数值计算方法思考题和习题

(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期

计算机科学与技术专业专升本

数值计算方法思考题和习题

教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5

第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11

第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13

第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18

第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19

第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13

第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8

第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13

第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13

第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15

第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14

第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18

第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9

第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20

作业题

第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6

第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17

第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12

第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13

第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15

第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16

第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20

数值计算方法复习题

第1 章绪论

1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。

2.说明误差的四个来源。

3.什么是截断误差？什么是舍入误差？二者的区别是什么？

4.叙述误差的三种表示方法和三者的关系。

5.已知近似数X*有两位有效数字，其相对误差是多少？

6.已知5=2.23606┅，取几位有效数字时,近似数的相对误差不超过0.2%？

7.已知近似数相对误差为0.55%,问其有几位有效数字？

8.近似数x*=0.231对于真值x=0.229有几位有效数字？

9.如何确定用四舍五入得到的近似数的有效数字、绝对误差和相对误差。

10.用四舍五入得到的近似数0.550，有几位有效数字，其绝对误差和相对误差

各是多少？

11.用0.25表示1/4，有几位有效数字.以22

7

作为π的近似值有几位有效数字。

12.说明有效数字位数对绝对误差和相对误差的影响。

13.叙述运算误差分析的四个原则及其应用。

第2 章方程求根

1．说明如何用区间二分法求非线性方程的根。

2．如何确定区间二分法二分的次数？

3．什么是迭代原理？如何判断迭代收敛性？迭代法如何判断计算的终点。4．迭代法框图中ε和N的作用各是什么？

5．如何判断迭代法的收敛速度？如何加速迭代法？

6．如何用迭代误差判断迭代法的收敛速度？

7．迭代法具有平方收敛速度的迭代函数应满足什么条件？

8．使迭代过程x

1

k = x

k

+c(x2

k

-5)收敛到x*=5，当局部收敛时，c的取值是多

少？当平方收敛时，c的取值是多少？

9．对方程x=e x-在初值0.5附近构造的收敛的迭代格式，并定其收敛的阶数。10．给定方程x=4-2x，

（1）确定其在[-1，2]有一个根。

（2）用简单迭代法建立求这个根的收敛的迭代格式。

（3）确定其收敛的阶数。

11．牛顿迭代公式是什么？几何意义是什么？

12．设f(x)可微，写出求方程 x=f(x)的根的牛顿切线法迭代格式。

13．叙述牛顿迭代法具有平方收敛速度的条件。

14．写出牛顿迭代法求重根时具有平方收敛速度的迭代公式。

15．求方程x2-6x+9=0的根的牛顿迭代法迭代格式是几阶收敛的。

16．用迭代法x

1

k+= x

k

+c(x

k

)f(x

k

)求方程x3+54x-1=0的根，当有平方收敛速

度时，c(x

k

)是多少？

17．写出牛顿迭代法和弦截法的三个主要不同之处。

第3 章线性方程组的直接法

1．举例说明什么是高斯消去法？说明高斯消去法的计算框图和应用条件。2．为什么选主元？什么是列主元消去法？说明列主元高斯消去法框图的特点。3．如何用列主元高斯消去法求线性方程组系数矩阵的行列式。

4．如何用高斯-约当消去法求矩阵的逆？

5．高斯消去法和高斯-约当消去法的三个主要不同之处。

6．如何进行杜里特尔分解？

7．追赶法的分解形式是什么样的？

8．说明追赶法的计算次序。

9．什么是向量的范数和矩阵的范数？如何求取？

第4 章线性方程组的迭代法

1．什么是雅可比迭代法？什么是高-塞迭代法？什么是超松弛算法？

2．写出雅可比迭代和高-塞迭代的矩阵表示形式。

3．如何判定迭代法的终点？

4．什么是严格对角占优矩阵？什么是严格对角占优方程组？

5．如何用两个充分条件判定迭代法收敛性？

第5 章 插值和曲线拟合

1．拉格朗日插值多项式应满足什么条件？

2．已知f(x)=6.8x 3+8x,在点20,21,25,27的函数值，写出其插值多项式。

3．拉格朗日插值基函数有何特点？

4．什么是反插值？如何用反插值确定函数的零点？

5．写出插值余项定理，并说明其应用。

6．如何用迭代插值（埃特金逐次线性插值）求近似值？

7．写出差商的定义及其性质。

8．写出牛顿插值多项式。差商及导数有什么关系？

9．已知四个节点及其函数值如何用拉格朗日插值和牛顿插值确定函数值。

第6 章 数值积分和微分

1．数值求积的基本方法是什么？什么是代数精度？

2．如何构造插值求积公式？

3．牛顿-科特斯公式的特点、代数精度和余项是什么？

4．柯特斯系数有什么特点。5个节点的牛顿-柯特斯公式有几次代数精度？

5．说明n+1个节点选取的位置不同时对求积公式代数精度的影响。

6．什么是复化求积？

7．如何进行变步长求积？

8．什么是龙贝格算法？

9．已知函数f （x ）=5x 3，在节点x=0，1，2处的值，用复化梯形法计算dx )x (f 20?。对积分dx )x (f 20?用变步长梯形法计算T 2。

10．高斯求积公式有何特点。

11．5个节点的插值求积公式至少有几次代数精度，至多有几次代数精度。12．在区间[-3h,3h]上,取节点-α,0,α时：

（1）确定α,构造代数精度尽可能高的插值求积公式。

（2）确定所构造插值求积公式的代数精度。

（3）根据代数精度说明该求积公式的类型和节点的类型。

第7 章常微分方程的数值解

1．写出尤拉法的基本格式和局部截断误差。

2．什么是两步法、改进尤拉法、梯形格式？

3．用尤拉法解微分方程时，需要读入什么数据？

4．说出龙格-库塔法的基本思路。

5．什么是经典龙格-库塔格式？如何选择步长？

6．常用的经典龙格－库塔格式具有四阶精度，什么是四阶精度？

7．用改进尤拉法和龙格－库塔法解微分方程时，如何判断计算终点。8．微分方程方程组与高阶微分方程如何求解？

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