第七章第4-5节重力势能，探究弹性势能的表达式

第七章第4-5节重力势能，探究弹性势能的表达式

一、学习目标：

1. 理解重力势能的概念。会用重力势能的定义式进行计算。

2. 理解重力势能的变化与重力做功的关系。知道重力做功与路径无关。 3. 知道重力势能的相对性。

4. 理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法。 5. 猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关，培养学生科学预测的能力。 6. 体会计算拉力做功的方法，体会微分思想和积分思想在物理学上的应用。 二、重点、难点： 重点： 1. 重力势能，重力势能的变化与重力做功的关系。 2. 利用微元法和图象法计算变力做功的问题。 难点： 1. 重力势能的变化与重力做功的关系。 2. 理解用微元法把变力做功转化为恒力做功。 3. 理解利用力－位移的图象计算变力做功的依据。 三、考点分析： 内容和要求 重力势能 考点细目 重力势能的大小计算 重力做功的特点 重力做功与重力势能变化的关系 弹性势能 探究弹性势能表达式 弹性势能的概念和大小计算 计算变力做功的方法 选择、计算题 选择题 出题方式 选择、计算题 选择题 选择、计算题 势能 势能：由相互作用的物体之间相对位置决定的能量叫势能。重力势能、弹性势能都是势能的一种。 （1）势能是属于相互作用物体共有的。 （2）势能有多种形式，除上述两种外还有其他的如热运动中的分子势能，电磁运动中的电势能等。

一、重力势能

1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号EP表示，用公式表示为

EP?mgh。单位：m用kg，g用m/s2，高度h用m，则EP的单位为焦耳，记作J。

重力势能是能量，是状态量，是标量，其正负表示大小。

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2. 重力势能的相对性 重力势能的大小与高度有关，起点位置不同则相对高度不同，重力势能大小不同，所以重力势能有相对性。如下图所示水平桌面高度为h2，重物质量为m，距桌面高度为h1，取地面为起点（参考平面），则重力势能EP?mg(h1?h2)， 取桌面为参考平面，则重力势能EP?mgh1，EP与EP不等。 重物在参考平面以下时EP为负值。 3. 重力势能是属于重物与地球系统共有的。 由于重力的施力是地球，物体在重力作用下，物体被举高才具有重力势能，若无重力作用，举起重物不用费力，重物也就没有做功的本领，无重力势能，所以重力势能是以有重力为前提的，因此重力势能属于重物与地球共有的。 4. 重力势能变化及绝对性 如下图所示，重物从高为h1处运动到h2处，则重力势能由mgh1变为mgh2、重力势能变化?EP?EP2?EP1?mg(h2?h1)。若h1?h2，?EP?0，重力势能减小；若h1?h2，? ??EP?0则重力势能增加。 ?EP?mg(h2?h1)?mg?h，?h只与h1、h2的差值有关，与h1、h2的大小无关，所以重力势能变化与参考平面的选择无关，又叫重力势能变化量?EP有绝对性。 如?h?h2?h1，若参考平面向上移1m，则h1?h1?1，h2?h2?1 ?h??h2?h1?(h2?1)?(h1?1)?h2?h1??h A????hBh2h1 5. 重力势能的变化与重力做功的关系 上图中重物m由A运动到B，重力做功mg(h2?h1)?0，WG?mg(h2?h1)，重力势能变化?EP?EP末?EP初，?EP?mgh1?mgh2?mg(h1?h2)??WG 若重物由B运动到A重力做功WG?mg(h1?h2) 第2页 版权所有 不得复制 重力势能变化?EP?EP末?EP初?mgh2?mgh1?mg(h2?h1)??WG 又如重物沿斜面由A运动到B 重力做功WG?mgLcos(?2取B为参考平面EPA?mgh EPB?0 ?EP?EP末?EP初?0?mgh??mgh??WG LBθ??)?mgLsin??mgh Ah 重力势能的变化量与重力做功的数值大小相等，符号相反，即重力做正功，重力势能变化为负值，即重力势能减小。相反，重力做负功，重力势能变化为正值，重力势能增大。再次看到重力做功与路径无关，只与始末位置的高度改变有关。 二、弹性势能 1. 定义 物体由于发生（弹性）形变而具有的能量叫弹性势能。卷紧了的发条、被拉弯了的弓、被拉伸或压缩的弹簧、击球时的羽毛球拍等都具有弹性势能。 由定义可以看出 （1）弹性势能存在于发生弹性形变的物体之中。 （2）弹性势能大小跟物体的性质和形变大小有关。弹簧的弹性势能大小与劲度系数和形变大小有关。弹簧处于自然长度状态无弹性势能。发生形变时只要长度相等，弹性势能相等，弹性势能的参考点在弹簧原长时的长度。弹性势能只有正值没有负值。 2. 弹力做功和弹性势能的关系 （1）探究弹力做功与弹性势能 ①计算弹簧弹力的功。 由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs。设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F—x的图象。如下图所示。则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。由图象可得

