导数经典练习题及答案

1．设函数f(x)在x0处可导，则lim?x?0f(x0??x)?f(x0)等于

?x A．f'(x0) B．f'(?x0) C．?f'(x0) D．?f'(?x0) 2．若limf(x0?2?x)?f(x0)23?1，则f'(x0)等于 A． B． C．3 D．2

323?x?x?03．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为

A．90° B．0° C．锐角 D．钝角 4．对任意x，有f'(x)?4x3，f(1)=-1，则此函数为

A．f(x)?x4 B．f(x)?x4?2 C．f(x)?x4?1 D．f(x)?x4?2 5．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是 （1）limf(x0)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0??x)； （2）lim；

?x?02?x?xf(x0?2?x)?f(x0??x)f(x0??x)?f(x0?2?x)（4）lim.

?x?0?x?x

?x?0 （3）lim?x?0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点x0处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程是___. 7．已知曲线y?x?1x，则y'|x?1?_____________.

f(x0?h)?f(x0?3h)?_____________.

h8．设f'(x0)??3，则limh?09．在抛物线y?x2上依次取两点，它们的横坐标分别为x1?1，x2?3，若抛物

线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________.

10．曲线f(x)?x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程.

11．在抛物线y?x2上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为

?. 4?x(x?0)12．判断函数f(x)??在x=0处是否可导.

?x(x?0)?

13．求经过点（2，0）且与曲线y?

1相切的直线方程. x

同步练习X03013

1．函数y=f（x）在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

?y ?x2．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则

等于

A．4Δx+2Δx2 C．4Δx+Δx2

B．4+2Δx

D．4+Δx

3．若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x+y－1=0，则

A．f′（x0）>0 C．f′（x0）=0

B．f′（x0）<0 D．f′（x0）不存在

4．已知命题p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；命题q：函数y=f（x）是一次函数，则命题p是命题q的 A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．设函数f（x）在x0处可导，则limh?0(x0?h)?f(x0?h)等于

hA．f′（x0）

B．0

C．2f′（x0） D．－2f′（x0）

6．设f（x）=x（1+|x|），则f′（0）等于

A．0 C．－1

B．1

D．不存在

7．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是___________． 8．曲线y=x3在点P（2，8）处的切线方程是___________．

9．曲线f（x）=x2+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=___________． 10．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________．11．设

f（x）在点x处可导，a、b为常数?limf(x?a?x)?f(x?b?x)x?0?x=___________．

则

，

?x2?x?1 x?012．已知函数f（x）=?，

x?0?ax?b 在x=0处可导．

13．设f（x）=

14．利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数．

a、b的值，使f（x）

(x?1)(x?2)???(x?n)，求f′（1）．

(x?1)(x?2)???(x?n)

同步练习 X03021

11．物体运动方程为s=t4－3，则t=5时的瞬时速率为

4A．5 m/s B．25 m/s C．125 m/s

n2D．625 m/s

2．曲线y=xn（n∈N）在点P（2，2)处切线斜率为20，那么n为

A．7 B．6 C．5 D．4 3．函数f（x）=xxx的导数是

A．8（x>0）

4．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足 A．f（x）=g（x）

B．f（x）－g（x）为常数函数 D．f（x）+g（x）为常数函数

1x （x>0） B．－

78x8 （x>0） C．

18x87（x>0） D．

?18x8

C．f（x）=g（x）=0

5．两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h，B车向东行驶，速率为40 km/h，那么A、B两车间直线距离的增加速率为 A．50 km/h

B．60 km/h C．80 km/h D．65 km/h

6．细杆AB长为20 cm，AM段的质量与A到M的距离平方成正比，当AM=2 cm时，AM段质量为8 g，那么，当AM=x时，M处的细杆线密度ρ（x）为 A．2x

B．4x C．3x D．5x

7．曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程是___________．

8．设l1为曲线y1=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线y2=cosx在点（处的切线，则l1与l2的夹角为___________． 9．过曲线y=cosx上的点（_____________．

10．在曲线y=sinx（0

3x平行，2?，0）2?1,）且与过这点的切线垂直的直线方程为62

11．质点P在半径为r的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 rad/s，设A为起点，那么t时刻点P在x轴上射影点M的速率为___________．

12．求证：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数．

13．路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．

14．已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧

上求一点P，使△PAB面积最大．

同步练习 X03031

1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于

A．sinα B．cosα

C．sinα+cosα D．2sinα

2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于

19 313C．

3A．

16 310D．

3B．

3．函数y=xsinx的导数为

A．y′=2xsinx+xcosx sinxx B．y′=

sinx2x+xcosx

C．y′=+xcosx D．y′=

sinxx－xcosx

4．函数y=x2cosx的导数为

A．y′=2xcosx－x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx

5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= . 6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= .

