矩阵的基本运算

矩阵的基本运算

（摘自：华东师范大学数学系；http://math.ecnu.edu.cn/）

§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法

§3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算

§3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩

§3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B=

1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回：

C =

2 6 10 6 10 14 10 14 0

如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2

0 -1

2 1

§3.2矩阵乘法

Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．

§3.2.1 矩阵的普通乘法

矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为

C=×==

即Matlab返回： C =

19 22 43 50

如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．

§3.2.2 矩阵的Kronecker乘法

对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：

由上面的式子可以看出，Kronecker乘积AB之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B×mq矩阵，但一般情况下A

BB

B表示矩阵A的所有元素与

B和B

A均为np

A则完全类似．A

A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘

法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：

A= B=

则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C =

1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8

6 12 18 8 16 24

作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D =

1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12

6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法

在Matlab中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\\B是A的逆矩阵乘B，即inv(A)*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常：

x=A\\B就是A*x=B的解； x=B/A就是x*A=B的解.

当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．

如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．

右除B/A可由B/A=(A'\\B')'左除来实现． §3.4矩阵乘方

A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：

A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）

如果B是方阵， a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵． 如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的． §3.5 矩阵的超越函数

在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上． Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等． 一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：

expm 矩阵指数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵开方

所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册． §3.6数组运算

数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算． §3.6.1数组的加和减

对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受． §3.6.2数组的乘和除

数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如 x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6]; 计算z=x.*y 结果z=4 10 18

数组的左除（.\\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．

§3.6.3 数组乘方

数组乘方用符号.^表示． 例如：键入：

x=[ 1 2 3] y=[ 4 5 6]

则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729] (1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：

z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9]

(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：

z=2 .^[x

y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64]

从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点． Matlab看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵． §3.7 矩阵函数

Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：

(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解． §3.7.1三角分解

最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．

从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\\”和“/”矩阵除法来得到．

例如：

A=[ 1 2 3

4 5 6 7 8 0]

LU分解，用Matlab的多重赋值语句

[L,U]=lu(A) 得出

L =

0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U =

7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000 注：L是下三角矩阵的置换，U是上三角矩阵的正交变换，分解作如下运算，

检测计算结果只需计算L*U即可． 求逆由下式给出： x=inv(A)

x =

-1.7778 0.8889 -0.1111 1.5556 -0.7778 0.2222 -0.1111 0.2222 -0.1111 从LU分解得到的行列式的值是精确的，d=det(U)*det(L)的值可由下式给出：

d=det(A) d =

27

直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)

d =

27.0000

为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数． 例如：线性联立方程取 b=[ 1

3 5] 解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到

x=A\\b 结果x=

0.3333 0.3333 0.0000

由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\\b，x=U\\y．得到相同的x值，中间值y为：

y =

5.0000 0.2857 0.0000

Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．

§3.7.2正交变换

“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用． 例如A=[ 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12]

是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：

[Q,R]=qr(A) Q = -0.0776 -0.3105 -0.5433 -0.7762 R =

-12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 0.0000 0 0 0 可以验证Q*R就是原来的A矩阵．由R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，

说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．

下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解． 例如：

b=[ 1

3 5 7]

-0.8331 -0.4512 -0.0694 0.3124 0.5444 -0.7709 -0.0913 0.3178 0.0605 0.3251 -0.8317 0.4461 讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\\b． 结果为：

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667

我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：

y=Q'*b x=R\\y 求出的y值为

y =

-9.1586 -0.3471 0.0000 0.0000 x的结果为

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014 x = 0.5000 0 0.1667

用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．

§3.7.3奇异值分解

在Matlab中三重赋值语句

[U,S,V]=svd(A)

在奇异值分解中产生三个因数：

A=U*S*V '

U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．

奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)． §3.7.4 特征值分解

如果A是n×n矩阵，若?满足Ax=?x，则称?为A的特征值，x为相应的特征向量．

函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如： A=[ 0 1

-1 0] eig(A) 产生结果 ans =

0 + 1.0000i 0 - 1.0000i

如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：

[x,D]=eig(A)

D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D． 计算特征值的中间结果有两种形式：

Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．

schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．

如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程

Ax=?Bx

双赋值获得特征向量

[X,D]=eig(A,B)

产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供． §3.7.5秩

Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．

利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s5g6.html