W弹=

1122kx1－kx2；x1、x2分别为始末状态时弹簧的形变量。 22方法：分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。

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求和或累加可以通过图象上的面积求得。

②弹性势能的表达式的确定。 由W弹=－ΔEp=Ep1－Ep2和W=合。

说明： ①在Ep=

11122kx1－kx2；可知Ep=kx2。这与前面的讨论相符22212

kx中，Ep为弹簧的弹性势能，k为弹簧的劲度系数，x为形变量（即压缩或212kx，是指弹簧的长度为原长时规定它的弹性势能为零时的表2伸长的长度）；本公式不要求学生掌握和使用。 ②弹簧的弹性势能Ep=达式。我们完全可以规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能，只不过在处理问题时不方便。在通常情况下，我们规定弹簧处在原长时的势能为零势能。 也可以依据功能关系由图象确定弹性势能的表达式 如图a所示，弹簧的劲度系数为k且左端固定，不加外力时，右端在O处，今用力F缓慢向右拉弹簧，使弹簧伸长经A处到B处。手克服弹簧弹力所做的功，其大小应该等于外力F对弹簧所做的功，即为弹簧的弹性势能增加量。由拉力F=kx画出F随x变化的图线（见图b所示），根据W=Fs知，图线与横轴所围的面积应该等于F所做的功。有 1112（kx1+kx2）（x2－x1）= kx2－kx1 22221所以Ep=kx2 2W= （2）弹力做功与弹性势能变化的关系 如下图所示。弹簧左端固定，右端连一物体。O点为弹簧的原长处。当物体由O点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹性势能增加。 当物体由A点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A′点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小。

总之，当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能。这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似。

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知识点一：重力势能

例1. 关于重力势能，以下说法中正确的是（ ） A. 某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的 B. 重力势能为０的物体，不可能对别的物体做功 C. 物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变 D. 只要重力做功，重力势能一定变化

分析：根据重力势能的表达式、重力势能的决定因素、重力做功与重力势能变化的关系进行判断。

解析：由重力势能的表达式Ep=mgh可知，由于高度h具有相对性，重力势能的大小也具有相对性，即处于某个位置的某个物体，在选择不同的参考平面时，重力势能的大小是不同的。 重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，所以重力势能为０的物体，是指物体处于参考平面上，并不能表明物体不具有做功的本领。如在地面上流动的一薄层水，若取地面为参考平面，则其重力势能为０，但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功。 物体的重力势能是由物体的重力和物体的高度共同决定的，只要物体的高度发生变化，物体的重力势能就一定发生变化。例如，当物体沿斜面匀速下滑时，高度减小，重力势能将减小。 重力的方向总是竖直向下的，重力做功时物体的高度肯定发生变化，重力势能也一定发生变化。 可见，正确选项为D。 解题后的思考：重力势能的大小是相对的，重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。重力做功是重力势能变化的量度，因此重力势能的变化量和重力做功的数值总是相等的。 例2. 如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端P，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求物体重力势能的增加量。 分析：物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧拉伸长度之差。 解析：物体离开地面后，弹簧的伸长量为?x?mg。 kmg可见，物体上升的高度为?h?h??x?h?。 k从而，物体重力势能的增加量为?Ep?mg?h?mg(h?mg)。 k解题后的思考：由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力作用点上移的高度，如不注意这一点，往往会造成错解。