7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=

B．y′=2xcosx+x2sinx D．y′=xcosx－x2sinx

?时，瞬时速度为___________． 2

9.求曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程.

10．用求导的方法求和：1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠1）．

11．水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，

试求当水深10米时，水面上升的速度．

同步练习 X03032

x2?a1．函数y=（a>0）的导数为0，那么x等于

xA．a C．－a 2．函数y=

2 B．±a

D．a2

sinx的导数为 xxcosx?sinxA．y′= 2xxsinx?cosxC．y′=

x21?x,则y’= . 3.若y?2?x2

xcosx?sinx 2xxsinx?cosxD．y′=

x2B．y′=

?3x4?3x2?5,则y’= . 4.若y?x35.若y?1?cosx,则y’= .

1?cosx36．已知f（x）=

x7?x3?5x43x11?x，则f′（x）=___________．

7．已知f（x）=8．已知f（x）=

11?x?，则f′（x）=___________．

sin2x，则f′（x）=___________．

1?cos2x

19．求过点（2，0）且与曲线y=相切的直线的方程．

x

310.质点的运动方程是s?t2?,求质点在时刻t=4时的速度.

t

同步练习 X03041

1．函数y=

1的导数是 2(3x?1)A．

6666 B． C．－ D．－ 3232(3x?1)(3x?1)(3x?1)(3x?1)12．已知y=sin2x+sinx，那么y′是

2A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数 3．函数y=sin3（3x+

?）的导数为 4????A．3sin2（3x+）cos（3x+） B．9sin2（3x+）cos（3x+）

4444???C．9sin2（3x+） D．－9sin2（3x+）cos（3x+）

4444.若y=（sinx-cosx)3，则y’= . 5. 若y=1?cosx2，则y’= . 6. 若y=sin3(4x+3)，则y’= .

7．函数y=（1+sin3x）3是由___________两个函数复合而成． 8．曲线y=sin3x在点P（

?，0）处切线的斜率为___________． 3

9.求曲线y?

10. 求曲线y?sin2x在M(?,0)处的切线方程.

11．已知函数y=（x）是可导的周期函数，试求证其导函数y=f′（x）也为周期函数．

11在M(2,)处的切线方程. 22(x?3x)4

同步练习 X03042

1．函数y=cos（sinx）的导数为

A．－［sin（sinx）］cosx C．［sin（sinx）］cosx B．－sin（sinx） D．sin（cosx）

2．函数y=cos2x+sinx的导数为

A．－2sin2x+

cosx 2x B．2sin2x+

cosx2x

C．－2sin2x+3．过曲线y=

sinx2x D．2sin2x－

cosx2x

11上点P（1，）且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为 x?12A．2y－8x+7=0 C．2y+8x－9=0

4．函数y=xsin（2x－

B．2y+8x+7=0 D．2y－8x+9=0

??）cos（2x+）的导数是______________． 225．函数y=cos(2x?)的导数为______________． 3136．函数y=cosx的导数是___________．

?

37.已知曲线y=400?x2 + (100-x) (0?x?100) 在点M 处有水平切

5线,

8．若可导函数f（x）是奇函数，求证：其导函数f′（x）是偶函数．

2nn－1． 9．用求导方法证明：C1+…+n?2CCnnn=n·2

同步练习 X03051

1．函数y=ln（3－2x－x2）的导数为

2 x?32x?2C．2

x?2x?3A．

1 23?2x?x2x?2D．2

x?2x?3B．

2．函数y=lncos2x的导数为

A．－tan2x C．2tanx B．－2tan2x D．2tan2x

3．函数y=lnx的导数为

A．2xlnx

1xlnx B．

x2lnx

C． D．

12xlnx

4．在曲线y=

x?9的切线中，经过原点的切线为________________． x?55．函数y=log3cosx的导数为___________． 6.函数y=x2lnx的导数为 . 7. 函数y=ln（lnx）的导数为 . 8. 函数y=lg(1+cosx)的导数为 .

1?3x29. 求函数y=ln的导数．

2?x2

10. 求函数y=ln

12．求函数y=ln（1?x2－x）的导数．

1?x的导数． 1?x

同步练习 X03052

1．下列求导数运算正确的是

111A．（x+）′=1+2 B．（log2x）′=

xxln2xC．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx）′=－2xsinx 2．函数y=axA．ax22?2x（a>0且a≠1），那么y′为

?2xlna x2?2x ·lna B．2（lna）axD．（x－1）a2?2x

C．2（x－1）ax2?2xlna

3．函数y=sin32x的导数为

A．2（cos32x）·32x·ln3 C．cos32x

B．（ln3）·32x·cos32x D．32x·cos32x

(2ex?1)24．设y=，则y′=___________． xe5．函数y=22的导数为y′=___________．

6．曲线y=ex－elnx在点（e，1）处的切线方程为___________．

x

7.求函数y=e2xlnx 的导数.

