三角函数的图像和性质》学案

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第 1 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 三角函数的图像和性质

【考点阐述】

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

【考试要求】

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示．

【考题分类】

（一）选择题（共21题）

1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π

=+图像的对称轴方程可能是（ ）

A ．6x π

=- B ．12x π

=- C ．6x π

= D ．12x π

= 解：sin(2)3y x π

=+的对称轴方程为232x k π

π

π+=+，即212k x ππ=+，0,12

k x π== 2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）

A 、最小正周期为π的奇函数

B 、最小正周期为

2

π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2

π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D. 3.（海南宁夏卷理1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]

的图像如下：那么ω=（ ）

A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/3 解：由图象知函数的周期T π=，所以2ω=

4.（海南宁夏卷文11）函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，32

D. －2，32

【标准答案】：Ｃ

【试题解析】：∵()221312sin 2sin 2sin 22f x x x x ??=-+=--+ ??

? ∴当1sin 2x =时，()max 32

f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ； 【高考考点】三角函数值域及二次函数值域

【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。

【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。

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5.（湖南卷理6）

函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ??

?

???

上的最大值是( ) A.1

C.

3

2

【答案】C

【解析】由1cos 21()2sin(2)226

x f x x x π

-=

+=+-, 52,42366x x ππππ

π≤≤

?

≤-

≤

max 13

()1.22

f x ∴=+=故选C.

6.（江西卷理6文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22

ππ

内的图象是 【解析】D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x

当时

当时

7.（江西卷文6）函数sin ()sin 2sin

2

x f x x

x =

+是

A ．以4π为周期的偶函数

B ．以2π为周期的奇函数

C ．以2π为周期的偶函数

D ．以4π为周期的奇函数 【解析】

A

sin()()()sin()2sin

2

x f x f x x

x --=

=--+ (4)()(2f x f x f x

ππ+=≠+ 8.（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ??

=+ ??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）

A ．向左平移5π

12个长度单位

B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

【解析】.A.

55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ???

??

?=+=+

=+ ? ? ???????

只需将函数

sin 2y x =的图像向左平移

5π12个单位得到函数πcos 23y x ?

?=+ ??

?的图像.

A

B

C

D

-

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第 3 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ）

A ．最小正周期为2π的偶函数

B ．最小正周期为2π的奇函数

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D 2

ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。

∵－－－，∴＝＝　　，为奇函数。∴答案为－10.（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ?

?=+ ???

的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6

个长度单位 B ．向右平移

π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 5y=cos (x+)=sin (+x+)=sin(x+)3236

5y sinx C 6

π

π

π

ππ解析:本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式：∵∴可由＝向左平移得到∴答案为 11.（全国Ⅱ卷理8）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）

A ．1

B 2

C 3

D ．2 【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π的图象，由图象知，当43π=x ，即43π=a 时，得2

21=y ，222-=y ，∴221=-=y y MN 【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离

【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题

12.（全国Ⅱ卷文10）函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）

A ．1

B ． 2

C ．3

D ．2 【答案】B 【解析】)4sin(2cos sin )(π

-=-=x x x x f ，所以最大值是2

【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题

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第 4 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题

13.（四川卷理10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f =

【解】：∵()()sin f x x ω?=+是偶函数

∴由函数()()sin f x x ω?=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点，

∴()'00f = 故选D

【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；

【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f

=； 14.（天津卷理3）设函数()R x x x f ∈??

? ??

-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数

(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2

π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ．

15.（天津卷理9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令

??? ?

?=??? ??=??? ??=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a << 解析：5(cos

)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77

c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 777

2πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． 16.（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）

A ．sin 23y x x π?

?=-∈ ???R ， B ．sin 26x y x π??=+∈ ???

R ，

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第 5 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 C ．sin 23y x x π??=+

∈ ???R ， D ．sin 23y x x 2π??=+∈ ???

