数学建模A题第二问

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

附件1： 问题的背景与参考资料；

附件2： 嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求； 附件3：距月面2400m处的数字高程图； 附件4：距月面100m处的数字高程图。

第二问 大概思路

月球上没有空气，所以只能依靠主减速发动机来进行减速。依靠主发动机的反向推力实现嫦娥三号速度的调整，抵消着陆器的初始动能和势能。燃料消耗主要在主减速阶段，所以对嫦娥三号的轨迹轨道最优化控制应该主要针对主减速阶段。 月球表面没有空气，故嫦娥三号在下落过程中不会受到大气阻力，即在动力模型中不会出现大气阻力项。嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，整个过程大概需要十几分钟的时间，时间相对较短，所以对日月引力摄动、和月球引力非球项等影响因素可以忽略不计；以及月球所引起的牵引力的影响也可以忽略。 在以上假设下，可以假设其在惯性坐标系下，以月球的求新为原点的极坐标形式来表示飞行器动力学方程：

uveF??v??sin?r??2?RRmo?mt???ve??vrve?F-mtcos??Rmo ???R?vr??ve????R?在式子中，u为月球的引力常数，vr、ve分别表示法向速度和切向速度，?、?表示为推力与切向速度的夹角，F为发动机提供的推力，mo和m分别表示嫦娥三号在起始时的质量和单位时间燃料消耗的公斤数。

第一阶段：嫦娥三号着陆器在近月点的时候，法向速度vf为0，切向速度

?vf?0m/s?ve=1.7km/s，初始条件：?ve?1.7km/s

?R?r?15?这里的R为近月点距离月球圆心的距离，r为月球的平均半径。 第二阶段：

?ve?0m/s?在落至3km高度时，满足条件：?vf?57m/s

?R?r?3?第三阶段：嫦娥三号再主减速阶段完成后，开始进入快速调整阶段，调整结束后，满足

?ve?0m/s ??R?r?2.4第四阶段：嫦娥三号进入粗避障阶段，在100m时，悬停在目标上方，满足条件：

?ve?0m/s??vf?0m/s ?R?r?0.1?第五阶段：嫦娥三号进入精避障阶段，调整水平距离 第六阶段：在高于地面4m进行自由落体运动。 在六个阶段进行软降落的过程中，燃料主要消耗在主减速阶段，嫦娥三号着陆的最优策略是探测器到达月球表面的速度为零，最优策略是在主减速阶段燃耗最小，待优化的性能指标为：

tQ??m（t）dt

t0?，其中?=2940m/s，m的范围为0.51-2.55kg/s。 推力范围在1500-7500N，F?m此函数值得最小值时，代表在主减速过程中消耗的燃料最少，即为最优策略。

将轨道离散化成许多小段，在各个小段设定待优化的参数，然后利用参数进行多项式拟合，从而得到整个轨道的控制曲线。

将嫦娥三号的着陆轨道离散化，分割成n个小段，每段的节点设置一个推力方向，可以令

n?1个节点的推力方向角和结束时刻tn作为待优化的参数。每个节点时刻：

（i?0,1,2，?，n） ti?t0?（tn?t0）/n

每个时刻每个节点都有一个对应的推力方向角，推力方向角假设表示为：

?（t）??0??1t??2t2??3t3

相当于对函数进行逼近，得出没一小段?，将节点的推力方向角与对应的节点时刻对多项式

?（t）进行拟合，求得参数?0、?1、?2、?3，进而求出整个轨道的推力方向?。

轨道的优化

轨道优化问题经离散化后、可以看成一个非线性规划问题。 系统的状态可以定义为：X??vr、ve、R、??

假设控制变量为?，则系统的动力学方程可以表示如下：

X?f?X,?，t?

由于?的变化是连续的，所以相邻的两个离散点满足Xn?1?Xn=0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s6lt.html