例3. 如图所示，圆柱形水箱高为5m，容积为50m3，水箱底部接通水管A，顶部接通水

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管B。开始时箱中无水，若仅使用A管或仅使用B管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止，试计算两种情况下外界各需做多少功？（设需注入的水开始时均与箱底等高，g取10m/s2）

分析：注水的过程外力克服水的重力做功，增加了水的重力势能，由于是缓慢注水，水的动能不增加，所以外力做功数值上就等于水所增加的重力势能。 解析：以H表示水箱的高度。水若从A管注入，整箱水的重心被升高H，外界做功 2W1?mg?HH5??Vg??103?50?10?J=1.25×106J。 222水若从B管注入，整箱水应先升高到H的箱顶处，故外界做的功 W2=2W1=2×1.25×106J=2.5×106J。 解题后的思考：本题是非常实用的一个例子，造成这种差异的原因是相同质量的水被提升的高度不一样，为了节省能源，我们应该采用从下方注水的方式。有些同学认为，两种注水方式水的重心上升高度相同，故做功相同。这种想法只是注意到了前后两个平衡状态，而没有注意两个过程不一样。事实上，当从上管注水时，水被提升后再流入箱中，水的重力势能将减小而转化为水的动能，但是外界需做对应于把水提升到上管口的功。 例4. 如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧的两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面。在此过程中，两物体的重力势能分别增加了多少？ 分析：物体重力势能的增加等于物体重力与物体被提升高度的乘积。开始时，整个系统处于平衡状态，两弹簧均被压缩。现施力将物块1缓慢上提，直到下面的弹簧刚好脱离桌面，在此过程中下面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，而上面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，接着由于物块2施加拉力又逐渐变为拉伸状态。 解析：下面的弹簧受到的压力大小为(m1+m2)g，弹簧的压缩量 ?x2?(m1?m2)g。

k2(m1?m2)g(m1?m2)m2g2。 ?m2g?x2?m2g??k2k2要使其离开桌面，物块2应上升高度△x2，则物块2增加的重力势能为

?Ep2把物块1拉起的过程中，上面的弹簧是由压缩状态转为拉伸状态，其原先压缩的长度为

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?x1?m1g， k1m2g， k1??最终拉伸的长度为?x1则物块1提升的高度为

???x2??x1??x1m1gm2g(m1?m2)g。 ??k1k1k2所以，物块1增加的重力势能为 ???x2) ?Ep1?m1g(?x1??x1?m1g[m1gm2g(m1?m2)g11??]?m1(m1?m2)g2(?)。 k1k1k2k1k2解题后的思考：本题涉及物体的平衡条件和重力势能的概念，所述物理过程比较复杂，难度较大，需注意把物理过程分析清楚，注意整体法与隔离法的应用。 知识点二、弹性势能 例5. 如图所示，质量相等的A、B两物体之间连接一轻质弹簧，竖直放在水平地面上，今用力F缓慢向上拉A，直到B刚要离开地面，设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时弹簧的弹性势能为Ep2，试比较Ep1、Ep2的大小。 分析：该题涉及到弹性势能的求解，注意其计算公式的应用以及弹簧形变量的确定。 解析：对于同一弹簧，其弹性势能的大小取决于它的形变量。开始时，弹簧处于压缩状态，与原长相比，它的压缩量为△l1=mAg。当B刚要离开地面时，弹簧处于拉伸状态，与k原长相比，它的伸长量为△l2=mBg。因为mA=mB，所以△l1=△l2。故Ep1=Ep2。 k解题后的思考：该题在求解时应注意，两种情况下弹簧弹力相同，所以形变量相同，所以弹性势能大小相同，注意体会弹性势能大小只取决于形变量的大小。 例6. 如图所示。质量不计的弹簧，竖直放在水平桌面上，原长为L，劲度系数为k，在弹簧的正上方有质量为m的小球，从与弹簧的上端相距h的A点处自由落下。（已知弹簧的弹性势能的表达式为E?12kx，x为弹簧形变量） 2求：弹簧被小球压缩的最大压缩量多大？