R ， 解析：选C, 132sin sin()sin(2)33

y x y x y x πππ

=→=+???????→=+向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍． 17.（天津卷文9）设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 解析：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 777

2πππ<<<<，选D ． 18.（浙江卷理5文7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为： ])20[)(232cos(

ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x x π∈作出原函数图像， 截取[0,2]x π∈部分，其与直线21=y 的交点个数是2个. 19.（浙江卷文2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是

（A ）2

π （B ）π （C ）32π （D ）2π 解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为：sin 22y x =+，故其周期为2.2

T ππ== 20.（重庆卷理10）函数f(x)

02x π≤≤) 的值域是 （A ）

[-2] (B)[-1,0] （C ）

]

（D ）

] 解：特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x)

1=-淘汰A ，

令=26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3cos 2x =所以矛盾()f x

≠C ， D

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第 6 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 21.（重庆卷文12）函数f (x

(0≤x ≤2π)的值域是 (A)[-11,44] (B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33

] 【答案】C

【解析】本小题主要考查函数值域的求法。

令(13)t t =≤≤，则

222

16(5)sin 16t x --=，当0x π≤≤时

，9s i n x ==

，1()42

f x t ===≤=当且仅

当t =2x ππ<≤时，1()2f x ≥-

，综上可知()f x 的值域为11[,]22

-，故选C 。 （二）填空题（共8题）

1.（广东卷理12）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 【解析】21cos 21()sin sin cos sin 222

x f x x x x x -=-=-,此时可得函数的最小正周期22

T ππ==。 2.（江苏卷1）()cos()6f x wx π=-的最小正周期为

5

π，其中0w >，则w = 。 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==?=【答案】10 3.（辽宁卷理16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ?

?????=+>= ? ? ???????

，，且()f x 在区间63ππ?? ???

，有最小值，无最大值，则ω＝__________． 解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题()s i n ()(0),()()363f x x f f π

ππωω=+>=且()f x 在区间(,)63ππ

有最小值,无最大值,∴区间(,)63ππ为()f x 的一个半周期的子区间，且知()f x 的图像关于6324x π

ππ+==对称，

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第 7 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 ∴32,432k k Z π

π

πωπ?+=+∈,取0K =得14.3ω=答案：143

4.（辽宁卷文16）设02x π??∈ ???

，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。22sin 12cos 2,sin 2sin 2x x y k x x

+-=== 取(0,2),A 22(sin 2,cos2)1B x x x y -∈+=的左半圆,作图(略)易知

min tan60k ==

5.（上海卷理6）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是

【答案】2

【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π

=+=+?=.

6.（上海春卷4）方程2cos 14x π?

?-= ???

在区间(0,)π内的解是 . 解析：原方程就是1cos 42

x π?

?-= ???，所以72,22431212x k x k x k πππππππ-=±=+=-或 故在区间(0,)π内的解是712x π=

。 7．（四川延考理15）已知函数()sin()6f x x π

ω=- (0)ω>在4(0,)3

π单调增加，在4(

,2)3

ππ单调减少，则ω= 。 解：由题意44()sin()1336f πππω=-=4312,36222

k k k Z πππωπω?-=+?=+∈ 又0ω>，令0k =得12ω=。（如0k >，则2ω≥，T π≤与已知矛盾） 8．（四川延考文14）

函数2()cos f x x x =-的最大值是____________．

解： 因

为s i n x ≤，2cos 0x ≥，

2()s i n c o s 3f x x x ?-，正好

s i n 1,c o s 0

x x ==时取等号。

（另2227()cos sin 1(sin 4

f x x x x x x =-=-=-在sin 1x =时取最大值）

（三）解答题（共16题）

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第 8 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 1.（安徽卷理17文17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-

上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

++-

1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-

2T 2ππ=

=周期∴ 由2(),()6223

k x k k Z x k Z π

π

πππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+

∈ （2）5[,],2[,]122636

x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π

=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 所以 当3x π

=时，()f x 取最大值 1

又

1()()1222f f π

π-=<= ，当12x π=-时，()f x

取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-

上的值域为[ 2.（北京卷理15文15）

已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω?

?=+

???（0ω>）的最小正周期为π．

（Ⅰ）求ω的值；

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第 9 页 共 19 页 金太阳新课标资源网82fc4cec6294dd88d0d26b32 （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

??????，上的取值范围． 解：

（Ⅰ）1cos2()22x f x x ωω-=

112cos222x x ωω=-+π1sin 262x ω??=-+ ???． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262

f x x ?

?=-+ ???． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ??-- ??

?≤≤， 因此π130sin 2622x ?