8．求函数y=xx（x>0）的导数．

1c9．设函数f（x）满足：af（x）+bf（）=（其中a、b、c均为常数，且|a|≠|b|），

xx试求f′（x）．

同步练习 x03061

1．若f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且x∈（a，b）时，

f′（x）>0，又f（a）<0，则

A．f（x）在［a，b］上单调递增，且f（b）>0 B．f（x）在［a，b］上单调递增，且f（b）<0 C．f（x）在［a，b］上单调递减，且f（b）<0

D．f（x）在［a，b］上单调递增，但f（b）的符号无法判断 2．函数y=3x－x3的单调增区间是

A．（0，+∞） B．（－∞，－1） C．（－1，1） D．（1，+∞） 3．三次函数y=f（x）=ax3+x在x∈（－∞，+∞）内是增函数，则

A．a>0

1B．a<0 C．a=1 D．a=

324．f（x）=x+ （x>0）的单调减区间是

xA．（2，+∞） B．（0，2） C．（2，+∞） 5．函数y=sinxcos2x在（0，

A．（0，arctanC．（0，

2） 2D．（0，2）

?）上的减区间为 2

B．（arctan

2?,） 22?） 2

1?D．（arctan,）

226．函数y=xlnx在区间（0，1）上是

A．单调增函数 B．单调减函数

11C．在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数

ee

11D．在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数

ee7．函数f（x）=cos2x的单调减区间是___________． 8．函数y=2x+sinx的增区间为___________．

x的增区间是___________．

x2?3x?2lnx10．函数y=的减区间是___________．

x9．函数y=

?x3x311．已知0

233

12．已知函数f（x）=kx3－3（k+1）x2－k2+1（k>0）．若f（x）的单调递减区间

是（0，4）. （1）求k的值； （2）当k3－

13．试证方程sinx=x只有一个实根．

14．三次函数f（x）=x3－3bx+3b在［1，2］内恒为正值，求b的取值范围．

1． x

同步练习 X03071

1．下列说法正确的是

A．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极大值 B．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极小值 C．当f′（x0）=0时，则f（x0）为f（x）的极值

D．当f（x0）为函数f（x）的极值且f′（x0）存在时，则有f′（x0）=0 2．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是

①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x A．①② 3．函数y=

B．②③ C．③④

D．①③

6x的极大值为 21?xA．3 B．4 C．2 D．5

4．函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为

A．0 B．1 C．2 D．4 5．y=ln2x+2lnx+2的极小值为

A．e－1 C．－1

B．0 D．1

6．y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于

A．6 C．5

B．0 D．1

7．函数f（x）=x3－3x2+7的极大值为___________．

8．曲线y=3x5－5x3共有___________个极值．

9．函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________．

310．函数f（x）=x－x3的极大值是___________，极小值是___________．

211．若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________，

2b=___________．

12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值．

a13．函数f（x）=x++b有极小值2，求a、b应满足的条件．

x

14．设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=为－1，求函数的解析式．

1时，f（x）的极小值2

同步练习 X03081

1．下列结论正确的是

A．在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值 B．在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值

C．在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x=a和x=b时到达 D．在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值 2．函数f(x)?x2?4x?1在[1，5]上的最大值和最小值是

A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2) 3．函数f(x)=2x-cosx在(-∞，+∞)上

A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值 4．函数f(x)?x3?3ax?a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是 A．00 D．a?1?5．若函数f(x)?asinx?sin3x在x?处有最值，那么a等于

331 2 A．2 B．1 C．

23 D．0 36．函数y?x4?2x2?5，x∈[-2，2]的最大值和最小值分别为 A．13，-4 B．13，4 C．-13，-4 D．-13，4 7．函数y?xex的最小值为________________. 8．函数f(x)=sinx+cosx在x?[???,]时函数的最大值，最小值分别是___. 229．体积为V的正三棱柱，底面边长为___________时，正三棱柱的表面积最小．

10．函数f(x)?x?1?x2的最大值为__________，最小值为____________。

11．求下列函数的最大值和最小值

1?x?x2(0?x?1) （1）f(x)?x?3x?6x?2(?1?x?1) （2）f(x)?21?x?x32

12．已知实数x，y满足x2?y2?2x，求x2y2的取值范围。

13．求函数f(x)?x?(x?1)在[-2，2]上的最大值和最小值。

23214

14．矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y?4?x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形面积最大时的边长分别是多少？

