高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案) -

高中数学选修2--1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例

一、椭圆

1.椭圆的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0

2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 图形 x2y2?2?1(a?b?0) 2abx2y2?2?1(a?b?0) 2ba 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 (?a,0),(0,?b) (0,?a),(?b,0) x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b F1(?c,0)、F2(c,0) F1(0,?c)、F2(0,c) 焦距为F1F2?2c(c?0), c2?a2?b2 e?c (0

( )

(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知?ABC的周长是16，A(?3,0)，B(3,0), 则动点的轨迹方程是( )

x2y2x2y2x2y2x2y2(A)??1 (B)??1(y?0) (C)??1 (D)??1(y?0) 2516251616251625

x2y2例3. 若F(c，0)是椭圆2?2?1的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最

ab小值为m，则椭圆上与F点的距离等于

M?m的点的坐标是( ) 2b2b2(A)(c，?) (B)(?c,?) (C)(0，±b) (D)不存在

aa

x2y2例4 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径

ab的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )

(A)

3622 (B) (C) (D) 2323x2y2例5. P点在椭圆??1上，F1、F2是两个焦点，若PF1?PF2，则P点的坐标

4520是 .

例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .

(2)焦点坐标为(?3,0),(3,0),并且经过点(2，1); .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为(?3,0),(3,0),且短轴是长轴的(4)离心率为

1; ____. 33，经过点(2，0); . 2x2?y2?1的左、例7. F1、F2是椭圆右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|?|PF2|的4最大值是 ．

二、双曲线

1.双曲线的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率

例8 .命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

x2?y2?1有相同渐近线的双曲线的方程是( ) 例10. 过点(2，-2)且与双曲线2x2y2y2x2x2y2y2x2??1 (B)??1 (C)??1 (D)??1(A)42422424

x2?y2?1(n?1)例11. 双曲线的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足nPF1?PF2?2n?2,则PF1F2的面积为( )

1(A)1 (B) (C)2 (D)4

2

例12 设?ABC的顶点A(?4,0)，B(4,0)，且sinA?sinB?的轨迹方程是________.

例13. 根据下列条件，求双曲线方程:

1sinC，则第三个顶点C2x2y2??1有共同渐近线，且过点(-3，23)； ⑴与双曲线

916

x2y2??1有公共焦点，且过点(32，2). ⑵与双曲线

164

y2?1上两点A、B，AB中点M（1，2）求直线AB方程； 例14. 设双曲线x?22注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）

三、.抛物线

1.抛物线的定义:

平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) 图形 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 x轴 pF(,0) 2 x轴 F(?p,0) 2y轴 pF(0,) 2原点(0,0) y轴 pF(0,?) 2x??p 2x?p 2y??p 2y?p 2e?1 注: 通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.

例15. 顶点在原点，焦点是(0,?2)的抛物线方程是( )

(A)x2=8y (B)x2= ?8y (C)y2=8x (D)y2=??8x

例16 抛物线y?4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) (A)

17157 (B) (C) (D)0 16168

例17. 过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )

(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条

例18. 过抛物线y?ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ

2

的长分别为p、q，则

11?等于( ) pq14 (C)4a (D) 2aa(A)2a (B)

例19 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )

(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(

例20 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .

例21 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.

例22 以抛物线x??3y的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.

21，1) 2 (D)(0，0)

例23. 过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的斜率的范围是 .

例24 设p?0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2?2px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。

(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上； (Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程.

四、求点的轨迹问题

如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化.

?????????例25. 已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足PM?PN=12，则点P的轨迹方程

为（ ）

x2(A)?y2?1 (B)x2?y2?16 (C)y2?x2?8

16(D)x2?y2?8

例26. ⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是( )

(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支

2

例27. 动点P在抛物线y=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是( )

2222

（A）(2y+1)=-12x（B）(2y+1)=12x （C）(2y-1)=-12x（D）(2y-1)=12x

例28. 过点A（2，0）与圆x2?y2?16相内切的圆的圆心P的轨迹是（ ） （A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆

例29. 已知?ABC的周长是16，A(?3,0)，B(3,0)则动点的轨迹方程是( )

x2y2x2y2x2y2x2y2??1(B)??1(y?0) (C)??1 (D)??1(y?0) (A)

2516251616251625

x2y24??1中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为 . 例30. 椭圆433

例31. 已知动圆P与定圆C: （x＋2）＋y＝１相外切，又与定直线l：x＝１相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.

22

_.

五、圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定

直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.

直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是??0、??0、??0.

⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则它的弦长

2AB?1?k2x1?x2?(1?k2)?(x?x)?4x1x2?12???1?1y1?y2 2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为y1?y2?k(x1?x2)，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则AB?y1?y2.

注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

x2y2例32. AB为过椭圆2?2=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最

ab大值是( )

(A)b2

(B)ab (C)ac (D)bc

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