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分析：本题考查关于弹性势能的计算，即压缩量最大时的弹性势能的大小。 解析：小球从A点自由落下，在弹簧被压缩xmax时，小球到达位置B，速度为零，取B点为重力势能零参照点，如图所示，在小球由A到B的过程中，重力做正功，W1?mg(h?xmax)，重力势能减少了mg(h?xmax)；弹簧被压缩xmax的过程中，弹力做负1?kx?功，W2???max?xmax，弹性势能增加了kx2max，可见，小球由A到B的过程中，是22??系统中的重力势能转化为弹性势能的过程。 1mg(h?xmax)?kx2max 2解此方程，可得 xmaxmg?mg??mg??????2??h k?k??k?2解题后的思考：在解题的过程中要注意重力做功和弹力做功时都对应着相应能量的转化，做功多少等于转化的能量的大小，体会公式及能量转化的量度。 重力势能是机械能的重要内容。要从重力做功与路径无关的特点出发，理解建立重力势能概念的可能性，掌握重力势能的定义式，明确重力做功和重力势能变化的关系。重力做功和路径无关，重力做功的这个特点，为我们提供了一个求重力做功的简单而重要的方法，所以重力势能的变化和运动过程是没有关系的，只需要判定物体初末状态的位置变化即可，但是重力势能却具有相对性，在研究时首先要注意选择参考平面。物体所在的高度是由物体同地球组成的系统内部的相对位置所决定的，因此重力势能是属于这个系统的，而不是物体单独具有的。我们平常所说的“物体的重力势能”，只是一种习惯而简化的说法，这一点大家在理解时要注意。弹性势能和重力势能，都属于势能的范畴，它们之间必定有某些相似的地方，所以我们在探究弹性势能的过程中可以参照重力势能的研究过程。分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。求和或累加可以通过图象上的面积求得。通过这种方法的应用，得到了弹性势能的表达式和求解变力做功的方法，这一点需

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要大家解题时注意。

将下节课的内容，以设问的方式设置问题，创造情境，引起学生的思考。问题的设计要把新旧知识结合起来，自然地过渡到新的知识。

一、预习新知

下一讲我们将要学习动能和动能定理

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：动能的大小计算

【反思】动能的大小计算以及动能变化的含义 探究任务二：动能定理

【反思】（1）动能定理的内容和表达式 （2）动能定理的意义及应用要点 （3）动能定理的解题步骤

（答题时间：35分钟）

1. 下列关于重力势能的说法，正确的是（ ）

A. 重力势能只跟物体所处的初末位置有关，与物体实际经过的路径无关 B. 重力势能的变化，只跟重力做功有关，和其他力做功多少无关 C. 重力势能是矢量，在地球表面以上为正，在地球表面以下为负 D. 重力势能的变化量等于重力对物体做的功

2. 沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是（ ）

A. 沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多

B. 沿坡度大，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多 C. 沿坡度小，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多

D. 不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同，物体增加的重力势能也相同 3. 关于弹性势能，下列说法正确的是（ ） A. 发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B. 只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能 C. 弹性势能可以与其他形式的能相互转化 D. 弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳

4. 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（ ） A. 当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B. 当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小

C. 在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大 D. 弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

5. 如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面时瞬间的重力势能为（ ）

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A. mgh B. mgH C. mgh（h+H） D. －mgh