同步练习 X03082

1．下列说法正确的是

A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值 C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f（x）在区间［a，b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，

则f′（x） A．等于0

B．大于0 C．小于0

D．以上都有可能

1113．函数y=x4?x3?x2，在［－1，1］上的最小值为

43213A．0 B．－2 C．－1 D．

122x?x24．函数y=的最大值为

x?1A．

3 3

13 B．1 C． D．

225．设y=|x|3，那么y在区间［－3，－1］上的最小值是

A．27

B．－3 C．－1 D．1

6．设f（x）=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，

且a>b，则

A．a=2，b=29 B．a=2，b=3 C．a=3，b=2 D．a=－2，b=－3 7．函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________． 8．函数f（x）=sin2x－x在［－

??，］上的最大值为______；最小值为_______． 229．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_____和______．

x2y210．使内接椭圆2?2=1的矩形面积最大，矩形的长为______，宽为_____．

ab11．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时，它的面

积最大．

12．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起

作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？

x2?ax?b13．已知：f（x）=log3，x∈（0，+∞）．是否存在实数a、b，使f（x）

x同时满足下列两个条件：（1）f（x）在（0，1）上是减函数，在［1，+∞）上是增函数；（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a，b，若不存在，说明理由．

14．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面

ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．

同步练习 X03F1

1．函数f(x)?lnx(x?0)，则 x A．在（0，10）上是减函数. B．在（0，10）上是增函数. C．在（0，e）上是增函数，在（e，10）上是减函数. D．在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数. 2．设f(x)在x?x0处可导，且lim?x?0f(x0?2?x)?f(x0)?1，则f'(x0)的值为

?x A．1 B．0 C．2 D． 3．函数y?1 24x x2?1 A．有极大值2，无极小值 B．无极大值，有极小值－2 C．极大值2，极小值－2 D．无极值 4．函数f(x)?x3?3x(|x|?1)

A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 5．函数f(x)?3x?2x?3x

A．有最大值2，最小值－2 B．无最大值，有最小值－2 C．有最大值2，无最小值 D．既无最大值，也无最小值 6．给出下面四个命题

（1）函数y?x?5x?4(?1?x?1)的最大值为10，最小值为?224329 4 （2）函数y?2x?4x?1(2?x?4)的最大值为17，最小值为1

3 （3）函数y?x?12x(?3?x?3)的最大值为16，最小值为－16。

3 （4）函数y?x?12x(?2?x?2)无最大值，也无最小值.其中正确的命题有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．曲线y?43?x在点__________处切线的倾斜角为。 34 8．函数y?8x2?lnx的单调递增区间是__________。

9．过抛物线y?x2上点__________的切线和直线3x－y+1=0构成45°角。 10．函数y?x?2???x??(0?x?4)的最大值是__________。 2?

x2?y2?1(x?0,y?0)上一点引切线，分别与x轴正半轴和y轴正半11.过曲线4轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。

12．物体的运动方程是S?t3?2t2?1，当t=2时，求物体的速度及加速度。

13．求函数y?lg1?x2的单调区间。

同步练习 X03F2

1．设y?x?x2???11??2?，则y′= xx?111x42?x?lnx D．3x2?1 A．2x?2?3 B．3x?2 C．

xxx42．过点（2，0）且与曲线y?1相切的直线方程是（ ） x A．x+4y－2=0 B．x－4y－2=0 C．x+y－2=0 D．x－y－=0 3．函数f(x)?3sin?4x???????在[0,]内（ ）

24? A．只有一个最大值。 B．只有一个最小值。

C．只有一个最大值或只有一个最小值。 D．既有一个最大值又有一个最小值。 4．函数y=(2k－1)x+b在R上是单调递减函数，则k的取值范围是（ ） A．???,? B．?,??? C．???,?? D．????1?2??1?2????1?2??1?,??? ?2?5．函数y?ln(x?x)的单调递增区间是 A．??2?1?（0，+∞） ,??? B．

?2??1?,0? 2?? C．??1,??和（0，+∞） D．（－∞，－1）和????1?2?6．函数y=x+2cosx在区间[0，

1]上的最大值是 27．设函数y?a(x?x)的递减区间为(?333,)，则a的取值范围是 331?x?x2在[0,1]上的最小值是 . 8．函数f(x)?21?x?x

?eax?1(x?0)9．已知函数f(x)??在R上可导，则a= ，b= . (x?0)?b?sin2x

10．设y?alnx?bx2?x在x=1在x=2时都取得极值，试确定a与b的值；此时f(x)在x=1处取得的是极大值还是极小值？

11．已知正三棱柱的体积为V，试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。

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