高2012级高三入学考试试卷（数学理）

高三入学数学考试试卷

注意事项：本试题分为第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。、

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一

个是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A?{x|lgx?0},B?{x|2x?1},则CU(A?B)=

A．(??,1)

B．(1,??)

2z?z?

2C．???,1?

D．?1,???

2．设z=1+i（i是虚数单位），则

A．?1?i B．?1?i C．1?i D．1?i

3．函数f(x)在(a,b)上连续,且limf(x)?m,limf(x)?n,mn?0,f?(x)?0,则f(x)在

x?a?x?b?(a,b)内

A．没有实根 B．至少有一个实根 C．有两个实根 D．有且只有一个实根 4．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是

A．m//α，n//β且α//β，则m//n C．m//α，n??且???,则m//n;

B．m??,n??且???,则m//n; D．m??,n//?且?//?,则m?n

???????????5．若两个非零向量a,b满足|a?b|?|a?b|?2|a|，则向量a?b与a?b的夹角为

A．

?6 B．

?3 C．

2?3 D．

5?6

*6．在数列{an}中，a1?1,an?1?an?n,(n?N),则a100的值为

A．5050 B．5051 C．4950 D．4951

π

7.将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，

3得到的图象所对应的函数为y＝cosx，则f(x)为 π

A．y＝cos(2x＋)

32

C．y＝cos(2x＋π)

3

π

B．y＝cos(2x－)

32

D．y＝cos(2x－π)

3

?1

??log3(x?1)(x?6)8．设f(x)??x?6的反函数为f?1(x?6)?3(x),若f?1(?89)?n,则f(n?4)=

A．2 B．—2 C．1 D．—1

9.已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，

则两圆的圆心距为

A．4

B．5 C．23 D．1

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10．将(x?312x)的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幂的项互不相邻的排法共

有多少种？

310A．A13?A13

103B．A10?A11

49C．A13?A9

103D．A10?A11

11．如图所示,已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2, 长 为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动, 另一端点N 在正方形ABCD内运动, 则MN的中点的轨迹的面积为 A．4? B．2? C．? D．

D1A1B1C1MDNAC（第11题）

?2

12.已知集合U?{(x,y)x?R,y?R}，M?{(x,y)x?y?a}，P?{(x,y)y?f(x)}，

现给出下列函数：①y?ax②y?logax③y?sin(x?a)④y?cosax，若0?a?1时，恒有P?CUM?P，则f(x)所有可取的函数的编号是

A． ①②③④

B．①②④

C．①② D．④

B第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知sin??212sin2??3cos??232，则tan??______________.

1414．已知?an?是等比数列，a2?2，a5?， 则a1a2?a2a3???anan?1= ．

215．定义在R上的函数f(x)满足f(x?2)?3f(x),且当x?[0,2]时,f(x)?x?2x,若当

x?[?4,?2]时,f(x)?1(3?t)恒成立，则实数t的取值范围是 . 1218t16. 给出定义：若m?12?x?m?（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，

记作?x?= m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)?x??x?的四个命题： ①函数y=f(x)的定义域为R，值域为?0,?；

2???1?②函数y=f(x)的图像关于直线x?k2（k?Z）对称；

③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=f(x)在????11?上是增函数. ,22??则所有正确的命题的编号是______________.

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三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）?ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量

??m?(2siBn?,?3n)?,???B(cBos2,2?c且osm//n 1)22（Ⅰ）求锐角B的大小，

（Ⅱ）如果b?2，求?ABC的面积S?ABC的最大值

18.（本小题共12分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数?的分布列如下表：

? ? ? P

? 8 ? 0.1

? 9 ? 0.5

? 10 ? 0.4

该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止. （I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率； （II）求该选手训练停止时，射击的次数?的分布列及期望.

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19.（本小题满分12分）已知：如图，长方体

上的点，（1） 求异面直线（2） 证明

与平面

,

所成角的余弦值； ； （3） 求二面角

的正弦值.

.

中，、分别是棱

,

x20．（本题满分12分）已知函数f(x)?log4(4?1)?kx(k?R)是偶函数．

（1）求k的值;

log(4a2?（2）设g(x)?x4?)a3,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1?n?N?? （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，证明：?bn?是等差数列；

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（Ⅲ）证明：

22．（本题满分14分）已知函数f(x)?ax2?lnx(a?R)． （1）当a?121a2?1a3???1an?1?n?N? ?3?2时，求f(x)在区间?1,e?上的最大值和最小值；

（2）如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x)?g(x)?f2(x)，

那么就称为g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”． 已知函数f1(x)?(a?12)x?2ax?(1?a)lnx，f2(x)?2212x?2ax．

2①若在区间?1,???上，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动函数”，求a的取值范围； ②当a?23时，求证：在区间?1,???上，函数f1(x)，f2(x)的“活动函数”有无

穷多个．

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数学试题(理科)参考答案

一、BDDDC DCBAD DB 二、13. 1或-3 14.

323(1?4?n) 15. ［-1,0）∪［3,+∞） 16. ①②③

??B?m//n ?2sinB(2cos2?1)??3cos2B 三、17．解：（1）

2?sin2B??3cos2B 即 tan2B??3

又?B为锐角 ?2B??0,??

