2012年6月A卷试题（含答案）

浙江师范大学《高等数学A(二) 》考试卷（A卷） 2011—2012学年第二学期

考试形式：闭卷 使用学生： 2011级工科1 考试时间：120分钟 出卷时间：2012年5月31日 说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则无效.

一、 选择题 (每小题3分, 共18分)

1. 函数z?f(x,y)的偏导数fx(x,y)，fy(x,y)在区域D内连续是z?f(x,y)在D内可微的( ) A． 充要条件 B. 充分但非必要条件 C． 必要但非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 交换二次积分的积分次序A. C.

?0?1dy?21?yf?x,y?dx?( ).

?2021dx?dx?01?xx?10f?x,y?dy B.

?21dx?01?x1?x0f?x,y?dy f?x,y?dy

?f?x,y?dy D. ?dx?12?f?f,分别为( ). ?x?yA. ?1,2y B. 2y,?1 C. 2x?2y,2y?x D. 2y,2x 4. 设函数f?x?是以2?为周期的周期函数，它在???，??上的表达式为

3. 已知f(xy,x?y)?x2?y2?xy，则

?x,???x?0, f?x????0,0?x??.再设f?x?的Fourier（傅立叶）级数的和函数为S?x?，则S????( ). A. ??2 B. ?? C. 0 D. ?

?? 5. 非零向量a,b互相垂直, 则有 ( )

????????A. |a?b|?|a|?|b| B. |a?b|?|a?b|

????????C. |a?b|?|a?b| D. |a?b|?|a?b| 6. 若级数

?ne?nx收敛，其和为S(x), 则?n?1?ln3ln2S(x)dx?( )

A. ?3 B. ?11 C. D. 2

23

二、 填空题 (每小题3分, 共21分)

)?4xyex?y, 则f(x,y)? ① . 322. 函数f(x,y,z)?x?xy?z在点P(1,1,0)梯度为_ ② . 1.已知f(x?y,e1x20x?y3. 化

?dx?0f(x,y)dy为极坐标形式的二次积分 ③ . x2?y2被柱面z2?2x所割下部分的曲面面积S= ④ . 4. 求锥面z?5. 向量场F?(yz2,zx2,xy2)的旋度rotF? ⑤ . 6. 过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程为 ⑥ .

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7. 将函数

1展开成(x?2)的幂级数为 ⑦ . x三、计算题 (每小题8分, 共56分)

1. 设z?ye2x?xsin2y，求函数z所有二阶偏导数.

2. 设lnx2?y2?arctan3. 计算

2ydy，求. xdxxe??dxdy，其中D为三直线y?0，y?x与x?1所围成的平面区域. D4. 在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中，求出其中的一条曲线L,使沿该曲线从O

到A的积分

?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值为最小，并求该最小值.

5. 设函数f(x,y)连续，且f(x,y)?x?y6. 计算曲面积分的部分的下侧. 7. 求幂级数

??D其中D由y?f(x,y)dxdy，

1

，x?1，y?2围成，求f(x,y). x

2(z其中?是旋转抛物面z????x)dydz?zdxdy，?12(x?y2)介于平面z?0及z?2之间22n?12n?2的收敛域与和函数. x?n2n?1n?

四、 证明题 (5分)

?1?n?1设正项数列?an?单调下降，且级数?(?1)an发散，试问级数???1?a??是否收敛？并说明理由.

n?1?n?1n???

浙江师范大学《高等数学A(二) 》答案（A卷） 2012年6月11日

一、选择题 (每小题3分, 共18分)

1、B 2、B 3、A 4、A 5、D 6、C 二、填空题 (每小题3分, 共21分)

?① (x?lny)y ② (2,?2,?1) ③

22222?40d??1cos?sin?f(?cos?,?sin?)?d? ④2?

(?1)n(x?2)n ?n?1n?02?cos2?xy?2z?4??⑤(2xy?x,2yz?y,2zx?z) ⑥ ⑦ ?231三、计算题(每小题8分, 共56分)

1. 设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数.

解：先求一阶偏导数，得

?z?z?2ye2x?sin2y，?e2x?2xcos2y ?x?y再求二阶偏导数，得

?2z???z?? 2????2ye2x?sin2y?4ye2x，

?x??x??x?x??第 2 页 共 4 页 高数A(二) 2012.6.11

?2z???z?? ????2ye2x?sin2y?2e2x?2cos2y，

?x?y?y??x??y???2z???z??2x? ???e?2xco2sy?2e2x?2co2sy， ???y?x?x??y??y???2z???z??2x? ???e?2xco2sy??4xsin2y 2???y??y??y?y??ydy，求. xdxx?yy?xy??ydyy?x解：两边求导数2，得. ??222x?yx?ydxx?y2.设lnx2?y2?arctan3. 计算

xe??dxdy，其中D为三直线y?0，y?x与x?1所围成的平面区域. D221解：??edxdy??dx?edy??xexdx?(e?1)

0002D4. 在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中，求出其中的一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分

x21xx21?(1?y)dx?(2x?y)dy的值为最小，并求该最小值.

?解.I(a)??(1?y)dx?(2x?y)dy??(1?asinx)dx?(2x?asinx)acosxdxL3333L0???a?3?0sin3xdx?2a?xcosxdx?a0??2?04sinxcosxdx???a3?4a.3

??0,a?1,?对变量a求导得I'(a)???0,a?1,由此可见a?1是函数I(a)的唯一极值点，并且是极小点从而达到函数的最

??0,a?1.?小值I(1)???.

5. 设函数f(x,y)连续，且f(x,y)?x?y83??D其中D由y?f(x,y)dxdy，

1

，x?1，y?2围成，求f(x,y). x

解. 设A???f(x,y)dxdy. 则 f(x,y)?x?yA，两边求二重积分，则

DA???(x?Ay)dxdy??dy?1(x?Ay)dx?D1y211111A?，从而A?，故f(x,y)?x?y.

224216. 计算曲面积分??(z2?x)dydz?zdxdy，其中?是旋转抛物面z?(x2?y2)介于平面z?0及z?2之间的部

2?分的下侧.

解：设?1：z?2，由高斯公式

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???1??(z2?x)dydz?zdxdy????(1?1)dv?0，所以

?22(z?x)dydz?zdxdy(z=-?????x)dydz?zdxdy=??1x2?y2?4??2dxdy?8?

7. 求幂级数

2n?12n?2的收敛域与和函数. x?n2n?1?2n?1?n?12n?12n?112解：lim?lim?，收敛半径R?2，由于级数?n2(n?1)发散，

n??2n?1n??2(2n?1)22n?12n所以收敛域是(?2,2).

令S(x)??2n?12n?2，两端积分有 xn2n?1?x??2n?12n?2x2n?1x2?x2，两边求导得S(x)?. xdx??n?222?0S(x)dx???02n(2?x)22?xn?1n?1x

五、 综合题 (5分)

?1?n设正项数列?an?单调下降，且级数?(?1)an发散，试问级数???1?a??是否收敛？并说明理由.

n?1?n?1n?解. 因为正项级数?an?单调下降有下界，所以?an?收敛.记liman?a, 则a?0.

??a??n下面进一步肯定a?0.用反证法. 如果 a?0，那么数列an单调递减收敛于零，从而

??1??1?n??由莱布尼兹判别法知?(?1)an收敛，与题设矛盾,故???， ?1?a???n?1?n?1?1?a?n?1n???nn??1?1?1, 故由比较判别法知级数??而?1?a??收敛. 1?an?1?n?n

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