?-+ ???≤≤，即()f x 的取值范围为302??????

，． 3.（广东卷理16文16）已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ?? ???

，．

（1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ?

?∈ ???，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值． 【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ?=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32π?+=，而0?π<<，536π?π∴

+=，2π?∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)

2παβ∈

，45sin ,sin 513

αβ∴==， 3124556()cos()cos cos sin sin 51351365

f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=。 4.（湖北卷理16）

已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f t g x x f x x f x x ππ==?+?∈

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（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.

解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）

解：

（Ⅰ）()cos sin g x x x =

cos sin x x =1sin 1cos cos sin .cos sin x x x x x x

--=+ 17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π??∈π∴=-=- ??? 1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x

--∴=+--

sin cos 2x x =+-

2.4x π?

?+- ???

（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443

x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ?? ???上为减函数，在35,23ππ?? ???

上为增函数， 又5535sin sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π??∈π ???

），

即1sin()2)234

24x x π

π-≤+-≤+--＜，＜， 故g (x )

的值域为)2,3.?-?

5.（湖北卷文16）已知函数2()sin cos cos 2.222

x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω???π++>>∈的形式，并指出

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()f x 的周期；

（Ⅱ）求函数17()[,]12

f x ππ在上的最大值和最小值 解：(Ⅰ

)11cos 133()sin 2(sin cos ))222242x f x x x x x π+=+-=+-=+-. 故()f x 的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x ≤1217π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝2

3)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[

1217,45ππ]上是增函数. 故当x =45π时，f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (1217π)＝－4

66+＜－2， 所以当x =π时，f (x )有最大值－2. 6.（湖南卷文17）已知函数x x x x f sin 2sin 2cos

)(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；

（II ）当)4,0(0π

∈x 且5

24)(0=x f 时，求)6(0π+x f 的值。 解：由题设有()cos sin f x x x =+=

π2)4x +． （I ）函数()f x 的最小正周期是2π.T =

（II ）由524)(0=x f

0π)4x +=即0π4sin(),45x += 因为)4,0(0π

∈x ,所以0ππ(,).442

x π+∈

从而0π3cos().45x +===

于是)6(0π+x

f 00ππ))]4646

x x ππ=+

+=++

00ππ)cos cos()sin ]4646x x ππ=+++

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43162().525210

=?+?= 7.（江苏卷15）.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B

的横坐标分别为

10。 （1） 求tan()αβ+的值；

（2） 求2αβ+的值。

【试题解析】

先由已知条件得cos ,cos 10αβ==，第（1）问求tan()αβ+的值，运用正切的和角公式；第（2）问求2αβ+的值，先求出tan(2)αβ+的值，再根据范围确定角的值。

【标准答案】（1

）由已知条件即三角函数的定义可知2cos αβ==， 因α为锐角，故sin 0α>

，从而2sin 1cos αα=-=

同理可得

5sin 5

β==，因此1tan 7,tan 2αβ==. 所以tan()αβ+=1

7tan tan 231

1tan tan 172

αβαβ+

+==---? ; （2）132tan(2)tan[()]111(3)2

αβαββ-++=++==---?, 30,0,02,222

πππαβαβ<<<<<+<又故 从而由 tan(2)1αβ+=- 得 324

παβ+=. 8.（江西卷文17）已知1tan 3α=-

，cos β=,(0,)αβπ∈

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（1）求tan()αβ+的值；

（2

）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．

解：（1

）由cos β=(0,)βπ∈得tan 2β=

，sin β=于是tan()αβ+=12tan tan 3121tan tan 13

αβαβ-++==-+. （2）因为1

tan ,(0,)3ααπ=-∈

所以sin αα==

()f x x x x x =-+-

x = ()f x 5

9.（山东卷理17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为

.2π （Ⅰ）求f （8

π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移

6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：

（Ⅰ）())cos()f x x x ω?ω?+-

+12)cos()2x x ω?ω??=+-+??? π2sin 6x ω???=+- ??

?． 因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此π

πsin()sin 66x x ω?ω???-+-=+- ???

． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ω?ω?ω?ω??

????

???--+-=-+- ? ? ? ?????

????，

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整理得πsin cos 06x ω??

?-= ???

． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06??

