2013版《6年高考4年模拟》：第十五章 坐标系与参数方程

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》

第十六章 坐标系与参数方程

第一部分 六年高考荟萃

2012年高考题

1. [2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为?????

x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.

答案：2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思

想，中档题．将参数方程?????

x ＝2pt 2，y ＝2pt 化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ????p 2，0，E ????－p 2，±6p ，又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p 2＝???

?p 2－????－p 22＋(±6p －0)2，解之得 p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2. 2. [2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6

，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.

图1－1

答案：1sin ????π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简． 由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6

，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为： ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ????π6－θ，所以 f (θ)＝1sin ???

?π6－θ. 3.[2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．

答案：3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y

＝±32，所以弦长为 3.

4. [2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．

解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

解?????

ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为????2，π3，????2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)(解法一)由?

???? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?

???? x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. (或参数方程写成?????

x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3) (解法二)

在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入?

???? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?

???? x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 5. [2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是?????

x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都

在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为???

?2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．

解：(1)由已知可得A 2cos π3，2sin π3，B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2，C 2cos π3＋π,2sin π3

＋π， D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2

， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．

(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则

S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.

因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．

6. [2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ????2，π4，圆心为直线ρsin ????θ－π3＝－32

与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

解：在ρsin ????θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C 经过点P ????2，π4，所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4

＝1， 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

7. [2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t

(t 为参数)与曲线C 2：?????

x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 答案：32

[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交

点，化难为易．曲线C 1：?????

x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 2

9

＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点????32，0，代入曲线C 2，得????322a 2＋029＝1，解得a ＝32

. 8. [2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已

知射线θ＝π4与曲线?????

x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．

答案：.????52，52 [解析] 曲线??? x ＝t ＋1，y ＝()t －12 化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立??? y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，

消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为????x 1＋x 22

，y 1＋y 22，即????52，52. 9.[2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，??

??233，π2，圆C 的参数方程为??? x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系． 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，?

???0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为????1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .

(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，?

???0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的

距离d ＝|23－33－23|3＋9

＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交． 10. [2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6

(ρ∈R )的距离是________． 答案：3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．

应用极坐标与直角坐标的互化公式?????

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝33x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝33x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32

＝ 3. 11. [2012·北京卷] 直线????? x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线?????

x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．

答案：2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋

y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12

<3，所以直线与圆相交，答案为2. 法二：联立方程组?????

x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.

12.[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数

方程分别为??? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和??? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ

(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．

答案：(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角

坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：????? y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得?????

x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．

13. [2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以

原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．

(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．

答案：(1)ρ＝2cos θ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(2)??????x ??

－32≤x ≤32 [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >12

时，原不等式可化为2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12

时，原不等式可化为－2x ＋1－2x －1≤6，解得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤12

时，原不等式可化为1－2x ＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此时－12≤x ≤12

.综上，原不等式的解集为????－32，32.

14.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：??? x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α

(t 为参数)与曲线C ：?????

x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．

解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24

＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为??? x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．

代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813

， 所以，点M 的坐标为????1213

，－313. (2)将???

x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α

代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54.

所以直线l 的斜率为54.

2011年高考题

1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 (,

)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离

为 （A ）2 (B) 2

49π+ (C) 2

19π+ （D) 3

【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化，属于容易题.

【答案】D

【解析】极坐标系中的点（2，3π）化为直角坐标系中的点为（1，3）；极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，其圆心为（1,0）， ∴所求两点间距离为22(11)(30)-+-=3，故选D.

2. (2011年高考安徽卷理科3)在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是

A. (1,)2π

B. (1,)2π-

C. (1,0)

D. (1,)π

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题.

【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-?++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，

选B 。 1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ?=?=?

（t 为参数），若斜率

坐标方程为

答案：02422=--+y x y x 。

解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、θρθρsin ,cos ?=?=y x ，2、222y x +=ρ即可。根据已知

θθρcos 4sin 2+==,4y 2,42222y x x x y +=+=+?

ρρρ化简可得： 所以解析式为：02422=--+y x y x

3. (2011年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??

=+?（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 答案：2

解析：曲线22

1:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离|011|012

d -+==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 4. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

5cos (0)sin x y θθπθ?=??=??≤＜和25()4x t t R y t ?=?∈??=?，它们的交点坐标为 .

【解析】)552,1(???==θ

θsin cos 5y x （0≤θ )π<消去参数后的普通方程为)10,55(1522≤≤≤<-=+y x y x ，?????==t

y t x 245消去参数后的普通方程为x y 542= 联立两个曲线的普通方程得,1(5=-=x x 舍）或 55

2=y 所以,所以它们的交点坐标为).55

2,1( 5. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系x Oy 所在的平面为α，直角坐标系''x oy Oy (其中'y 轴与y 轴重合)所在平面为β，'45xox ∠=

(Ⅰ)已知平面内有一点(22,2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； (Ⅱ)已知平面β内的曲线'C 的方程是22('2)2'20x y -+-=，则曲线

'C 在平面α内的射影C 的方程是 .