?2B?2?3 ?B??3

……………………………………6分 a?c?b2ac222 （2）?B??3,b?2，由余弦定理cosB?得

a?c?ac?4?0

22 又?a2?c2?2ac 代入上式得：ac?4（当且仅当 a?c?2时等号成立。）

1234 S?ABC?acsinB?ac?）………12分 3（当且仅当 a?c?2时等号成立。

18.解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分 则

P(A)?0.4?0.0643，

P(B)?C30.4?0.5?0.2412. ----------------------------4分

由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?0.304. -----------------------------------------------------6分

即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------7分 （II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下

?

3 0.304

6 0．696

---------------------------------10分

P

E??3?0.304?6?0.696?5.088.

?即该选手训练停止时射击的次数的期望为5.088. ---------------------------12分

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19. 解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设

,依题意得,,,

（1）易得,,

于是

所以异面直线--------------------4分

与所成角的余弦值为

（2）已知 于是 因此， 所以

平面·

,=0，,

·

=0. ,又

,

--------------------7分

（3）设平面的法向量

。

为平面

，则,即

不妨令X=1,可得 由（2）可知，

的一个法向量。

于是，从而,

所以二面角

的正弦值为 --------------------12分

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法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

由 故

,可知EF∥BC1.

是异面直线EF与A1D所成的角，

易知BM=CM=,

所以 ,

所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 --------------------4分

（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为 所以 又由于

故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且

，从而

,所以

， ，

，

，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C, 所以AF⊥A1D因为 又NF 故

平面ACF, A1N

，所以AF⊥平面A1ED. ----------------7分

平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

为二面角A1-ED-F的平面角.

易知，所以，

又所以，

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在

,

连接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值为. --------------------12分

20．解：（1）由函数f(x)是偶函数可知：f(x)?f(?x)

?log4(4?1)?kx?log4(4x?x?1)?kx ?????????2分

log44?14?xx?112??2kx 即x??2kx对一切x?R恒成立 ?????????4分

?k?? ?????????5分

（2）函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点 即方程log4(4?1)?化简得：方程2?xx12x?log4(a?2?xx43a)有且只有一个实根 ??????6分

12x?a?2?243a有且只有一个实根 43at?1?0有且只有一个正根 ??????8分

x令t?2?0，则方程(a?1)t?①a?1?t??②??0?a?若a?343434，不合题意； ?????????9分 或?3 ?????????10分

?t??12，不合题意；若a??3?t??1a?112?????????11分

③一个正根与一个负根，即?0?a?1

综上：实数a的取值范围是??3??(1,??) ?????????12分 21. 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)????????1分

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故数列{an?1}是首项为2，公比为2的等比数列。????????2分

?an?1?2，an?2?1????????????????3分

nn（2）?4b?14b12?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4(b1?b2???bn?n)?2nbn?????4分

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①

2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③????????6分

?(n?1)bn?1?2?nbn?2④

④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1

所以数列{bn}是等差数列 ????????8分 （3）?1an?12n?1?1?12n?1?2?112an?11a2????????????9分

设S?1a2?1a3???1an?1，则S??12a2(1?1a3???1an)?1a2?12(S?1an?1)

????11分

S?2a2?1an?1?2312?1an?1?23?????????12分

12x?lnx222.解：（1）当a

?时，f(x)?，f?(x)?x?1x?x2?1x；

对于x?[1, e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴fmax(x)?f(e)?1?e22，fmin(x)?f(1)?121212． ????3 分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”，则f1(x)?f(x)?f2(x)

令p(x)?f(x)?f2(x)?(a?且h（x）=f1（x） – f（x）=?1x)x?2ax?lnx<0，对x?（1，+∞）恒成立，

x22?2ax?a22lnx<0对x?（1，+∞）恒成立， ?5分

(x?1)[(2a?1)x?1]x ∵p`(x)?(2a?1)x?2a?12?(2a?1)x?2ax?1x?1 （*）

1）若a?，令p`(x)?0，得极值点x1?1，x2?2a?1，

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当x2?x1?1，即

12?a?1时，在（x2，+∞）上有p`(x)?0，

此时p(x)在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈（p(x2)，+∞），不合题意；

当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，p(x)在区间（1，+∞）上，有

（p(1)，+∞），也不合题意； ????7分 p(x)∈

122） 若a?

，则有2a?1?0，此时在区间（1，+∞）上恒有p`(x)?0，

从而p(x)在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p(x)?0在此区间上恒成立，只须满足p(1)??a?所以?1212?0?a??12，

?a?/

12． ????9分

a2又因为h（x）= –x+2a–函数，

x=

?x2?2ax?ax2??(x?a)x2<0, h（x）在（1, +∞）上为减

h（x）

?12+2a?0， 所以a?1214

综合可知a的范围是[?,

14]． ????12分

另解：（接在（*）号后） 先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a ?a2x=?(x?a)x2?0,

1214

h（x）在（1,+?）递减，只要h（1） ? 0, 得?而p`（x）=

(x?1)[(2a?1)x?1]x12?2a?0，解得a?14． ?8分

对x?（1,+?） 且a?12有p`（x） <0．

只要p（1） ? 0, a?所以．?②当a?23?2a?0，解得a??,

12?a?14． ????12分

16x2时，f1(x)??43x?5959lnx,f2(x)?12x2?43x

则y=f2（x） –f1（x）=x2 –

31lnx, x?（1，+∞）．

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2x359x6x?59x2 因为y =

/

??>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数，

1所以f2（x） –f1（x）> f2（1） –f1（1）= ．

3设R（x）=f1（x）+

13?（0

所以在区间（1，+∞）上，函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个． 其他如R（x）=?f1（x）+?f2（x）（ 0

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