?-

= ???． 又因为0π?<<，故ππ62?-=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω??=+= ??

?． 由题意得2ππ22

ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =．

因此ππ2cos 84f ??== ???

． （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ??- ??

?的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ??- ??

?的图象． 所以πππ()2cos 22cos 464623x x x g x f ????????=-=-=-

? ? ???????????． 当π2π2ππ23

x k k -+≤≤（k ∈Z ）， 即2π8π4π4π33

k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ?

?++????

，（k ∈Z ）． 10.（山东卷文17）

已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2

． （Ⅰ）求π8f ?? ???

的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移

π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．

解：

（Ⅰ）())cos()f x x x ω?ω?+-+

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12)cos()2x x ω?ω??=+-+???

π2sin 6x ω???=+- ???． 因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此π

πsin()sin 66x x ω?ω???-+-=+- ???

． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ω?ω?ω?ω??

???????--+-=-+- ? ? ? ????????

?， 整理得πsin cos 06x ω???-= ???．因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06???-= ???． 又因为0π?<<，故ππ62?-

=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω??=+= ???． 由题意得2ππ22

ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =

．因此ππ2cos 84f ??== ??? （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ??- ??

?的图象， 所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ????????=-

=-=- ? ? ???????????． 当π2π22ππ3

k x k -+≤≤（k ∈Z ）， 即π2πππ63

k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ?

?++????

，（k ∈Z ）． 11.（陕西卷理17）

已知函数2()2sin

cos 444x x x f x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x f x ?

?=+ ???

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：

（Ⅰ）2()sin

2sin )24x x f x =+-

sin 22x x =π2sin 23x ??=+ ???．

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()f x ∴的最小正周期2π4π1

2

T ==． 当πsin 123x ??+=- ???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??+= ???

时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ??=+ ???． ∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????

???π2sin 22x ??=+ ???2cos 2x =． ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??-=-== ???

． ∴函数()g x 是偶函数．

12.（陕西卷文17）已知函数()2sin cos 3442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x f x ?

?=+ ???

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：（Ⅰ）()f x sin

322x x =π2sin 23x ??=+ ???． ()f x ∴的最小正周期2π4π1

2

T ==． 当πsin 123x ??+=- ???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??+= ???

时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ??=+ ???． ∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????

???π2sin 22x ??=+ ???2cos 2x =． ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??-=-== ???

．∴函数()g x 是偶函数．

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13.（上海卷文18）已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、

g (x )的图像分别交于M 、N 两点

⑴当t ＝π4时，求|MN|的值

⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值

【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ?

???=?-?+ ? ????

?…………….2分 231cos

.32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π?

?=-+ ??

?

3sin 222t t =……...8分

26t π?

?=- ???

…………………………….11分 ∵ 0,

,2,,2666t t πππππ????∈-∈--??????

?? …………13分 ∴ ｜MN 3 ……………15分

14.（四川卷理17文17）求函数24

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

【解】：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- ()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-

2272sin 24cos sin x x x =-+

272sin 2sin 2x x =-+

()2

1sin 26x =-+

由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为 ()

2m a x 11610

z =--+= 最小值为

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()2m i n 1166

z =-+= 故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，复合函数中间变量的范围是关键；

15.（天津卷理17）已知??? ??3∈=??? ??-

4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值； （Ⅱ）求??

? ??

+32sin πx 的值. 解：（Ⅰ）因为??

? ??∈43,2ππx ，所以??? ??∈-2,44πππx ，于是 10274cos 14sin 2=??? ?

?--=??? ??-ππx x 5

4221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =?+?=??? ??-+??? ??-=???? ??+??? ?

?-=ππππππx x x x （Ⅱ）因为??

? ??∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=??? ??--=--=x x 2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-

==x x x x x 所以50

37243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=??? ??

+πππx x x 16.（天津卷文17）已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2

π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．

本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()y A x ω?=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

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（Ⅰ）解： ()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 22

2cos 2sin 12sin 2

2cos 12+??? ?

?+=+??? ?

?+=++=+++?=πωπωπωωωωωx x x x x x x x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2

π，可得222πωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ?

?+=πx x f ． 当ππ

π

k x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=

216ππ时，??? ??+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为?

?????∈+=Z k k x x ,216|ππ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s78l.html