答案：（2，2） 22(1)1x y -+=

解析：设P 为（a, b ）,因为y 轴与y ＇轴重合，故P ＇到y 轴距离为22，

到x 轴距离为2，又因为∠xox ＇=45°，则b=2，a =22sin 452,?= 故P （2，2）.设面β内任意一点P （x,y ）其在α内射影为(,)P x y '''，由平面图形可知， sin 45x x '=? ，y y '=，即2x x '=，y y '=，故方程为22(21)220,x y -+-=即22(1)10x y -+-=.

6.(2011年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+??

=+? (θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为

【答案】3

【解析】：由3cos 4sin x y θθ=+??=+?

得圆心为1C 1(3,4),1r =，由1ρ=得圆心为2C 1(0,0),1r =，由平几知识知当A B 、为12C C 连线与两圆的交点时AB 的最小值，则AB 的最小值为12||2C C -22(30)(40)=-+-2-523=-=.

7．(2011年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。 【答案】25arccos 5

1.(2011年高考辽宁卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,

x y ??=??=?（?为参数）曲线C 2的参数

方程为cos ,sin ,x a y b ??=??=?

（0a b >>，?为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合.

（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；

(II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4

π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.

解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.

当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点

间的距离为2，所以a =3.

当2π

α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.

（II ）C 1，C 2的普通方程分别为2

22

21 1.9x x y y +=+=和 当4π

α=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22

x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.10

x '= 当4π

α=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，

四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.

故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25

x x x x ''+-= …………10分 2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在

直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为???+==α

αsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=

与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB

解析; （I ）设P(x,y),则由条件知M(,22

x y ).由于M 点在C 1上，所以 2cos ,222sin 2x y αα??=????????=+????

即 4cos 44sin x y αα=????=+?? 从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y αα=??=+?

（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3πθ=

与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3π

θ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3

πρ=。 所以21||||23AB ρρ-==

.

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ??

=??=?（?为参数）的右焦点且与直线

423x t y t =-??=-?

（t 为参数）平行的直线的普通方程。 解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为22

1,259x y +=右焦点为（4，0），直线423x t y t =-??=-?（t 为参数）

的普通方程为22y x -=，斜率为：12；所求直线方程为：1(4),2402

y x x y =---=即. 4.(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα?=??=??

（为参数）． （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x

轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2

π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

解析：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。

解：（I ）把极坐标系下的点(4,)2P π

化为直角坐标，得P （0，4）。

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，

所以点P 在直线l 上，

（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos ,sin )αα，

从而点Q 到直线l 的距离为

2cos()4|3cos sin 4|62cos()22622

d παααπα++-+===++， 由此得，当cos()16πα+

=-时，d 取得最小值，且最小值为 2.

2010年高考题

一、选择题

1.（2010湖南文）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?=+?

（t 为参数）所表示的图形分别是

A. 直线、直线

B. 直线、圆

C. 圆、圆

D. 圆、直线

【答案】 D

2.（2010重庆理）（3）2241lim 42x x x →??-

?--??= A. —1 B. —

14 C. 14 D. 1 【答案】 B 解析：2241lim 42x x x →??- ?--??=412

1)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x 3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是

（A ）两个圆 （B ）两条直线

（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线

【答案】C

4.（2010湖南理）5、4

21dx x

?等于 A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2

5.（2010湖南理）3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--??

=+?（t 为参数）所表示的图形分别是

A 、圆、直线

B 、直线、圆

C 、圆、圆

D 、直线、直线

6.（2010安徽理）7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+??=-+?

（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为

71010的点的个数为 A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 【答案】B 【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22

(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离|23(1)2|71031010

d -?-+==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又

71071031010>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.

【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为71010，然后再判断知71071031010

>-，进而得出结论. 二、填空题

1.（2010上海文）3.行列式cos

sin

66sin

cos 66ππππ的值是 。 【答案】 0.5

解析：考查行列式运算法则cos

sin

66sin cos 66πππ

π=2

13cos 6πsin 6πsin 6πcos 6πcos ==-π 2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）不等式21x -<3的解集为. 。 【答案】{}12x x -<< 解析：213123312<<-?<-<-?<-x x x

B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165

解析：AB CD ⊥ ,由直角三角形射影定理可得 516BD 5,BA 4,BC ,2=

==?=所以又BA BD BC C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=??

=+?

（α为参数）化成普通方程为

【答案】x 2＋（y －1）2＝1.

