第四章曲线运动 第 2 课时抛体运动的规律及其应用

第 2 课时 抛体运动的规律及其应用

基础知识归纳

1.平抛运动

(1)定义：将一物体水平抛出，物体只在 重力 作用下的运动.

(2)性质：加速度为g的匀变速 曲线 运动，运动过程中水平速度 不变 ，只是竖直速度不断 增大 ，合速度大小、方向时刻 改变 .

(3)研究方法：将平抛运动分解为水平方向的 匀速直线 运动和竖直方向的 自由落体 运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成.

(4)规律：

设平抛运动的初速度为v0，建立坐标系如图. 速度、位移：

水平方向：vx＝v0，x＝v0t 竖直方向：vy＝gt，y＝

12gt

2

合速度大小(t秒末的速度)：

22vt＝vx?vy

方向：tan φ＝

vyv0yx?gtv0gt2

合位移大小(t秒末的位移)：s＝x2?y2 方向：tan θ＝

?/2v0t12?gt2v0

所以tan φ＝2tan θ 运动时间：由y＝轨迹方程：y＝ gt2得t＝ 22yg (t由下落高度y决定).

g2v02x (在未知时间情况下应用方便).

可独立研究竖直分运动：

a.连续相等时间内竖直位移之比为1∶3∶5∶?∶(2n－1)(n＝1,2,3?) b.连续相等时间内竖直位移之差为Δy＝gt2 一个有用的推论：

平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半. 2.斜抛运动

(1)将物体斜向上射出，在 重力 作用下，物体做曲线运动，它的运动轨迹是 抛物线 ，这种运动叫做“斜抛运动”.

(2)性质：加速度为g的 匀变速曲线 运动.根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是水平方向的 匀速直线 运动和竖直方向的 上抛 运动的合运动来处理.取水平方向和竖直向上的方向为x轴和y轴，则这两个方向的初速度分别是：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.

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一、平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx＝v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点看，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示.这一矢量关系有两个特点：

1.任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v0；

2.任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy

＝gΔt.

二、类平抛运动

平抛运动的规律虽然是在地球表面的重力场中得到的，但同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动.也适用于物体以初速度v0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F作用的情况.例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等.解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系. 三、平抛运动规律的应用

平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.物体在任意时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和.

解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到两个分运动具有独立性和等时性的特点，并且注意与其他知识的结合.

典例精析

1.平抛运动规律的应用

【例1】(2009?广东)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破.飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷炸弹并击中目标.求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小(不计空气阻力). 【解析】设飞行的水平距离为s，在竖直方向上H＝

解得飞行时间为t＝

2Hg12gt2

2Hg则飞行的水平距离为s＝v0t＝v0

设击中目标时的速度为v，飞行过程中，由机械能守恒得 mgH＋

12mv02＝

12mv2

2解得击中目标时的速度为v＝2gH?v0

【思维提升】解平抛运动问题一定要抓住水平与竖直两个方向分运动的独立性与等时性，有时还要灵活运用机械能守恒定律、动能定理、动量定理等方法求解.

【拓展1】用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置(见图).若已知闪光时间间隔为t＝0.1 s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？(g取10 m/s，每小格边长均为L＝5 cm).

【解析】由于小球在水平方向做匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度.小球在竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动规律即可算出竖直分速度.

因A、B(或B、C)两位置的水平间距和时间间隔分别为

xAB＝2L＝(2×5) cm＝10 cm＝0.1 m tAB＝Δt＝0.1 s

2

所以，小球抛出的初速度为v0＝

xABtAB＝1 m/s

设小球运动至B点时的竖直分速度为vBy、运动至C点时的竖直分速度为vCy，B、C间竖直位移为yBC，B、C间运动时间为tBC.根据竖直方向上自由落体运动的公式得

22vCy?vBy?2gyBC

2即(vBy＋gtBC)－vB?2gyBC y2

vBy＝

2yBC?gtBC2tBC2

式中yBC＝5L＝0.25 m tBC＝Δt＝0.1 s

代入上式得B点的竖直分速度大小为vBy＝2 m/s 2.平抛运动与斜面结合的问题

【例2】如图所示，在倾角为θ的斜面上A点以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为( )

A.

2v0sin ?g B.

2v0tan ?g C.

v0sin ?g D.

v0tan ?g

【解析】设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝

12gt2

如图所示，由几何关系可知

1tan θ＝

yx?2gtv0t2?gt2v0

2v0tan ?g所以小球的运动时间t＝【答案】B

【思维提升】上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究.

如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的竖

直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得

t＝2v0ygy?2v0sin ?gcos ??2v0tan ?g

采用这种观点，还可以很容易算出小球从斜面上抛出后的运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大的时间、斜面上的射程等问题.

【拓展2】一固定的斜面倾角为θ，一物体从斜面上的A点平抛并落到斜面上的B点，试证明物体落在B点的速度与斜面的夹角为定值.

【证明】作图，设初速度为v0，到B点竖直方向速度为vy，设合速度与竖直方向的夹角为α，物体经时间t落到斜面上，则tan α＝

vxvy?v0gt?v0tgt2?x2y

π2α为定值，所以β＝(只与斜面的倾角有关.

－θ)－α也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，

3.类平抛运动

【例3】如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s的速度沿水平方向抛出，求：

(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x； (2)小球到达斜面底端时的速度大小(g取10 m/s2).

【解析】(1)在斜面上小球沿v0方向做匀速运动，垂直v0方向做初速度为零的匀加速运动，加速度a＝gsin 30°

x＝v0t L＝

12 ①

gsin 30°t2

②

＝10

③

2?1010?0.5由②式解得t＝

2Lgsin 30?由①③式解得x＝v0

2Lgsin 30? m＝20 m

(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，由动能定理得

mgLsin 30°＝

122mv－mv0

2

1222v＝v0?gL?10?10?10m/s≈14.1 m/s

【思维提升】物体做类平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的

方法可类比平抛运动——采用运动的合成与分解.关键的问题要注意：

(1)满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直.

(2)确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解. 易错门诊

【例4】如图所示，一高度为h＝0.2 m的水平面在A点处与一倾角为θ＝30°的斜面连接，一小球以v0＝5 m/s的速度在水平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑，取g＝10 m/s).

【错解】小球沿斜面运动，则

hsin ?2

＝v0t＋

12gsin θ?t2，可求得落地的时间t.

【错因】小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑. 【正解】落地点与A点的水平距离x＝v0t＝v02h?5?g2?0.210 m＝1 m

斜面底宽l＝hcot θ＝0.2×3m＝0.35 m

因为x>l，所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间. 所以t＝2h?g2?0.210s＝0.2 s

【思维提升】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律.

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