云南省届中考数学总复习题型专项五四边形的有关的证明与计算试题

题型专项(五) 四边形的有关证明与计算

四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题．

1．(2015·黄冈)已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．

证明：∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF，

∴∠BEF＝∠DFE. ∴∠AEB＝∠CFD. 在△AEB和△CFD中，

∠BAE＝∠DCF，??

?AE＝CF，

??∠AEB＝∠CFD，∴△AEB≌△CFD(ASA)． ∴AB＝CD. ∵AB∥CD，

==∴四边形ABCD是平行四边形．

2．(2016·吉林)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．

证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD.

∴∠AOD＝90°. ∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE为平行四边形． ∴四边形AODE是矩形．

3．(2015·昆明盘龙区二模)如图，在?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.

(1)求证：△AOD≌△EOC；

(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠ADC＝∠DCE. ∵O是CD的中点， ∴OD＝OC.

1

?∠ADC＝∠DCE，在△AOD和△EOC中，?

?OD＝OC，

??∠AOD＝∠EOC，∴△AOD≌△EOC(ASA)．

(2)理由：

由△AOD≌△EOC，得OA＝OE，OD＝OC. ∴四边形ADEC是平行四边形． ∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE. 又∵在?ABCD中，AB∥CD，

==∴CD＝AE.

∴四边形ADEC是矩形．∴∠ACE＝90°. ∴∠CAE＝90°－∠AEC＝90°－45°＝45°. ∴∠CAE＝∠AEC.∴AC＝CE. ∴四边形ADEC是正方形．

4．(2016·曲靖模拟)已知：如图，?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)连接EF、BD，求证：EF与BD互相平分．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA， ∴∠ABE＝12∠ABC，∠CDF＝1

2∠CDA.

∴∠ABE＝∠CDF.

在△ABE和△CDF中， ??

∠ABE＝∠CDF，?AB＝CD，

??∠A＝∠C，

∴△ABE≌△CDF(ASA)． (2)连接EF、BD. ∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC. ∴DE＝BF且DE∥BF.

∴四边形BFDE是平行四边形． ∴EF与BD互相平分．

5．(2016·云南考试说明)如图，已知点D在△ABC的边BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.

(1)求证：AE＝DF；

(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

2

解：(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∴AE＝DF.

(2)若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形． 理由：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵∠DAF＝∠EAD，∠FDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠FDA. ∴AF＝DF.

∴四边形AEDF是菱形．

6．(2016·云南模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别在边CD、AB上．

(1)若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵DE＝BF，

∴AF＝CE，AF∥CE.

∴四边形AFCE是平行四边形．

(2)∵四边形AFCE是菱形，∴AE＝CE. 设DE＝x，则AE＝6＋x，CE＝8－x.

722

则6＋x＝8－x，解得x＝. 4725

则菱形的边长为：8－＝. 4425

周长为：4×＝25.

4

故菱形AFCE的周长为25.

7．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．

(1)求证：CP＝AQ；

(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．

2

2

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

3

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC. ∴∠E＝∠F.

∵BE＝DF，∴AE＝CF.

∠C＝∠A，??

在△CFP和△AEQ中，?CF＝AE，

??∠F＝∠E，∴△CFP≌△AEQ(ASA)．∴CP＝AQ.

(2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°. ∵∠AEF＝45°，

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形．

∴BE＝BP＝1，AQ＝AE.∴PE＝2BP＝2. ∴EQ＝PE＋PQ＝2＋22＝32. ∴AQ＝AE＝3.∴AB＝AE－BE＝2. ∵CP＝AQ，AD＝BC， ∴DQ＝BP＝1.

∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4. ∴S矩形ABCD＝AB·AD＝2×4＝8.

8．(2016·云南考试说明)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于G，H两点．

(1)求证：△ABE∽△ADF；

(2)若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．

证明：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE＝∠ADF. ∴△ABE∽△ADF. (2)∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG＝∠DAH.

∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG. 从而∠AGB＝∠AHD. 在△AGB和△AHD中， ∠BAG＝∠DAH，??

?AG＝AH，

??∠AGB＝∠AHD，

∴△ABG≌△ADH(ASA)．∴AB＝AD. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．

9．(2016·株洲)已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF.

(1)求证：△ADF≌△ABE；

4

(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．

解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°. ∴∠ADF＝∠ABE＝90°. 在△ADF与△ABE中， ??

AD＝AB，?∠ADF＝∠ABE， ??DF＝BE，

∴△ADF≌△ABE(SAS)． (2)过点A作AH⊥DE于点H.

在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1， ∴AE＝10，ED＝CD2

＋CE2

＝5.

∵S＝19

△AED2AD·BA＝2，

S19

△ADE＝2DE·AH＝2，

解得AH＝1.8.

在Rt△AHE中，EH＝2.6， ∴tan∠AED＝AH1.89

EH＝2.6＝13

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