解析：1sin cos )1(2222=+=-+ααy x 3.（2010北京理）（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于

点A 。若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE

＝ 。

【答案】 5 27

4.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。若PB=1，PD=3，则

BC AD 的值为 。 【答案】13

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。

因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以 ⊿PBC ∽⊿PAB,所以=BC PB AD PD =13

【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点

P ，若PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则BC AD

的值为 。 【答案】

66 【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角

形的性质，属于中等题。

因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以 ⊿PBC ∽⊿PAB,所以PB PC BC PD PA AD

==.设OB=x ，PC=y ，则有6322x y y x y x =?=，所以636

BC x AD y == 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

6.（2010天津理）（13）已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t =??=+?

为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为

【答案】22(1)2x y ++=

本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令y=0得t=-1，所以直线1x t y t =??=+?

与x 轴的交点为（-1.0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|103|22

r -++==，所以圆C 的方程为22(1)2x y ++=

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______． 【答案】3(2,)4

π． 由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ=??

=?知，这两条曲线的普通方程分别为

222,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-??=?

由cos ,sin x y ρθρθ=??=?得点（-1，1）的极坐标为3(2,)4π． 8.（2010广东理）14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=

23a ，∠OAP=30°，则CP ＝______.

【答案】98

a 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知， OP AB ⊥.

在Rt OPA ?中，3cos302

BP AP a a === .由相交线定理知， BP AP CP DP ?=?，即332223a a CP a ?=?，所以98

CP a =． 9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 .

10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，

在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=

2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF=

【答案】2

a 解：连结DE ，可知AED ?为直角三角形。则EF 是DEA Rt ?斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a .

三、解答题

1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ABC ?的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E

（I ）证明：ABE

?ADC ?

（II ）若ABC ?的面积AE AD S ?=21

，求BAC ∠的大小。

证明：

（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠

因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=

故△ABE∽△ADC . ……5分 （Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以AB

AD

AE AC =，即AB ·AC=AD ·AE.

又S=1

2AB ·ACsin BAC ∠，且S=1

2AD ·AE ，故AB ·ACsin BAC ∠= AD ·AE.

则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分

2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：

O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π

。

（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；

（II ）求直线AM 的参数方程。

解：

（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π

，且M 点的极径等于3π

，

故点M 的极坐标为（3π，3π

）. ……5分

（Ⅱ）M 点的直角坐标为（3,66ππ

），A （0,1），故直线AM 的参数方程为

1(1)636x t

y t π

π

?=+-????=??（t 为参数） ……10分

3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(

2222≥+++++c

b a

c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

证明：（证法一）

因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 2222313

3()

1113()a b c abc abc a b c

-++≥++≥ ① 所以2231119()abc a b c -??++≥ ???

② ……6分 故22222

233111()3()9()a b c abc abc a b c -+++++≥+. 又2

2

333()9()22763abc abc -+≥= ③

所以原不等式成立. ……8分

当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立。当且仅当22333()9()

abc abc -=时，③式等号

成立。

即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。 ……10分

（证法二）

因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 222222222a b ab

b c bc c a ac

+≥+≥+≥

所以222a b c ab bc ac ++≥++ ① 同理222111111a b c ab bc ac

++≥++ ② ……6分 故2222111()a b c a b c

+++++ 1113

3363ab bc ac ab bc ac ≥+++++≥ ③

所以原不等式成立. ……8分

当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c ，222()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。 ……10分

4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=11a b ?? ???

，20c N d ??= ???，且2020MN ??= ?-??， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为23,2252

x t y t ?=-????=-??（t 为参数）。在极坐标系（与

直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,5)， 求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

（1）选修4-2：矩阵与变换

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得1122

a b c d =-??=-??=??=?； （Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），

由001111-????= ???-????00?? ???，131111-????= ???-????22-?? ???

得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而

直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由25sin ρθ=得22250,x y y +-=即22

(5) 5.x y +-= （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2222(3)()522t t -

+=， 即23240,t t -+=由于2(32)4420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根， 所以121232,(3,5),4

t t l P t t ?+=??=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得： |PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =32。

（3）选修4-5：不等式选讲

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的

解集为{}|15x x -≤≤，所以3135a a -=-??+=?

，解得2a =。 （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是

()=|x-2||3|g x x ++=21,<35,3221,>2x x x x x ---??-≤≤??+?

，所以

当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．

。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ． 选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB

延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证

能力。

（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ，

又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。

（方法二）证明：连结OD 、BD 。

因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB 。

因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC ，所以∠DAC=∠DCA ，

于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO 。

即2OB=OB+BC ，得OB=BC 。

故AB=2BC 。

B ． 选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k

为非零实数，矩阵B O C A D

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