C M O ·

N

B

19.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处． （1）求观测点B到航线l的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：

3≈1.73，

B sin76°≈0.97，

cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

北 东

76

l C D E 60

A

20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE?CD，垂足为E，DA平分?BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线； A E （2）若?DBC?30，DE?1cm，求BD的长．

D O

B C

四、解答题：（每小题5分，本题共10分）

21．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C?点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，?求气球离地面的高度．

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22.已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于点E， EF⊥AB于点F，若CE=1，

4cos?AEF?，求EF的长.

5

五、解答题：（第23题7分，第24题7分，第25题6分）

23.如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，B

D F A

O

图1

E C A

O 图2

B F D E C

0)B(1，，0)C(0，?2)三点． 24.如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

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25.已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD?（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图中，联结AP．当AD?为x，

3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关

于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小． A

D

A

P

P Q B

图1

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P D

A

D

C

（Q） B

C

图2

B Q

图3

C

圆、相似、锐角三角函数测试题答案

一、选择题：（每小题4分，本题共40分）

1.D 2．D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 二、填空题：（每小题4分，本题共20分） 11. 50°

12.（?2，0） 13. 7.5

14. x?3,y?6

x15.y?

1?x

三、解答题：（每小题6分，本题共30分） 16.

解：原式=4?12?2??3?3 22 =2-1+3

=4 17.

解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF， ∴

AE2?AB2?92?62?117

ABBE6117?，即? DEEF2EF∴EF=18.

117 3解：（1）连结OM．∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB． 过点O作OD⊥MN于点D，

A O · C

1由垂径定理，得MD?MN?23．

2N

M D B 在Rt△ODM中，OM＝4，MD?23，∴OD＝OM2?MD2?2．

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故圆心O到弦MN的距离为2 cm． MD3?， OM2∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°．

（2）cos∠OMD＝

19.

20. 解：（1）证明：连接OA，

DA平分?BDE，??BDA??EDA． OA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE．

AE?DE，??AED?90，?OAE??DEA?90．

A ?AE?OA．

?AE是O的切线．

（2）

E D BD是直径，??BCD??BAD?90．

B O C ?DBC?30，?BDC?60，

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??BDE?120．

DA平分?BDE，??BDA??EDA?60．

??ABD??EAD?30．

?AD?2DE． 在Rt△AED中，?AED?90，?EAD?30，?BD?2AD?4DE． 在Rt△ABD中，?BAD?90，?ABD?30，DE的长是1cm，?BD的长是4cm．

四、解答题：（每小题5分，本题共10分）

21．解：过点C作CD⊥AB于D，则 在Rt△ACD中，AD=

CD=CD，

tan45?CD3=CD，

tan60?3 在Rt△BCD中，BD=

∴AB=AD-BD，即20=CD-

3CD． 3 解得，CD=（30+103）米，故气球高为（30+103）米．

22．已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于点E， EF⊥AB于点F，若CE=1，

4cos?AEF?，求EF的长.

5解：∵ AE⊥BC ， ∴ ∠AEF＋∠1=90°． ∵ EF⊥AB ， ∴ ∠1＋∠B=90°． ∴ ∠B=∠AEF ．------------------------------- 1分

4 ∴ cos?B?cos?AEF?．

51

∵ 在Rt△ABE中，?AEB?90?， ∴ cos?B?BE?4． ----- 2分

AB5 设BE=4k，AB=k， ∵ BC=AB， ∴ EC=BC－BE=BA－BE=k． ∵ EC=1， ∴ k=1．------------------------------------------------------ 3分 ∴ BE=4，AB=5． ∴ AE=3．------------------------------------------------ 4分 在Rt△AEF中，?AFE?90?，

EF4 ∵ cos?AEF??，--------------------------------------------- 5分

AE5412 ∴ EF?AE??．------------------------------------------------- 6分

55第 9 页 共 14 页

五、解答题：（第23题7分，第24题7分，第25题6分） 23. 解：（1）AD⊥BC，??DAC??C?90°． ?BAC?90°，??BAF??C． OE⊥OB，??BOA??COE?90°，

?BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；

G B F A

D E O

C

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA． 由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．

?BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD， 又?BAC??AOG?90°，AB?OA．

?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．

OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，

?B OFOGOFOFOG????2． ，

BFABOEBFABD F E O

C

A 解法二：

?BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D，

ADAC?Rt△BAD∽Rt△BCA．???2．

BDAB设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，

?AD?2115，BD?AD?5． 525第 10 页 共 14 页

?BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE， BDBO??． DFOE1525由（1）知BF?OE，设OE?BF?x，?，?x?10DF． ?DFx在△DFB中x?21122?x，?x?． 51034224OF3?OF?OB?BF?2?2?2．???2．

233OE23OF?n． （3）OE24. 解：（1）

?2)，?可设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?2． 该抛物线过点C(0，0)，B(1，0)代入， 将A(4，1?a??，?16a?4b?2?0，??2得?解得?

5a?b?2?0.??b?.??215?此抛物线的解析式为y??x2?x?2．

22（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为?当1?m?4时，

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125m?m?2， 2215AM?4?m，PM??m2?m?2．

22又?COA??PMA?90°，

AMAO2??时， ?①当

PMOC1△APM∽△ACO，

即4?m?2???125?m?m?2?．

2?2?解得m1?2，?P(2，1)． ，m2?4（舍去）②当

AMOC115??时，△APM∽△CAO，即2(4?m)??m2?m?2． PMOA222解得m1?4，m2?5（均不合题意，舍去）

1)． ?当1?m?4时，P(2，?2)． 类似地可求出当m?4时，P(5，?14)． 当m?1时，P(?3，1)或(5，?14)． ?2)或(?3，综上所述，符合条件的点P为(2，（3）如图，设D点的横坐标为t(0?t?4)，则D点的纵坐标为?过D作y轴的平行线交AC于E． 由题意可求得直线AC的解析式为y?125t?t?2． 221x?2． 2?1??E点的坐标为?t，t?2?．

?2?151?1??DE??t2?t?2??t?2???t2?2t．

222?2?1?1??S△DAC????t2?2t??4??t2?4t??(t?2)2?4．

2?2??当t?2时，△DAC面积最大．

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?D(2，1)．

25. 解：（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴

PQAD?=1，∠D=45° PCAB13BC?。 22∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=

32 2（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴

EBAD33???2? EPAB2411?BC?PE??3?4k?6k， 22?2?x??3k AQ2?x12?x12?x??S?APB???AB?PF???2?3k??3k=

2AB22222设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ∴S?BPC?S?APQ∴y?S?BPC12k4 ??S?APQ?2?x??3k2?xD

P 函数定义域为0?x?2 A F

P D

A

P F

Q B

E 图1

C

（Q） B

C

图2

Q

（3）答：90°

证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB

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D

A

B

E 图3

C

EBAD? EPABPQADEBPF??∴= PCABPEPE∴

∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC

∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°

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