苏科版七上初一数学竞赛系列训练题含答案

初一数学竞赛系列训练(12)

一、选择题

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条

A．6 B． 7 C．8 D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）

A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A．36条 B．33条 C．24条 D．21条

4．已知平面中有n个点A,B,C三个点在一条直线上，A,D,F,E四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（ ）

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=( ) A．90° B．135° C．150° D．180°

EACH

二、填空题

GBFA3G2B1CCA1EDF2DBD第 5 题F

第 6 题E 第7题

7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点

9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS?GH于P，∠FRG=110°，则

ACSER第10题lHFGPQBD∠PSQ＝ 。

11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。

三、解答题

13．已知：如图，DE∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

DAAEBFE

CGCBD第13题 第14题

15．如图，已知CB?AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，

∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA?AB

16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？

17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？

18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。 20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。

B第 15 题CEAD初一数学竞赛系列训练(12)答案

1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C 2．平面上3条直线可能平行或重合。故选D

3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段

对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。

故共有21条不重叠的线段。故选D

4．由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出

n(n?1)条直线，若A,B,C三点不在一条2直线上，可以画出3条直线，若A,D,E,F四点不在一条直线上，可以画出6条直线， ∴

n(n?1)?3?6?2?38. 整理得 n2?n?90?0,(n?10)(n?90)?0. 2∵ n+9＞0 ∴n?10, ∴选B。

5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同因此图中共有同旁内角4+6＝16对

6．∵FD∥BE ∴∠2=∠AGF ∵∠AGC=∠1-∠3

A3FG2B1CD旁内角，共12对。

EACHGBD第 5 题第 6 题EF∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B 7．解：∵AB∥CD （已知）

CA1E ∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）

∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）

即∠EAD=∠FDA ∴AE∥FD ∴∠E＝∠F

F2BD8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交

点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）

又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个

9．可分7个部分 10．解 ∵AB∥CD∥EF

∴∠APQ＝∠DQG=∠FRG=110° 同理∠PSQ=∠APS

∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ

=110°-90°=20°

11． 0个、1个或无数个

1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；

2）若AB?L，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；

3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个

12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点 13．证明：过E作EF∥BA

∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等） DE∥CB，EF∥BA

DFAGACSER第10题lHFPQBDECB ∴∠1=∠B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） ∴∠1+∠2=∠B+∠A（等式性质）

即∠AED=∠A+∠B

14．证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，

则AB∥EH∥PF∥GQ（平行公理） ∵ AB∥EH

∴ ∠ABE＝∠BEH（两直线平行，内错角相等） 同理：∠HEF＝∠EFP ∠PFG＝∠FGQ

∠QGD＝∠GDC

∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC＝∠BEH+∠HEF+∠FGQ+∠QGD（等式性质） 即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD 15．证明：∵DE平分∠CDA CE平分∠BCD

∴∠EDC=∠ADE ∠ECD =∠BCE (角平分线定义) ∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE =2（∠EDC+∠ECD）＝180° ∴ DA∥CB 又∵ CB?AB ∴ DA?AB

16．两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4×3+3=17

17．（1）2个圆相交有交点2×1＝1个，

第3个圆与前两个圆相交最多增加2×2＝4个交点，这时共有交点2+2×2＝6个 第4个圆与前3个圆相交最多增加2×3＝6个交点，这时共有交点2+2×2+2×3＝12个 第5个圆与前4个圆相交最多增加2×4＝8个交点

∴ 5个圆两两相交最多交点个数为：2+2×2+2×3+2×4＝20 （2）2个圆相交将平面分成2个区域

3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有2×2＝4个不同的交点，这4个点将

EADCPG?EFQDBHB第 15 题C第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6块

4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2×3＝6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12块

5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2×4＝8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20块

18．∵ 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3

条直线，

∴ 最多能确定15+3+1=19条直线

19．将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180° 假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.

因此这8个角中至少有一个小于23°, ∴ 在所有的交角中至少有一个角小于23°

20．平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相

平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。

如图这三组平行线即为所求。

第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×2＝4块区域，这时平面共有区域：2+2×2＝6块

4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2×3＝6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×3＝6块区域，这时平面共有区域：2+2×2+2×3＝12块

5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2×4＝8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2×4＝8块区域，这时平面最多共有区域：2+2×2+2×3+2×4＝20块

18．∵ 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3

条直线，

∴ 最多能确定15+3+1=19条直线

19．将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180° 假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为: 23°×8=184°,这是不可能的.

因此这8个角中至少有一个小于23°, ∴ 在所有的交角中至少有一个角小于23°

20．平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相

平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。

如图这三组平行线即为所求。

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