6. 如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是（ ）

A. 物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比 B. 物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等 C. 弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D. 弹簧的弹力做负功，弹性势能增加 7. 物体从斜面上高度为h的地方，由静止释放沿斜面下滑又在水平面上运动到P点停下来，用推力把物体推回到斜面上同一位置，推力做功至少为（ ） A. mgh B. 2mgh C. 3mgh D. 1mgh 28. 如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链：直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少?物体的重力势能变化了多少? 9. 如图所示，在离地面高为H的地方将质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，取抛出位置所在的水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处的重力势能各是多少?小球从抛出至落地过程中重力对小球做的功和重力势能的变化各是多少? 10. 某海湾共占面积1.0×10m，涨潮时水深20m，此时关上水坝闸门，可使水位保持20m72不变；退潮时，坝外水位降至18m后保持不变，假如利用此水坝建水电站，且重力势能转化为电能的效率是10％，每天有两次涨潮，问该水电站一天最多能发出多少电能?（取g=l0m／s2）

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1. AB 解析：重力势能是跟相对位置有关的能量，势能的变化只跟重力做功有关，跟物体受不受其他力、其他力做不做功，以及物体的运动状态都没有关系。而且它是标量，但有正负，正值表明物体处在零势能参考平面上方，负值表明物体处在零势能参考平面下方。重力势能的变化量等于重力对物体做功的负值，也就是说，重力做正功，重力势能减小，减小量等于重力所做的功；重力做负功，重力势能增加，增加量等于克服重力所做的功。 2. D 解析：重力做功与物体的运动路径无关，只与初末状态物体的高度差有关，不论是光滑路径还是粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动。物体克服重力做了多少功（重力做多少负功），它的重力势能就增加多少。 3. ACD 解析：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，都具有弹性势能，A正确；其他物体在发生弹性形变时也具有弹性势能，故B错；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确。 4. C 解析：弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关。如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小。所以A、B、D均不对。 5. D 解析：重力势能的大小是相对参考平面而言的，参考平面选择不同，物体的高度不同，重力势能的大小则不同。本题中已选定桌面为参考平面，则小球在最高点时的高度为H，小球在桌面的高度为零，小球在地面时的高度为－h，所以小球落到地面时，它的重力势能为Ep=－mgh。 6. BD 解析：由功的计算公式W=Fscosθ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力F=kx，所以A不正确。弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确。 7. B 解析：物体下滑时，重力做功WG?mgh，摩擦力做功数值总和为Wf，则WG?Wf Wf?mgh 把物体推回到斜面上，摩擦力做功至少为mgh，重力势能增加mgh。 ∴推力做功至少为2mgh，B正确。 mhP 8. 98J，增加了98J。 解析：铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了h=物体克服重力所做的功为W=9. l，因而2llmg=×10×9.8×2J=98J。铁链的重力势能增加了98J。 2212，－mgH，mgH，重力势能减小mgH mv022解析：小球能上升到的最高点离抛出点相距h=v0／2g，所以在最高点时具有重力势能Ep=mgh。落地时小球的位置在参考平面下方H处，所以落地时小球具有重力势能Ep=－mgH。重力做功与小球运动路径无关，小球从抛出至落地过程中重力做功WG=mgH，由WG=－Δ

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Ep得这一过程中小球重力势能变化为ΔEp=－mgH，负号表示重力势能减小。 10. 4×10l0J

解析：关上水坝闸门，退潮后，坝内水位比坝外高出2m，如图所示，发电时高出部分的水通过发电机流向坝外，最终水位从20m降至18m，减小的重力势能的一部分转化为电能，由ΔEp=mgΔh可以算出减小的重力势能，从而就能算出所发的电能。

设海湾面积为S，则打开闸门流过水电站的水的体积最多为hs，h为水面高度差，水的质量为m=ρV=ρhS。 重力势能的减小量为ΔEp=mg·一天最多发出电能为 E=2×△Ep×10％=0.2×h1=ρSh2g。 22117ρSh2g =0.2××1.0×103×1.0×10×22×10J=4×10l0J。 22对流体类重力势能的改变，将所有流动的流体视为一个整体。找出其重心位置的变化，本题中水位降低2 m，但重心不是降低2 m，而是1 m。

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